Esercizio 18potenza di rumore trasferita a un carico adattato e disadattato (foglio di esercizi sui mezzi di trasmissione)

---

Teoria usata: Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →, Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm →, Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →.

Impostazione

La sorgente è una resistenza rumorosa: la densità di potenza del rumore in tensione (statistica) è $\mathcal P_w(f)=2kT_SR_S(f)$ e, per il partitore con il carico, la densità di potenza elettrica trasferita al carico è $$p_{w,L}(f)=\mathcal P_w(f)\,\frac{R_L(f)}{\lvert Z_L(f)+Z_S(f)\rvert^2}.$$ L'impedenza $Z_S$ è nulla fuori da $\left[-\frac{f_0}2,\frac{f_0}2\right]$: la banda dell'integrale è $f_0=500$ kHz (larga, da $-250$ a $250$ kHz), e la potenza è $$P_{w,L}=\int_{-f_0/2}^{f_0/2}p_{w,L}(f)\,df.$$ Il numero di conti si riduce subito: $R_S$ e $X_S$ si semplificano in tutti e tre i casi.

a) Carico adattato

Adattamento: $Z_L=Z_S^*$, cioè $R_L=R_S$ e $X_L=-X_S$. Allora $\lvert Z_L+Z_S\rvert^2=(R_S+R_L)^2+(X_S+X_L)^2=(2R_S)^2$ e $$p_{w,L}=2kT_SR_S\frac{R_S}{4R_S^2}=\tfrac12kT_S,$$ costante in frequenza (la dipendenza da $R_S(f)$, $X_S(f)$ scompare). Integrando su $f_0$: $$P_{w,L}^{(a)}=\tfrac12kT_Sf_0=\tfrac12\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot4000\cdot5\cdot10^5=1{,}38\cdot10^{-14}\ \text{W}=-138{,}6\ \text{dBW}=-108{,}6\ \text{dBm}.$$

b) $Z_L=\frac12R_S-jX_S$

Qui $R_L=\frac12R_S$ e $X_L=-X_S$, quindi $X_S+X_L=0$ e $R_S+R_L=\frac32R_S$: $$p_{w,L}=2kT_SR_S\frac{\frac12R_S}{\left(\frac32R_S\right)^2}=2kT_S\frac{\frac12R_S^2}{\frac94R_S^2}=\frac49kT_S.$$ Integrando: $P_{w,L}^{(b)}=\frac49kT_Sf_0=1{,}23\cdot10^{-14}\ \text{W}=-139{,}1\ \text{dBW}=-109{,}1\ \text{dBm}$. È minore del caso adattato: il rapporto è $\frac{4/9}{1/2}=\frac89$ ($-0{,}51$ dB), coerente con il fattore $\frac{4\rho}{(1+\rho)^2}=\frac{4\cdot0{,}5}{2{,}25}=\frac89$ per $\rho=\frac12$.

c) $Z_L=j10R_S$

Carico puramente reattivo: $R_L=0$, quindi $p_{w,L}=\mathcal P_w\frac{R_L}{\lvert\cdot\rvert^2}=0$ in ogni punto: non viene trasferita potenza (un induttore ideale non dissipa), $P^{(c)}_{w,L}=0$ ($-\infty$ dBm).

Conclusione

Con carico adattato si trasferisce la massima potenza di rumore disponibile, $\frac12kT_S$ per hertz ($-108{,}6$ dBm su $500$ kHz); ogni disadattamento la riduce (qui di $0{,}5$ dB o a zero). Vale per il segnale come per il rumore: per il rapporto segnale/rumore, però, conta il rapporto tra le due potenze trasferite, e un disadattamento che non cambia $T_S$ riduce entrambe nello stesso modo.

(Verificato: $\frac12kT_Sf_0=1{,}38\cdot10^{-14}$ W, $\frac49kT_Sf_0=1{,}227\cdot10^{-14}$ W.)

Errori comuni

• Integrare su $2f_0$ o su una banda diversa da $f_0$: l'impedenza è definita (non nulla) solo su una larghezza $f_0$.
• Scrivere $\mathcal P_w=kT_SR_S$ (manca il $2$): la densità bilatera in tensione è $2kT_SR_S$ e al carico adattato dà $\frac12kT_S$.
• Dire che in b) la potenza è maggiore perché $R_L$ è minore: l'adattamento è un massimo.
• Dimenticare che per un carico reattivo puro la potenza elettrica è nulla (conta solo $R_L$).