Esercizio 12cavo o radio, SNR di riferimento e cardinalità massima della QAM (tema d'esame giugno 2025)

---

Teoria usata: Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →, Progetto di un collegamento - link budget e modulazioneEsercizio tipico d'esame: dati potenza, guadagni, frequenza e banda, si calcola (1) l'attenuazione (spazio libero o cavo) e quindi la distanza massima, (2) l'SNR di riferimento $\Gamma_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$, (3) la cardinalità massima $M$ della QAM (o PSK) tale che $P\le P_{target}$, (4) la potenza minima per una modulazione fissata invertendo $P(\Gamma)$: $\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}\right]^2$ per la 4-QAM e poi $P_{tx,min}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F+10\log_{10}B_{MHz}$.Progetto di un collegamento - link budget e modulazione →.

(1) Cavo o radio?

Si confrontano le attenuazioni (a parità di potenza trasmessa, l'attenuazione minore dà più segnale al ricevitore).

• Cavo: $a_{cavo}=\tilde a\,d=5\ \text{dB/km}\cdot10\ \text{km}=50$ dB.
• Radio: $a_{rad}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{Tx}-G_{Rx}=32{,}4+20+39{,}08-5-1=85{,}5$ dB.

La connessione cablata attenua $35{,}5$ dB di meno ($10^{3{,}55}\approx3500$ volte in potenza): è preferibile dal punto di vista del segnale (e del rumore e dell'interferenza). La radio ha però altri vantaggi (nessuna linea da stendere, mobilità) che il testo non quantifica.

(2) SNR di riferimento per il collegamento radio

$P_{Tx}=100\ \text{mW}=20$ dBm; $B=1$ MHz, $10\log_{10}B_{MHz}=0$ dB: $$\Gamma_{dB}=P_{Tx,dBm}-a_{rad}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}=20-85{,}48+114-17-0=31{,}5\ \text{dB}\ (\Gamma=1415).$$

(3) $M$ massimo con $P_e\le10^{-4}$

Per la QAM quadrata la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\right)$ (QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →), con $\Gamma=1415$:

Per $M=256$: $4\cdot\frac{15}{16}\,Q(4{,}08)=3{,}75\cdot2{,}2\cdot10^{-5}=8{,}3\cdot10^{-5}\le10^{-4}$ ✓; per $M=1024$ no. Il maggior $M$ è $256$ ($8$ bit per simbolo; $R_b=8\cdot1=8$ Mbit/s).

(4) Potenza minima con $M=4$ e $P_e=10^{-3}$

Per $M=4$: $P[E]\approx4\left(1-\frac12\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}3}\right)=2Q\left(\sqrt\Gamma\right)\le10^{-3}$, cioè $Q\left(\sqrt\Gamma\right)\le5\cdot10^{-4}$ e $\sqrt\Gamma\ge Q^{-1}(5\cdot10^{-4})=3{,}29$: $$\Gamma_{min}=3{,}29^2=10{,}8\to10{,}35\ \text{dB}\quad(10\log_{10}10{,}83=10{,}35).$$ (La formula esatta $1-(1-Q)^2\le10^{-3}$ dà lo stesso valore, $10{,}345$ dB, perché il termine $Q^2$ è trascurabile.) Dal link budget invertito: $$P_{Tx,min}=\Gamma_{min}+a_{rad}-114+F_{dB}+10\log_{10}B_{MHz}=10{,}35+85{,}48-114+17+0=-1{,}2\ \text{dBm}\ (0{,}76\ \text{mW}).$$ La potenza disponibile ($20$ dBm) è molto maggiore del minimo: c'è un margine di $21$ dB.

(Verificato con Python: $a_{rad}=85{,}485$ dB, $\Gamma=31{,}515$ dB, $P_e(256)=8{,}3\cdot10^{-5}$, $P_{Tx,min}=-1{,}170$ dBm.)

Errori comuni

• Usare $P_{bit}$ al posto di $P_e$ nella domanda (3): il testo parla di probabilità sul simbolo.
• Dimenticare di sommare i due guadagni delle antenne in Friis ($5+1=6$ dB).
• Per $M=4$ usare $Q\left(\sqrt\Gamma\right)\le10^{-3}$ (formula del bit) invece di $2Q\left(\sqrt\Gamma\right)\le10^{-3}$ (formula del simbolo).
• Confrontare le attenuazioni con il segno sbagliato: vince quella minore.