Esercizio 8quantizzatore di un segnale gaussiano - dinamica, livelli, bit-rate e saturazione laplaciana (tema d'esame luglio 2021)

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Teoria usata: SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →, Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed erroriUn quantizzatore mappa i campioni reali su $L=2^b$ livelli. Quello uniforme (PCM) sceglie un range dinamico $[-V_{sat},V_{sat}]$ e un passo $\Delta=\frac{2V_{sat}}L$; nel tipo mid-riser i livelli sono $\pm\frac\Delta2,\pm\frac{3\Delta}2,\dots$ e non c'è lo zero. L'errore $e_q=a_q-a$ ha una parte granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) e una di saturazione (fuori range). Per renderlo piccolo servono $P_{sat}$ piccola e $L$ grande.Quantizzatore uniforme - livelli, mid-riser ed errori →, Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazionePer trasmettere un segnale analogico in forma digitale lo si campiona (a frequenza $F_s\ge2B$, dopo un filtro anti-aliasing), lo si quantizza su $L=2^b$ livelli e si trasforma ogni livello in $b$ bit. Il bit-rate nominale è $R_b=F_s,b$. Al ricevitore si fa il percorso inverso e si interpola (con un filtro con risposta $T_s,\mathrm{rect}\frac f{2B}$ in teoria, con un mantenitore di ordine zero in pratica). La quantizzazione è l'unica operazione che introduce un errore irreversibile.Conversione A-D e D-A - campionamento, anti-aliasing e interpolazione →, Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioniUna variabile aleatoria è descritta da una PMD (discreta) o da una PDF (continua) e dalla funzione di ripartizione; per la gaussiana $P[x>a]=Q\left(\frac{a-m}{\sigma}\right)$ con la funzione coda $Q$. Media $m_x$, varianza $\sigma_x^2$ e potenza statistica $M_x=\sigma_x^2+m_x^2$. Per un vettore aleatorio contano l'indipendenza, le probabilità condizionate (totali e di Bayes) e la correlazione; combinazioni lineari di gaussiane sono gaussiane, e gaussiane scorrelate sono indipendenti.Variabili aleatorie e vettori aleatori per le comunicazioni →.

(1) Dinamica per $P_{sat}=10^{-6}$

Segnale gaussiano a media nulla con $\sigma=3$ V: $P_{sat}=2Q\left(\frac{V_{sat}}\sigma\right)=10^{-6}$, quindi $Q\left(\frac{V_{sat}}\sigma\right)=5\cdot10^{-7}$ e $$\frac{V_{sat}}\sigma=Q^{-1}(5\cdot10^{-7})=4{,}892\ \Longrightarrow\ V_{sat}=3\cdot4{,}892=14{,}67\ \text{V},$$ cioè dinamica $[-14{,}67\ \text{V},\ 14{,}67\ \text{V}]$ (ampiezza totale $29{,}3$ V, circa $\pm4{,}9\,\sigma$).

(2) Numero di livelli per $55$ dB

Si usa $\Lambda_q=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2}L^2$ (SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatoreL'SNR di quantizzazione è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_e}$. Con errore granulare uniforme e saturazione trascurabile vale $\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=3\frac{\sigma^2}{V_{sat}^2},2^{2b}$, cioè $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77+20\log{10}\frac\sigma{V_{sat}}$: ogni bit in più dà $+6$ dB. Per progettare: $V_{sat}$ dalla probabilità di saturazione ($V_{sat}=\sigma,Q^{-1}\left(\frac{P_{sat}}2\right)$ per un gaussiano), poi $b$ dall'SNR richiesto, arrotondando per eccesso.SNR di quantizzazione e progetto del quantizzatore →). Con $\Lambda_q\ge10^{5{,}5}=3{,}162\cdot10^5$: $$L^2\ge\frac{3{,}162\cdot10^5\cdot V_{sat}^2}{3\sigma^2}=\frac{3{,}162\cdot10^5\cdot215{,}35}{27}=2{,}522\cdot10^6\ \Longrightarrow\ L\ge1588.$$ Con $L=2^b$ i bit sono $b\ge\log_21588=10{,}63$, quindi $b=11$ e $$L=2^{11}=2048\ \text{livelli},\qquad\Delta=\frac{2\cdot14{,}67}{2048}=14{,}3\ \text{mV},\qquad[\Lambda_q]_{dB}=6{,}02\cdot11+4{,}77-13{,}79=57{,}2\ \text{dB}.$$ (Con $b=10$ si avrebbe $51{,}2$ dB: non basta. Il termine $20\log_{10}\frac\sigma{V_{sat}}=-13{,}79$ dB si ricava da $\frac{V_{sat}}\sigma=4{,}892$.)

(3) Bit-rate in uscita dall'ADC

Il segnale ha banda $B=200$ kHz: si campiona almeno a $F_s=2B=400$ kHz (si considera la frequenza minima). Con $b=11$ bit per campione, il bit-rate nominale è $$R_b=F_s\,b=400\cdot10^3\cdot11=4{,}4\ \text{Mbit/s}.$$

(4) Probabilità del valore quantizzato più grande

Il livello più grande è $Q_{L-1}=V_{sat}-\frac\Delta2$ e corrisponde alla regione $[V_{sat}-\Delta,\infty)$ (comprende anche la saturazione): $$P[Q_{L-1}]=Q\left(\frac{V_{sat}-\Delta}\sigma\right)=Q\left(\frac{14{,}67-0{,}0143}{3}\right)=Q(4{,}8856)=5{,}1\cdot10^{-7}.$$ È il livello meno probabile: quasi tutta la probabilità è concentrata vicino a $0$; i due livelli centrali, a $\pm\frac\Delta2$, hanno probabilità $Q(0)-Q\left(\frac\Delta\sigma\right)=\frac12-Q(0{,}00478)=1{,}9\cdot10^{-3}$ ciascuno. (La domanda può anche essere letta come "il livello più probabile": è il centrale, $1{,}9\cdot10^{-3}$ per ciascuno dei due.)

(5) Segnale laplaciano con $\beta=3$ V

Con lo stesso quantizzatore ($V_{sat}=14{,}67$ V, progettato per la gaussiana) un segnale laplaciano di parametro $\beta=3$ V (varianza $2\beta^2=18\ \text{V}^2$, il doppio) ha $$P_{sat}=P[\lvert b\rvert>V_{sat}]=e^{-V_{sat}/\beta}=e^{-14{,}67/3}=e^{-4{,}89}=7{,}5\cdot10^{-3},$$ circa $7\,500$ volte più grande di $10^{-6}$. La laplaciana ha code più pesanti (decadimento esponenziale invece di gaussiano): per mantenere $10^{-6}$ servirebbe $V_{sat}=\beta\ln10^6=41{,}4$ V, il triplo.

(Verificato con Python: $V_{sat}=14{,}6749$ V, $b=11$, $\Lambda_q=57{,}21$ dB, $P[Q_{L-1}]=5{,}12\cdot10^{-7}$, $P_{sat,laplace}=7{,}51\cdot10^{-3}$.)

Errori comuni

• Usare $Q^{-1}(10^{-6})$ invece di $Q^{-1}(5\cdot10^{-7})$ (la saturazione ha due code).
• Fermarsi a $L=1588$ senza arrotondare a una potenza di $2$ (e quindi a $11$ bit).
• Calcolare il bit-rate con $L$ al posto di $b$, o con $F_s=B$.
• Applicare la formula gaussiana $2Q(\cdot)$ al segnale laplaciano: serve $e^{-V_{sat}/\beta}$.