Trasmissione di segnali analogici per via digitale - SNR con errori sul canale

Lo schema

Un segnale analogicosegnale che assume valori continui nel tempo e in ampiezza (audio, video, tensione di un sensore) viene trasmesso con la catena A/D $\to$ codifica $\to$ canale $\to$ decodifica $\to$ D/A (Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione →). La qualità finale è misurata dall'SNRrapporto tra la potenza del segnale e quella dell'errore tra il segnale originale e quello ricostruito. Ci sono due sorgenti di errore indipendenti:

1. la quantizzazioneapprossimazione di ogni campione con il livello più vicino tra quelli disponibili ($\Lambda_q$SNR della sola quantizzazione: potenza del segnale diviso potenza dell'errore di quantizzazione: SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →), un errore deterministico che dipende da $b$numero di bit per campione e da $V_{sat}$tensione di saturazione: i campioni oltre $\pm V_{sat}$ vengono troncati;
2. gli errori sui bit del canale numerico ($P_{bit}$probabilità che un bit del canale numerico sia ricevuto sbagliato: Canale numerico, ISI e codifica di GrayNella catena bit $\to$ BMAP $\to$ modulatore $\to$ canale $\to$ proiezione $\to$ rivelatore $\to$ IMAP, un simbolo da $b=\log_2M$ bit dura $T=T_b\log_2M$. Per non avere interferenza intersimbolo (ISI) le forme d'onda devono essere ortogonali alle loro traslate di $kT$: $\langle\phi_i(t),\phi_j(t-kT)\rangle=0$ per $k\ne0$ (per esempio un impulso che dura al più $T$). Il canale numerico equivalente (bit in ingresso, bit decisi in uscita) è un canale binario simmetrico di probabilità $P_{bit}$; con la codifica di Gray simboli adiacenti differiscono in un solo bit e $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale numerico, ISI e codifica di Gray →): un bit sbagliato fa decodificare un livello sbagliato e può dare un errore anche grande.

La prestazione del sistema è il rapporto tra la potenza del segnale e la somma delle potenze dei due errori, $\Lambda_{PCM}=\frac{M_a}{M_q+M_c}$.

Errore dovuto al canale

Si trasmettono i livelli del quantizzatore con il codice binario naturaleil livello $j$ è scritto con la sua rappresentazione binaria, il bit di indice $i$ pesa $2^i$: il livello $j$ ($0\le j<L=2^b$) è scritto con i bit $j=\sum_{i=0}^{b-1}\beta_i2^i$. Il bit di peso $2^i$ ha peso $2^i\Delta$ sul valore del livello ($\Delta$ passo di quantizzazione). Se il canale inverte il bit $i$, il livello decodificato differisce da quello giusto di $\pm2^i\Delta$ e l'errore sul segnale ha potenza $\left(2^i\Delta\right)^2$. Con $P_{bit}$ piccola si considera al più un bit sbagliato per parola, e ognuno degli $b$ bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$: $$M_c=\sum_{i=0}^{b-1}P_{bit}\,\left(2^i\Delta\right)^2=P_{bit}\,\Delta^2\,\frac{4^b-1}3.$$ Il bit più significativoil bit di peso $2^{b-1}$, quello con l'effetto maggiore sul valore ($i=b-1$) pesa quasi $\frac34$ dell'errore: gli errori sui bit alti sono i più dannosi (per questo, dove serve, si proteggono di più, Codifica di canale - codici a blocco, distanza minima, rivelazione e correzioneLa codifica di canale aggiunge ridondanza ai bit per rivelare o correggere gli errori del canale. Un codice a blocco $(n,k)$ trasforma $k$ bit in $n$ bit (rendimento $R_c=\frac kn$). Con la distanza di Hamming minima $d_{min}$ il codice rivela fino a $d_{min}-1$ errori e ne corregge $t=\left\lfloor\frac{d_{min}-1}2\right\rfloor$ (decodifica a minima distanza). Vale il limite di Singleton $d_{min}\le n-k+1$. Su un canale binario simmetrico con errore $p$, la probabilità di parola sbagliata è $P_w\le\sum_{i>t}\binom nip^i(1-p)^{n-i}$ e, con $p$ piccola, $P_{bit}\approx\frac{d_{min}}n\binom n{t+1}p^{t+1}$.Codifica di canale - codici a blocco, distanza minima, rivelazione e correzione →).

SNR complessivo

Con errore di quantizzazione granulareerrore dei campioni dentro il range dinamico, al più mezzo passo $M_q=\frac{\Delta^2}{12}$ (saturazioneerrore dei campioni che superano $V_{sat}$ e vengono troncati trascurabile) e $\Lambda_q=\frac{M_a}{\Delta^2/12}$: $$\frac1{\Lambda_{PCM}}=\frac{M_q+M_c}{M_a}=\frac1{\Lambda_q}\left[1+12P_{bit}\frac{4^b-1}3\right]\ \Longrightarrow\ \boxed{\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}\left(4^b-1\right)}.}$$ Per un segnale uniforme a fondo scalail segnale occupa tutto il range dinamico del quantizzatore senza saturare ($\Lambda_q=4^b$, Esercizio 9 · conversione A-D di un segnale uniforme e SNR di riferimento per la 64-QAM (tema d'esame degli anni precedenti)) si ha $\Lambda_{PCM}=\frac{4^b}{1+4P_{bit}(4^b-1)}$. Da qui, noto l'SNR richiesto $\Lambda$, la massima probabilità d'errore tollerabile è $$P_{bit}\le\frac{4^b-\Lambda}{4\Lambda\left(4^b-1\right)}\quad(\Lambda\le4^b).$$

Soglia. Se $P_{bit}\ll\frac1{4\cdot4^b}$ vale $\Lambda_{PCM}\approx\Lambda_q$: ogni bit in più dà $6{,}02$ dB. Se $P_{bit}\gg\frac1{4\cdot4^b}$, $\Lambda_{PCM}\approx\frac1{4P_{bit}}$ non dipende da $b$: aggiungere bit non migliora più, e al massimo $\Lambda_{PCM}\to\frac1{4P_{bit}}$ (cioè $-10\log_{10}4P_{bit}$ dB: $24$ dB per $P_{bit}=10^{-3}$).

Esempio (segnale uniforme, $b=8$ bit, $\Lambda_q=4^8=48{,}2$ dB):

(La simulazione di $2\cdot10^6$ campioni uniformi, quantizzati a $8$ bit con inversione casuale dei bit, concorda con la formula entro $0{,}4$ dB; la differenza a $10^{-4}$ è dovuta alla rarità degli errori sul bit più alto.) Un errore sul bit va quindi a $10^{-4}$ costa già $14$ dB rispetto alla quantizzazione ideale a $8$ bit.

Esempio di dimensionamento (segnali di una sala cinematografica, Esercizio 34 · segnali audio e video in PCM e probabilità d'errore massima sul canale (esercizio del corso)). Video con SNR di almeno $50$ dB ($b=9$, $\Lambda_q=54{,}2$ dB): $P_{bit}\le\frac{4^9-10^5}{4\cdot10^5(4^9-1)}=1{,}55\cdot10^{-6}$. Audio con $92$ dB ($b=16$, $\Lambda_q=96{,}3$ dB): $P_{bit}\le\frac{4^{16}-10^{9{,}2}}{4\cdot10^{9{,}2}(4^{16}-1)}=9{,}95\cdot10^{-11}$: l'audio è il vincolo più stretto, perché ha più bit e un SNR più alto.

Errori comuni

• Sommare gli SNR in dB: si sommano le potenze degli errori ($M_q+M_c$), non gli SNR.
• Dimenticare che $\Lambda_{PCM}$ include il fattore $4^b-1$ (l'effetto del bit più alto): con $b$ grande basta $P_{bit}\approx10^{-9}$ per intaccare la quantizzazione.
• Credere che aumentare $b$ migliori sempre l'SNR: oltre la soglia vale $\approx\frac1{4P_{bit}}$.
• Usare la formula con la mappatura Grayassegnazione dei bit ai livelli in modo che livelli adiacenti differiscano per un solo bit o con codici non naturali: vale per il codice binario naturale (con Gray la dipendenza dai pesi cambia).