Esercizio 14Wi-Fi a 16-QAM, densità del rumore, guadagno minimo e impulso triangolare (tema d'esame febbraio 2025)

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Teoria usata: Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →, Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →.

(1) Densità spettrale del rumore $N_0$

Per la $16$-QAM, $\log_2M=4$ bit per simbolo: il periodo e la frequenza di simbolo sono $$R=\frac{R_b}{\log_2M}=\frac{20\ \text{Mbit/s}}4=5\ \text{Msimboli/s},\qquad T=\frac1R=0{,}2\ \mu\text{s}.$$ L'energia dell'impulso ricevuto è $E_h=\int\lvert A\operatorname{rect}\left(\tfrac tT\right)\rvert^2dt=A^2T=0{,}01\cdot0{,}2\cdot10^{-6}=2\cdot10^{-9}\ \text{V}^2\text{s}$. Per la QAM quadrata l'energia media per simbolo è $E_s=E_h\frac{M-1}3=5E_h=10^{-8}\ \text{V}^2\text{s}$ (in ricezione, perché l'impulso è quello in ricezione). L'SNR di riferimento con $B_{min}=\frac1T$ vale $\Gamma=\frac{E_s}{N_0TB_{min}}=\frac{E_s}{N_0}$, e al test $\Gamma=11\ \text{dB}=12{,}59$: $$N_0=\frac{E_s}\Gamma=\frac{10^{-8}}{12{,}59}=7{,}94\cdot10^{-10}\ \text{V}^2/\text{Hz}.$$

(2) Guadagno minimo per $d_2=15$ m

Per lo spazio libero, a parità di tutto il resto, l'attenuazione dipende da $20\log_{10}d$: passando da $5$ a $15$ m cresce di $20\log_{10}\frac{15}5=9{,}54$ dB, quindi l'SNR cala a $11-9{,}54=1{,}46$ dB (con $P_{tx}=10$ dBm e $G_{tx}=6$ dB). Servono almeno $8$ dB: mancano $8-1{,}46=6{,}54$ dB, che si recuperano aumentando il guadagno di trasmissione (il guadagno in dB si somma all'SNR): $$G_{tx,min}=6+6{,}54=12{,}5\ \text{dB}.$$

(3) Probabilità di errore sul simbolo a $5$ m

Con $\Gamma=11$ dB ($12{,}59$): $\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}=\sqrt{\frac{3\cdot12{,}59}{15}}=\sqrt{2{,}518}=1{,}587$ e $$P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt{16}}\right)Q(1{,}587)=3\,Q(1{,}587)=3\cdot0{,}0563=0{,}169$$ (formula approssimata; a questo SNR basso quella esatta $1-\left[1-\tfrac32Q\right]^2$ dà $0{,}162$). Se la potenza raddoppia ($+3{,}01$ dB, $\Gamma=14{,}01$ dB $=25{,}2$): $\sqrt{\frac{3\cdot25{,}2}{15}}=2{,}245$, $P[E]=3\,Q(2{,}245)=3\cdot0{,}0124=0{,}037$: il raddoppio di potenza divide l'errore per circa $4{,}5$.

(4) Impulso triangolare

Con $h_{rx}(t)=A\operatorname{triang}\left(\frac tT\right)$ l'energia è $E_h=\int_{-T}^TA^2\left(1-\frac{\lvert t\rvert}T\right)^2dt=A^2\frac{2T}3=1{,}33\cdot10^{-9}\ \text{V}^2\text{s}$: $\frac23$ di quella del rettangolo (stessa ampiezza $A$ e stessa $T$, ma l'impulso è più "magro"). Mantenendo il rumore trovato al punto 1 ($N_0=7{,}94\cdot10^{-10}$ V²/Hz): $$E_s=5E_h=6{,}67\cdot10^{-9},\qquad\Gamma=\frac{E_s}{N_0}=8{,}39\ \Longrightarrow\ \Gamma_{dB}=9{,}24\ \text{dB}\ (11-10\log_{10}1{,}5=11-1{,}76).$$ La probabilità di errore sul simbolo: $\sqrt{\frac{3\cdot8{,}39}{15}}=1{,}295$, $P[E]\approx3\,Q(1{,}295)=3\cdot0{,}0976=0{,}29$ (esatta $0{,}27$): peggiora molto, perché a parità di ampiezza il triangolo porta meno energia. Il triangolo, inoltre, dura $2T$ e darebbe ISI a $T$ (Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →).

Nota sui dati. Il testo trascritto riporta per questo punto $N_0=10^{-5}\ \text{V}^2/\text{Hz}$, che è incompatibile con il punto 1 (darebbe $\Gamma=-31{,}8$ dB e un errore di fatto del $94\%$, il massimo): si usa qui il valore del punto 1.

(Verificato con Python: $N_0=7{,}943\cdot10^{-10}$, $G_{tx,min}=12{,}54$ dB, $P[E]=0{,}1688$ e $0{,}0372$, $\Gamma_{triang}=9{,}24$ dB.)

Errori comuni

• Dimenticare che il bit rate è $20$ Mbit/s e il simbolo $T=\frac{\log_2M}{R_b}=0{,}2\ \mu$s: i $20$ Mbit/s corrispondono a $5$ Msimboli/s.
• Usare per $E_s$ l'energia $E_h$ dell'impulso: $E_s=E_h\frac{M-1}3=5E_h$ per la $16$-QAM.
• Aggiungere $9{,}54$ dB invece di sottrarli: l'SNR cala con la distanza.
• Confondere guadagno in ampiezza e in potenza: $G_{tx}$ è in dB di potenza.