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Note per Studenti Esercizio 24 · PAM con impulso triangolare, causalità, ISI e probabilità d'errore (tema d'esame febbraio 2025)

Esercizio 24PAM con impulso triangolare, causalità, ISI e probabilità d'errore (tema d'esame febbraio 2025)

Esame
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Testo (tema d'esame febbraio 2025, esercizio 3). Si consideri una modulazione che utilizza in trasmissione i segnali si(t)=αitriang⁡(t−t0T)con t0=4 ms,αi∈{−2,0,1}.s_i(t)=\alpha_i\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right)\quad\text{con }t_0=4\ \text{ms},\qquad\alpha_i\in\{-2,0,1\}. Il segnale viene trasmesso su un canale AWGN con N0=2⋅10−6 V2/HzN_0=2\cdot10^{-6}\ \text{V}^2/\text{Hz} e un'attenuazione (in potenza) di 2020 dB. Si considerano due sorgenti tali per cui: a) p1=p2=p3p_1=p_2=p_3; b) p1′=p3′p_1'=p_3', p2′=0,5p_2'=0{,}5.

  1. (2p) Si può scegliere tra T=2,4T=2,4 e 88 ms. Progettare l'impulso assicurando causalità, rate massimo e assenza di interferenza intersimbolo. (Suggerimento: considerare che si trasmetta ad esempio la sequenza {1,−2,0}\{1,-2,0\}.)
  2. (2p) Si calcoli la base associata in ricezione, si disegni la costellazione corrispondente e le regioni di decisione utilizzando il criterio MD.
  3. (3p) Quanto vale l'SNR in ricezione nel caso A? Calcolare la probabilità di errore sul simbolo.
  4. (3p) Si consideri il caso B. Qual è il criterio di decisione ottimo? Si calcolino soglie e probabilità di errore.

Teoria usata: Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →, PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →, Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →, Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →.

(1) Progetto dell'impulso

Il triangolo triang⁡(t−t0T)\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right) è nullo fuori da [t0−T, t0+T][t_0-T,\ t_0+T]: ha durata 2T2T (per T=2T=2 ms: [2,6][2,6] ms; T=4T=4 ms: [0,8][0,8] ms; T=8T=8 ms: [−4,12][-4,12] ms). Interpretazione (il parametro TT è la scelta da progettare; il periodo di simbolo è la durata dell'impulso):

  • Causalità: serve t0−T≥0t_0-T\ge0, cioè T≤t0=4T\le t_0=4 ms: T=8T=8 ms è scartato (impulso non nullo per t<0t<0).
  • Assenza di ISI: i simboli successivi non si devono sovrapporre, quindi il periodo di simbolo deve essere almeno la durata dell'impulso, Ts≥2TT_s\ge2T. Per esempio con la sequenza {1,−2,0}\{1,-2,0\} e Ts<2TT_s<2T le code dei triangoli si sommerebbero.
  • Rate massimo: Ts=2TT_s=2T e la frequenza di simbolo è 12T\frac1{2T}: più piccolo è TT, più alto è il rate.

Si sceglie quindi T=2T=2 ms (causale, Ts=2T=4T_s=2T=4 ms, 250250 simboli/s). Con T=4T=4 ms l'impulso sarebbe causale ma con Ts=8T_s=8 ms il rate sarebbe dimezzato (125125 simboli/s).

(2) Base in ricezione e costellazione

Energia dell'impulso unitario triang⁡(t−t0T)\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right): Eh=∫−TT(1−∣t∣T)2dt=2T3=4⋅10−33=1,333⋅10−3 V2sE_h=\int_{-T}^T\left(1-\frac{\lvert t\rvert}T\right)^2dt=\frac{2T}3=\frac{4\cdot10^{-3}}3=1{,}333\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}. L'attenuazione di 2020 dB in potenza è un fattore 100100 sull'energia: Eh,rx=1,333⋅10−5E_{h,rx}=1{,}333\cdot10^{-5}, Eh,rx=3,651⋅10−3 Vs\sqrt{E_{h,rx}}=3{,}651\cdot10^{-3}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}. Base (una sola funzione, I=1I=1): ϕ=triang⁡(t−t0T)Eh\phi=\frac{\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right)}{\sqrt{E_h}}. Punti: s1=−2Eh,rx=−7,30⋅10−3,s2=0,s3=+Eh,rx=3,65⋅10−3 Vs.\mathbf s_1=-2\sqrt{E_{h,rx}}=-7{,}30\cdot10^{-3},\qquad\mathbf s_2=0,\qquad\mathbf s_3=+\sqrt{E_{h,rx}}=3{,}65\cdot10^{-3}\ \text{V}\sqrt{\text{s}}. Con MD le soglie sono a metà: θ12=−Eh,rx=−3,65⋅10−3\theta_{12}=-\sqrt{E_{h,rx}}=-3{,}65\cdot10^{-3} e θ23=+12Eh,rx=+1,83⋅10−3\theta_{23}=+\frac12\sqrt{E_{h,rx}}=+1{,}83\cdot10^{-3}. Regioni R1=(−∞,θ12]\mathcal R_1=(-\infty,\theta_{12}], R2=[θ12,θ23]\mathcal R_2=[\theta_{12},\theta_{23}], R3=[θ23,∞)\mathcal R_3=[\theta_{23},\infty).

(3) SNR e probabilità di errore (caso A)

L'energia media per simbolo in ricezione (equiprobabili): Es,rx=4+0+13Eh,rx=53Eh,rx=2,222⋅10−5 V2sE_{s,rx}=\frac{4+0+1}3E_{h,rx}=\frac53E_{h,rx}=2{,}222\cdot10^{-5}\ \text{V}^2\text{s}. Rumore: σI2=N02=10−6 V2s\sigma_I^2=\frac{N_0}2=10^{-6}\ \text{V}^2\text{s} (σI=10−3\sigma_I=10^{-3}). Segnale in banda base, quindi Γ=Es,rxσI2\Gamma=\frac{E_{s,rx}}{\sigma_I^2}: Γ=22,2 ⟹ 13,5 dB.\Gamma=22{,}2\ \Longrightarrow\ 13{,}5\ \text{dB}. Con Eh,rxσI=3,651\frac{\sqrt{E_{h,rx}}}{\sigma_I}=3{,}651 le probabilità di errore per simbolo sono:

  • s1=−2s_1=-2: l'errore avviene solo verso l'alto, con rumore >+Eh,rx>+\sqrt{E_{h,rx}}: Q(3,651)=1,3⋅10−4Q(3{,}651)=1{,}3\cdot10^{-4};
  • s2=0s_2=0: rumore <−Eh,rx<-\sqrt{E_{h,rx}} oppure >+12Eh,rx>+\frac12\sqrt{E_{h,rx}}: Q(3,651)+Q(1,826)=1,3⋅10−4+0,0339=0,0340Q(3{,}651)+Q(1{,}826)=1{,}3\cdot10^{-4}+0{,}0339=0{,}0340;
  • s3=+1s_3=+1: rumore <−12Eh,rx<-\frac12\sqrt{E_{h,rx}}: Q(1,826)=0,0339Q(1{,}826)=0{,}0339.

P[E]=13(1,3⋅10−4+0,0340+0,0339)=0,0227.P[E]=\frac13\left(1{,}3\cdot10^{-4}+0{,}0340+0{,}0339\right)=0{,}0227. (Il termine dominante è la vicinanza di s2s_2 e s3s_3, distanti solo Eh,rx\sqrt{E_{h,rx}}.)

(4) Caso B

Ora le probabilità sono (14,12,14)\left(\frac14,\frac12,\frac14\right): non equiprobabili, quindi il criterio ottimo è il MAP (MD non lo è). Soglie MAP, con θij=si+sj2+σI2ln⁡(pi/pj)sj−si\theta_{ij}=\frac{s_i+s_j}2+\sigma_I^2\frac{\ln(p_i/p_j)}{s_j-s_i} e s2−s1=2Eh,rx=7,30⋅10−3s_2-s_1=2\sqrt{E_{h,rx}}=7{,}30\cdot10^{-3}, s3−s2=Eh,rx=3,65⋅10−3s_3-s_2=\sqrt{E_{h,rx}}=3{,}65\cdot10^{-3}: θ12=−3,651⋅10−3+10−6ln⁡0,250,57,30⋅10−3=−3,651⋅10−3−0,095⋅10−3=−3,746⋅10−3,\theta_{12}=-3{,}651\cdot10^{-3}+\frac{10^{-6}\ln\frac{0{,}25}{0{,}5}}{7{,}30\cdot10^{-3}}=-3{,}651\cdot10^{-3}-0{,}095\cdot10^{-3}=-3{,}746\cdot10^{-3}, θ23=1,826⋅10−3+10−6ln⁡0,50,253,651⋅10−3=1,826⋅10−3+0,190⋅10−3=2,016⋅10−3\theta_{23}=1{,}826\cdot10^{-3}+\frac{10^{-6}\ln\frac{0{,}5}{0{,}25}}{3{,}651\cdot10^{-3}}=1{,}826\cdot10^{-3}+0{,}190\cdot10^{-3}=2{,}016\cdot10^{-3} (in unità di Eh,rx\sqrt{E_{h,rx}}: −1,026-1{,}026 e +0,552+0{,}552 al posto di −1-1 e +0,5+0{,}5). Le soglie si spostano verso i simboli meno probabili, allargando la regione di s2s_2 (p2=0,5p_2=0{,}5). Probabilità di errore: P[E]=1−∑ipi′Pi∣iP[E]=1-\sum_ip_i'P_{i|i} con P1∣1=1−Q(θ12−s1σI)P_{1|1}=1-Q\left(\frac{\theta_{12}-s_1}{\sigma_I}\right), P2∣2=Q(θ12−s2σI)−Q(θ23−s2σI)P_{2|2}=Q\left(\frac{\theta_{12}-s_2}{\sigma_I}\right)-Q\left(\frac{\theta_{23}-s_2}{\sigma_I}\right), P3∣3=Q(θ23−s3σI)P_{3|3}=Q\left(\frac{\theta_{23}-s_3}{\sigma_I}\right): P[E]MAP=0,0238,(P[E] con le soglie MD=0,0256).P[E]_{MAP}=0{,}0238,\qquad(P[E]\text{ con le soglie MD}=0{,}0256). Il MAP migliora di circa il 7%7\% rispetto al MD (0,02380{,}0238 contro 0,02560{,}0256).

(Verificato con Python: Eh,rx=3,6515⋅10−3\sqrt{E_{h,rx}}=3{,}6515\cdot10^{-3}, Γ=22,22\Gamma=22{,}22, P[E]A=0,02272P[E]_A=0{,}02272, soglie MAP −3,7464⋅10−3-3{,}7464\cdot10^{-3} e 2,0156⋅10−32{,}0156\cdot10^{-3}, P[E]B=0,02379P[E]_B=0{,}02379, MD 0,025560{,}02556.)

Errori comuni

  • Prendere la durata dell'impulso uguale a TT: il triangolo triang⁡(tT)\operatorname{triang}\left(\frac tT\right) ha durata 2T2T (e Ts≥2TT_s\ge2T).
  • Calcolare l'energia del triangolo come quella di un rettangolo: per triang⁡(t−t0T)\operatorname{triang}\left(\frac{t-t_0}T\right) di ampiezza unitaria vale 2T3\frac{2T}3.
  • Dimenticare di attenuare (fattore 100100 sull'energia).
  • Usare MD nel caso B perché "è più semplice": non è ottimo con probabilità diverse.

Versione ripasso

Testo. si=αitriang⁡t−t0Ts_i=\alpha_i\operatorname{triang}\frac{t-t_0}T, t0=4t_0=4 ms, α∈{−2,0,1}\alpha\in\{-2,0,1\}, N0=2⋅10−6N_0=2\cdot10^{-6}, 2020 dB; A: equiprobabili; B: p=(14,12,14)p=(\frac14,\frac12,\frac14): scelta di T∈{2,4,8}T\in\{2,4,8\} ms; base e costellazione; SNR e P[E]P[E] (A); criterio, soglie, P[E]P[E] (B) (febbraio 2025).

Teoria collegata