Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale

L'SNR di riferimento $\Gamma$

Per confrontare modulazioni diverse serve un'unica misura di SNR. Si usa quello che si avrebbe con la banda più piccola possibile, la banda minima $B_{min}$ (si fa passare solo il segnale necessario: altrimenti si raccoglierebbe rumore inutile). L'SNR di riferimentorapporto segnale rumore calcolato sulla banda minima del segnale è $$\boxed{\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0\,T\,B_{min}}},\qquad T=T_b\log_2M,$$ con $E_{s,rc}$ l'energia media per simbolo in ricezione ($E_{s,rc}=\frac{E_{s,tx}}{a_{ch}}$ se il canale attenua di $a_{ch}$). Poiché $\frac{E_s}T$ è la potenza e $N_0B_{min}$ il rumore, equivale alla forma "elettrica" già vista nel link budget (Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →): $$\Gamma=\frac{P_{tx}}{k\,T_{eff}\,B_{min}\,a_{ch}},\qquad[\Gamma]_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{min,MHz}.$$ Il segnale è in banda base (PAM: spettro attorno a $0$) oppure passa-banda (PSK, QAM: attorno alla portante $f_0$); le bande minime sono rispettivamente $$B_{min}=\frac1{2T}\ \text{(banda base)},\qquad B_{min}=\frac1T\ \text{(passa-banda)}.$$ La distinzione tra SNR statistico ($\Lambda=\frac{M_{tx}c^2}{N_0B}$) ed elettrico ($\Lambda_P$) cade quando l'impedenza è costante in banda: nei calcoli del corso coincidono.

Tabella riassuntiva

Per ogni modulazione si riportano la banda minimala banda più piccola necessaria a trasmettere il segnale, la probabilità di errore sul bit approssimata (con codifica di Gray) in funzione di $\Gamma$ e il legame con $\frac{E_s}{N_0}$.

(Le formule PAM, QAM e PSK sono dedotte in PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura →, PSK - modulazione di faseNella PSK l'informazione sta solo nella fase della portante: $s_m(t)=h(t)\cos(2\pi f_0t+\varphi_m)$ con $\varphi_m=\frac\pi M(2m-1)$. I punti stanno su una circonferenza di raggio $\sqrt{E_s}$ (tutti con la stessa energia $E_s=\frac{E_h}2$), con $d_{min}=2\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M$. $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$ per $M>2$; con Gray $P_{bit}\approx\frac2{\log_2M}Q\left(\sqrt{2\Gamma}\sin\frac\pi M\right)$, $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$. Per $M=2$ è l'antipodale (BPSK), per $M=4$ coincide con la 4-QAM.PSK - modulazione di fase →; le ortogonali e biortogonali in Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonaliCon $M>2$ segnali la probabilità di errore esatta non si trova in forma chiusa, ma si limita con la distanza minima: $\frac{N^}{M}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ ($N^$ = numero di punti con almeno un vicino a $d_{min}$). L'upper bound è molto vicino al valore vero ad SNR alto. Per $M$ segnali ortogonali $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ e la dimensione è $M$; per i biortogonali (un segnale opposto più $M-2$ ortogonali) la dimensione è $\frac M2$.Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonali →, con $P_{bit}\approx\frac{M/2}{M-1}P[E]$.) Per $M=2$ la PAM e la PSK danno $Q(\sqrt{\Gamma})$ e $Q(\sqrt{2\Gamma})$ ma con $\Gamma=\frac{2E_s}{N_0}$ e $\frac{E_s}{N_0}$: è la stessa $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$ dell'antipodale.

Efficienza spettrale

L'efficienza spettralebit al secondo trasmessi per ogni hertz di banda misura quanti bit al secondo si trasmettono per ogni hertz di banda, $$\nu=\frac{R_b}{B_{min}}\quad\left[\frac{\text{bit/s}}{\text{Hz}}\right],\qquad R_b=\frac{\log_2M}T.$$ Dai $B_{min}$ della tabella: PAM $\nu=2\log_2M$, QAM e PSK $\nu=\log_2M$, ortogonale $\nu=\frac{2\log_2M}M$, biortogonale $\nu=\frac{4\log_2M}M$. (Un'altra convenzione divide per $2B_{min}$, senza cambiare i confronti.) Non si può avere $\nu$ alto con qualunque SNR: dal teorema di Shannonlimite sulla capacità di un canale AWGN: B volte il logaritmo in base 2 di (1 + SNR) (capacità del canale AWGN, $C=B\log_2(1+\Gamma)$, Capacità di canale - canale binario simmetrico, a cancellazione e AWGNLa capacità $C=\max_{p_x}I(x;y)$ è il massimo di informazione mutua tra ingresso e uscita del canale; per il teorema di Shannon si può comunicare con probabilità d'errore arbitrariamente piccola se e solo se il rate è minore di $C$. Per il canale binario simmetrico $C=1-H_2(p)$ bit per uso (ingresso uniforme), per il canale a cancellazione $C=1-\varepsilon$, per l'AWGN $C=\frac12\log_2(1+\text{SNR})$ per uso reale, cioè $C=B\log_2(1+\text{SNR})$ bit/s su una banda $B$. Il limite $R_b<C$ dà il minimo $\frac{E_b}{N_0}\ge\frac{2^\nu-1}\nu$ ($-1{,}59$ dB per $\nu\to0$).Capacità di canale - canale binario simmetrico, a cancellazione e AWGN →) si ha il limite $$\nu\le\log_2(1+\Gamma).$$ Il confronto si fa a probabilità di errore fissata ($P_{bit}=10^{-6}$): per ciascuna modulazione si trova il $\Gamma$ necessario.

(Nella riga PAM, $\nu=2\log_2M$: $4$-PAM ha $\nu=4$ e $\Gamma=20{,}4$ dB come la $16$-QAM: sono la stessa modulazione, una in banda base e una in banda passante.) Osservazioni:

• PAM e QAM hanno la stessa efficienza e le stesse prestazioni: la QAM con $M^2$ punti è due PAM a $M$ livelli in quadratura.
• Ad alto SNR (e quindi alta efficienza) le modulazioni di ampiezza (QAM) sono migliori delle modulazioni di fase: a $\nu=4$ la QAM chiede $20{,}4$ dB e la PSK $24{,}5$ dB; a $\nu=6$ la 64-QAM chiede $26{,}6$ dB e la 64-PSK $36{,}3$ dB. Tuttavia la PSK ha ampiezza costante, e dove l'amplificatore è non lineare (satelliti) si usa la PSK.
• A SNR bassi (segnali molto rumorosi) si usano le modulazioni ortogonali e biortogonali: a $\nu<1$ funzionano a $\Gamma$ vicino a zero dB, ma per realizzarle servono $M$ segnali ortogonali (per esempio $M$ sinusoidi a frequenza diversa) e la banda cresce con $M$, quindi l'efficienza cala.
• Ogni modulazione ha caratteristiche proprie: non ci si basa solo sull'efficienza.

Come scegliere $M$ per un collegamento

Dato il $\Gamma$ del link budget (cioè del collegamento) e la $P_{bit}$ richiesta, si cerca la modulazione con più bit/simbolo ($M$ massimo) che soddisfa il vincolo: si calcola $P_{bit}(M,\Gamma)$ per $M=4,16,64,\dots$ e si prende il più grande $M$ per cui $P_{bit}\le P_{target}$ (Progetto di un collegamento - link budget e modulazioneEsercizio tipico d'esame: dati potenza, guadagni, frequenza e banda, si calcola (1) l'attenuazione (spazio libero o cavo) e quindi la distanza massima, (2) l'SNR di riferimento $\Gamma_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$, (3) la cardinalità massima $M$ della QAM (o PSK) tale che $P\le P_{target}$, (4) la potenza minima per una modulazione fissata invertendo $P(\Gamma)$: $\Gamma_{min}=\left[Q^{-1}\right]^2$ per la 4-QAM e poi $P_{tx,min}=\Gamma_{min}+a_{ch}-114+F+10\log_{10}B_{MHz}$.Progetto di un collegamento - link budget e modulazione →). Il rate raggiunto è $R_b=\frac{\log_2M}T=\log_2M\cdot B_{min}$ (per la QAM, con $B_{min}=\frac1T$).

Esempio. $\Gamma=31$ dB ($1259$), banda $B_{min}=500$ kHz, $P_{bit}\le10^{-6}$: 256-QAM dà $P_{bit}=2{,}8\cdot10^{-5}$ (non basta), 64-QAM $2{,}8\cdot10^{-15}$ (basta); rate $=\log_264\cdot500\ \text{kHz}=3$ Mbit/s ($6$ bit/s/Hz).

Errori comuni

• Usare $B_{min}=\frac1T$ per la PAM in banda base o $\frac1{2T}$ per QAM/PSK.
• Confrontare modulazioni a $\frac{E_s}{N_0}$ uguale invece che a $\Gamma$ (banda) e a $P_{bit}$ uguali.
• Dimenticare che le formule di $P_{bit}$ sono approssimate (codifica di Gray, $P_{bit}\ll$ 1, regioni vicine).
• Dire che la PSK è meglio della QAM perché ha ampiezza costante: è un vantaggio hardware, non di efficienza.