Domande di teoria ricorrenti

Nel corso l'esame è fatto di tre esercizi, ma dentro gli esercizi ci sono domande a cui bisogna rispondere motivando (la valutazione guarda anche la chiarezza e le scelte metodologiche). Sono sempre le stesse.

Conversione A/D e codifica

1. "Si scelga la frequenza di campionamento tra $f_1,f_2,f_3$." Per il teorema del campionamento serve $F_s\ge2B$ (Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione →). Con $B=3$ kHz: $F_s=8$ kHz ($1$ e $2$ kHz causano aliasingsovrapposizione degli spettri quando si campiona sotto la frequenza di Nyquist).
2. "Quanti bit in più servono per aumentare l'SNR di $X$ dB?" Ogni bit dà $6{,}02$ dB: $b'=\left\lceil\frac X{6{,}02}\right\rceil$, a pari $P_{sat}$ (SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →). Per $10$ dB: $2$ bit.
3. "Quale dei due quantizzatori conviene (range $[-v,v]$ o $[0,v]$)?" Per un segnale solo positivo (esponenziale, $A\sin u$ con $u\in(0,\pi)$) il range simmetrico spreca metà dei livelli e può saturare molto; si sceglie quello che usa tutta la dinamica e ha la probabilità di saturazione più bassa (Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori →). Con $A\sin u$ e range $\left[-\frac A2,\frac A2\right]$ la saturazione è $\frac23$, con $[0,A]$ è nulla.
4. "Entropia massima e minima in uscita da un quantizzatore a $L$ livelli." Massima $\log_2L$ (livelli equiprobabili), minima $0$ (un livello con probabilità 1: possibile solo con un quantizzatore non uniforme). Per $N$ quantizzatori indipendenti: da $0$ a $N\log_2L$. Con $L=16$ non esiste un'entropia di $10$ bit (Informazione ed entropiaL'informazione di un evento di probabilità $p$ è $\log_2\frac1p$ bit; l'entropia $H(x)=\sum p\log_2\frac1p$ è l'informazione media e misura l'incertezza della sorgente: $0\le H\le\log_2M$, con il massimo quando i simboli sono equiprobabili. Per più simboli: $H(x,y)\le H(x)+H(y)$ (uguaglianza se indipendenti), $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$. Per una sorgente con $F_s$ simboli al secondo il rate di informazione è $F_sH_s$, il rate nominale $F_s\log_2M$ e l'efficienza $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.Informazione ed entropia →).
5. "L'entropia in uscita è ottima? Come migliorarla?" L'entropia dà l'informazione vera; un codice a lunghezza fissa ha $\eta=\frac{H}{b}<1$ se i livelli non sono equiprobabili; si migliora con la codifica di sorgente (Huffman, Codici di Shannon-Fano e di HuffmanIn un codice ottimo le parole più probabili non sono più lunghe di quelle meno probabili e le due parole più lunghe differiscono solo per l'ultimo simbolo. Shannon-Fano costruisce l'albero dall'alto dividendo ripetutamente i simboli in due gruppi di probabilità quasi uguali; Huffman lo costruisce dal basso unendo ogni volta i due simboli meno probabili ed è sempre ottimo tra i codici a prefisso. La lunghezza media $L_y$ è la somma delle probabilità dei nodi uniti, l'efficienza è $\eta=\frac{H}{L_y}$.Codici di Shannon-Fano e di Huffman →).
6. "È possibile un codice con queste lunghezze?" / "È conveniente il codice B?" Si calcola $\sum2^{-\ell_i}$ (Kraft-McMillandisuguaglianza sulle lunghezze dei codici decodificabili: la somma di 2 alla meno lunghezza è al più 1): se $>1$ non è decodificabile; se $\le1$ esiste un codice a prefisso, ma la somma $\le1$ non basta a dire che un codice dato sia decodificabile (Codifica di sorgente - codici a prefisso e teorema di ShannonLa codifica di sorgente riduce il numero di bit mappando le parole della sorgente in parole di lunghezza variabile (più corte per le più probabili), senza perdere informazione. Il codice deve essere decodificabile; i codici a prefisso (nessuna parola è prefisso di un'altra) lo sono. Kraft-McMillan: se il codice è decodificabile $\sum M_y^{-L(b)}\le1$. Teorema di Shannon: $L_y\ge\frac{H(x)}{\log_2M_y}$ e esiste un codice a prefisso con $L_y\le\frac{H(x)}{\log_2M_y}+1$; l'efficienza è $\eta=\frac{H(x)}{L_y\log_2M_y}$.Codifica di sorgente - codici a prefisso e teorema di Shannon →). Una lunghezza media sotto $H$ è un altro segnale di un codice impossibile (violerebbe Shannon).
7. "La previsione dà informazione?" Se $H(y|x)=H(y)$ le variabili sono indipendenti e la previsione è inutile (esempio del meteorologo, Informazione ed entropiaL'informazione di un evento di probabilità $p$ è $\log_2\frac1p$ bit; l'entropia $H(x)=\sum p\log_2\frac1p$ è l'informazione media e misura l'incertezza della sorgente: $0\le H\le\log_2M$, con il massimo quando i simboli sono equiprobabili. Per più simboli: $H(x,y)\le H(x)+H(y)$ (uguaglianza se indipendenti), $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$. Per una sorgente con $F_s$ simboli al secondo il rate di informazione è $F_sH_s$, il rate nominale $F_s\log_2M$ e l'efficienza $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.Informazione ed entropia →).

Mezzi di trasmissione e link budget

8. "Conviene la connessione cablata o la radio?" Si confrontano le attenuazioni ($\tilde a\,d$ contro Friis): vince quella con attenuazione minore, tenendo conto di mobilità e costo (Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →).
9. "È più conveniente aumentare la potenza di trasmissione o aggiungere un amplificatore?" Entrambi aumentano l'SNR; l'amplificatore in ricezione abbassa la figura di rumore totale, $F_{tot}=F_a+\frac{F-1}{g_a}$ (guadagno di molti dB se $F$ è alto e $F_a$ basso) e non costa potenza trasmessa. Si confrontano i dB guadagnati (Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →, Esercizio 15 · cavo di riserva per un collegamento radio e amplificatore in ricezione (tema d'esame febbraio 2026)).
10. "Come cambia l'SNR se si raddoppia la distanza (la banda, la potenza)?" $-6$ dB (spazio libero), $-3$ dB, $+3$ dB (Progetto di un collegamento - link budget e modulazioneEsercizio tipico d'esame: dati potenza, guadagni, frequenza e banda, si calcola (1) l'attenuazione (spazio libero o cavo) e quindi la distanza massima, (2) l'SNR di riferimento $\Gamma_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$, (3) la cardinalità massima $M$ della QAM (o PSK) tale che $P\le P_{target}$, (4) la potenza minima per una modulazione fissata invertendo $P(\Gamma)$: $\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}\right]^2$ per la 4-QAM e poi $P_{tx,min}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F+10\log_{10}B_{MHz}$.Progetto di un collegamento - link budget e modulazione →).

Modulazione digitale

11. "Qual è il criterio di decisione ottimo? È ottimo?" MAP è sempre ottimo; MD coincide col MAP se i simboli sono equiprobabili e il canale è AWGN. Se le probabilità differiscono (casi $p_2=0{,}8$, $\{\frac13,\frac12,\frac16\}$) si usa MAP e le soglie si spostano verso il simbolo meno probabile (Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MDLe regioni di decisione che massimizzano la probabilità di decisione corretta sono $\mathcal R_m={\boldsymbol\rho:\ m=\arg\max_mP_m,p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)}$: criterio MAP (ottimo). Il criterio ML ignora le probabilità a priori; se i simboli sono equiprobabili coincide con il MAP. Il criterio MD sceglie il punto più vicino, $\hat m=\arg\min_m\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert$; con canale AWGN coincide con il ML. Quindi con simboli equiprobabili e AWGN la distanza minima è ottima; con probabilità diverse le soglie si spostano verso il punto meno probabile.Teoria della decisione - criteri MAP, ML e MD →).
12. "Progettare l'impulso/il periodo di simbolo (causalità, ISI, rate massimo)." Impulso di durata $D$ centrato in $t_0$: causale se $t_0\ge\frac D2$; senza ISI se $T\ge D$; rate massimo con $T=D$ (Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →). Nell'esempio $\operatorname{rect}\left(\frac{t-t_0}{10\ \text{ms}}\right)$: $t_0\ge5$ ms, $T=10$ ms (non $5$: ISI; non $20$: più lento).
13. "Un disturbo aggiuntivo $d(t)$ cambia la probabilità di errore?" Si proietta sulla base: se $\langle d,\phi_i\rangle=0$ (per esempio un seno con un numero intero di periodi in $[0,T]$ contro un rettangolo) il disturbo è ortogonale alla base e non cambia nulla (Il rumore AWGN nello spazio dei segnaliIl ricevitore vede solo la componente del rumore nello spazio dei segnali: $w_i=\langle w,\phi_i\rangle$. Per un rumore bianco gaussiano le $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate (quindi indipendenti) e con la stessa varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, qualunque sia la base ortonormale. Il vettore ricevuto $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$ ha densità condizionata $p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)=\left(\pi N_0\right)^{-I/2}e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2/N_0}$: il rumore sposta il punto trasmesso in modo circolare.Il rumore AWGN nello spazio dei segnali →, Esercizio 21 · PAM a quattro livelli con simboli -4, -3, 3, 4 e disturbo sinusoidale (tema d'esame giugno 2025)).
14. "È migliore o peggiore di una modulazione antipodale?" A pari energia media l'antipodale ha la distanza maggiore; OOK e ortogonale sono $3$ dB peggio (Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di erroreDue segnali $s_1,s_2$ hanno costellazione $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$, $\mathbf s_2=(\rho\sqrt{E_2},\sqrt{E_2(1-\rho^2)})$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}\in[-1,1]$ e distanza $d_{1,2}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$. Con AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right)$. A parità di energia $E_s$ il minimo errore si ha per $\rho=-1$ (antipodale: $Q\left(\sqrt{2E_s/N_0}\right)$); per $\rho=0$ (ortogonale) $Q\left(\sqrt{E_s/N_0}\right)$, 3 dB peggio.Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di errore →).
15. "Probabilità d'errore sul bit e sul simbolo." $P_{bit}=P[E]$ solo con $M=2$; con $M>2$ e Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$ (Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →).