Esercizio 13radio a 90 MHz con banda di 2 kHz, attenuazione e potenza minima per la 4-QAM (tema d'esame giugno 2026)

---

Teoria usata: Progetto di un collegamento - link budget e modulazioneEsercizio tipico d'esame: dati potenza, guadagni, frequenza e banda, si calcola (1) l'attenuazione (spazio libero o cavo) e quindi la distanza massima, (2) l'SNR di riferimento $\Gamma_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$, (3) la cardinalità massima $M$ della QAM (o PSK) tale che $P\le P_{target}$, (4) la potenza minima per una modulazione fissata invertendo $P(\Gamma)$: $\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}\right]^2$ per la 4-QAM e poi $P_{tx,min}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F+10\log_{10}B_{MHz}$.Progetto di un collegamento - link budget e modulazione →, Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →.

(1) Attenuazione

Spazio libero con $d=20$ km, $f_0=90$ MHz, $G_{Tx}=5$ dB, $G_{Rx}=0$ dB: $$a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}20+20\log_{10}90-5-0=32{,}4+26{,}02+39{,}08-5=92{,}5\ \text{dB}.$$

(2) SNR

$P_{Tx}=1$ mW $=0$ dBm. $B=2$ kHz $=0{,}002$ MHz: $10\log_{10}0{,}002=-26{,}99$ dB, quindi il termine $-10\log_{10}B_{MHz}=+26{,}99$ dB: $$\Gamma_{dB}=0-92{,}5+114-17+26{,}99=31{,}5\ \text{dB}\ (\Gamma=1\,400).$$ (Il risultato coincide quasi con quello di Esercizio 12 · cavo o radio, SNR di riferimento e cardinalità massima della QAM (tema d'esame giugno 2025): qui la potenza è $20$ dB minore e l'attenuazione $7$ dB maggiore, ma la banda è $500$ volte più piccola, e vale $+27$ dB.)

(3) Cardinalità massima con $P[E]<10^{-4}$

Con $\Gamma=1\,400$, $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\Gamma}{M-1}}\right)$:

Il maggior $M$ è $256$ ($8{,}8\cdot10^{-5}<10^{-4}$; per $1024$ si ha $0{,}08$). Il rate è $8\cdot2\ \text{kHz}=16$ kbit/s.

(4) Potenza minima per $M=4$

$M=4$ e $P[E]<10^{-3}$: $2Q\left(\sqrt\Gamma\right)<10^{-3}\Rightarrow\sqrt\Gamma>Q^{-1}(5\cdot10^{-4})=3{,}29\Rightarrow\Gamma_{min}=10{,}35$ dB. Invertendo il link budget: $$P_{Tx,min}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F_{dB}+10\log_{10}B_{MHz}=10{,}35+92{,}5-114+17-26{,}99=-21{,}1\ \text{dBm}\ (\approx7{,}7\ \mu\text{W}).$$ Con la potenza disponibile di $0$ dBm c'è un margine di $21$ dB.

(Verificato con Python: $a_{ch}=92{,}505$ dB, $\Gamma=31{,}484$ dB, $P[E](256)=8{,}85\cdot10^{-5}$, $P_{Tx,min}=-21{,}139$ dBm.)

Errori comuni

• Dimenticare che per una banda minore di $1$ MHz il termine $-10\log_{10}B_{MHz}$ è positivo ($+27$ dB per $2$ kHz).
• Usare la distanza in metri nella formula con la costante $32{,}4$: serve $d_{km}$ ($20$ km, non $20\,000$).
• Usare la formula del bit al posto di quella del simbolo (il testo parla di errore sul simbolo).
• Dimenticare di sottrarre $F$: la formula con $114$ vale per una sorgente a $T_0$ solo se si toglie la figura di rumore.