Vettori gaussiani

Ultimo argomento del punto 4 del programma ("la distribuzione Gaussiana n-dimensionale: proprietà e caratterizzazioni equivalenti"). Prerequisiti: Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →, Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →, Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →. Strumento per le dimostrazioni: Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →. In ogni appello del 2025-26 c'è un esercizio su questo argomento.

Perché servono

Il rumore che disturba due antenne vicine, le coordinate dell'errore di posizione di un GPS, i campioni successivi di un segnale rumoroso: sono v.a. gaussiane correlate tra loro. Serve un modello per più gaussiane insieme che tenga conto delle covarianze. Il vettore gaussiano è quel modello, ed è l'unico caso in cui tutto si calcola con media e matrice di covarianza.

Definizione

Un vettore aleatorio $X = (X_1, \dots, X_n)$ è gaussiano se ogni combinazione lineare delle sue componenti $$a_1 X_1 + \dots + a_n X_n, \qquad a_1, \dots, a_n \in \mathbb R,$$ è una v.a. gaussiana (le costanti contano come gaussiane degeneri, con varianza $0$).

Se $m = E[X]$ è il vettore delle medie e $\Sigma$ la matrice di covarianzaLa matrice n × n con le varianze sulla diagonale e Cov(X_i, X_j) fuori diagonale: simmetrica e semidefinita positiva.Covarianza e coefficiente di correlazione →, si scrive $X \sim N(m, \Sigma)$.

Perché media e covarianza bastano: la combinazione $U = a^T X$ è gaussiana con $E[U] = a^T m$ e $\text{Var}(U) = a^T \Sigma a$, quindi la legge di ogni combinazione lineare dipende solo da $m$ e $\Sigma$; e la legge di tutte le combinazioni lineari determina la legge del vettore (tramite la funzione caratteristica).

Caratterizzazioni equivalenti

Per un vettore $X$ con media $m$ e covarianza $\Sigma$ sono equivalenti:

1. ogni combinazione lineare $a^T X$ è gaussiana;
2. $X = m + AZ$, dove $Z = (Z_1, \dots, Z_k)$ ha componenti $N(0, 1)$ indipendenti e $A$ è una matrice $n \times k$ con $AA^T = \Sigma$;
3. la funzione caratteristica è $\varphi_X(\theta) = E[e^{i\theta^T X}] = \exp\left(i\theta^T m - \frac12 \theta^T \Sigma \theta\right)$ per ogni $\theta \in \mathbb R^n$;
4. (se $\det \Sigma > 0$) $X$ ha densità $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det\Sigma}} \exp\left(-\frac12 (x - m)^T \Sigma^{-1} (x - m)\right), \qquad x \in \mathbb R^n.$$

Idee delle dimostrazioni.

• 2 ⇒ 1: $a^T X = a^T m + (a^T A) Z$ è una costante più una combinazione lineare di gaussiane indipendenti, quindi gaussiana (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →).
• 1 ⇒ 3: $\theta^T X$ è gaussiana con media $\theta^T m$ e varianza $\theta^T\Sigma\theta$, e la funzione caratteristica di $N(\mu, \sigma^2)$ in $1$ è $e^{i\mu - \sigma^2/2}$ (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →).
• 3 ⇒ 1: $E[e^{it(a^T X)}] = \varphi_X(ta)$, che è la funzione caratteristica di $N(a^T m, a^T\Sigma a)$; la funzione caratteristica determina la legge.
• 2 ⇒ 4 (con $A$ quadrata invertibile): densità di $Z$ = prodotto di $n$ densità standard, poi cambio di variabile $x = m + Az$ (lo jacobiano dà $\frac{1}{|\det A|} = \frac{1}{\sqrt{\det\Sigma}}$).

La 2 dice come si costruisce (e si simula al computer) un vettore gaussiano: si prendono gaussiane standard indipendenti e le si mescola linearmente.

Il caso $n = 2$

Con $\text{Var}(X) = \sigma_1^2$, $\text{Var}(Y) = \sigma_2^2$, $\text{Cov}(X, Y) = \rho\sigma_1\sigma_2$ e $|\rho| < 1$:

$$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{pmatrix}, \qquad \det\Sigma = \sigma_1^2\sigma_2^2(1 - \rho^2), \qquad \Sigma^{-1} = \frac{1}{\det\Sigma}\begin{pmatrix} \sigma_2^2 & -\rho\sigma_1\sigma_2 \\ -\rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_1^2 \end{pmatrix}.$$

L'inversa di una matrice $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ si ottiene scambiando gli elementi diagonali, cambiando segno a quelli fuori diagonale e dividendo per il determinante $ad - b^2$.

Esempio (III appello 24.06.2026, Esercizio 20 · vettore gaussiano, combinazione lineare e correlazione): $m = (1, -1)$, $\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

• $\det\Sigma = 8 - 4 = 4 > 0$, quindi esiste la densità.
• $\Sigma^{-1} = \frac14 \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix}$.
• Con $u = x - 1$, $v = y + 1$: $(u, v)\Sigma^{-1}(u, v)^T = \frac12 u^2 - uv + v^2$.
• $$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sqrt 4} \exp\left(-\frac12\left(\frac12 u^2 - uv + v^2\right)\right) = \frac{1}{4\pi} \exp\left(-\frac14 u^2 + \frac12 uv - \frac12 v^2\right).$$

Le curve di livello della densità sono ellissi centrate in $m$; se $\rho = 0$ e $\sigma_1 = \sigma_2$ sono circonferenze.

Proprietà fondamentali

1. Trasformazioni affini

Se $X \sim N(m, \Sigma)$ in $\mathbb R^n$, $B$ è una matrice $k \times n$ e $b \in \mathbb R^k$, allora $$Y = BX + b \sim N(Bm + b, \ B\Sigma B^T).$$

Perché: ogni combinazione lineare di $Y$ è una combinazione lineare di $X$ più una costante, quindi gaussiana; e la media e la covarianza di $BX + b$ sono quelle (calcolo con la bilinearità della covarianza).

Caso $k = 1$: ogni combinazione lineare $U = a^T X$ è $N(a^T m, a^T\Sigma a)$. È il conto che si fa in quasi ogni esercizio.

Esempio (stesso appello): $U = X - 2Y$, cioè $a = (1, -2)$. $$E[U] = 1 - 2(-1) = 3, \qquad \text{Var}(U) = 4 + 4 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 4,$$ quindi $U \sim N(3, 4)$ e $P(U > 5) = P\left(Z > \frac{5 - 3}{2}\right) = 1 - \Phi(1)$.

2. Marginali gaussiane

Ogni componente $X_i$ (combinazione lineare con un solo coefficiente $1$) è $N(m_i, \Sigma_{ii})$; ogni sotto-vettore è gaussiano, con le medie e le covarianze corrispondenti.

Attenzione: il viceversa è falso. Due v.a. ciascuna gaussiana non formano necessariamente un vettore gaussiano. Controesempio: $X \sim N(0, 1)$, $S = \pm 1$ con probabilità $\frac12$ indipendente da $X$, $Y = SX$. Anche $Y \sim N(0, 1)$ (per simmetria), ma $X + Y$ vale $0$ con probabilità $\frac12$ (quando $S = -1$): non è gaussiana, quindi $(X, Y)$ non è un vettore gaussiano.

3. Non correlazione ⇔ indipendenza

Se $(X, Y)$ è un vettore gaussiano, allora $X$ e $Y$ sono indipendenti se e solo se $\text{Cov}(X, Y) = 0$. Più in generale, le componenti di un vettore gaussiano sono indipendenti se e solo se $\Sigma$ è diagonale.

Perché. Se $\rho = 0$, la matrice è diagonale, $\Sigma^{-1}$ anche, e l'esponente della densità si spezza: $$-\frac12\left(\frac{(x - m_1)^2}{\sigma_1^2} + \frac{(y - m_2)^2}{\sigma_2^2}\right),$$ quindi la densità è il prodotto di una densità $N(m_1, \sigma_1^2)$ in $x$ e di una $N(m_2, \sigma_2^2)$ in $y$: è la definizione di indipendenza. Il viceversa vale sempre (indipendenti ⇒ non correlate).

È l'unica situazione del corso in cui basta calcolare una covarianza per stabilire l'indipendenza. L'ipotesi "vettore gaussiano" è essenziale: nel controesempio sopra $\text{Cov}(X, SX) = E[S]E[X^2] = 0$ ma $X$ e $Y = SX$ non sono indipendenti ($|Y| = |X|$).

Esempio (I appello 15.01.2026, Esercizio 18 · vettore gaussiano con covarianza diagonale): $m = (0, 0)$, $\Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. $\Sigma$ è diagonale, quindi $X$ e $Y$ sono indipendenti $N(0, 2)$ e $$f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-x^2/4} \cdot \frac{1}{\sqrt{4\pi}} e^{-y^2/4} = \frac{1}{4\pi} e^{-(x^2 + y^2)/4}.$$

Esempio (II parziale 15.01.2026, Esercizio 19 · differenza e somma di gaussiane standard): $X, Y \sim N(0, 1)$ indipendenti, $Z = X - Y$, $V = X + Y$. $(Z, V)$ è un vettore gaussiano (trasformazione lineare di $(X, Y)$, che è gaussiano perché ha componenti gaussiane indipendenti) e $\text{Cov}(Z, V) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y) = 0$: quindi $Z$ e $V$ sono indipendenti, anche se costruite con le stesse $X$ e $Y$.

4. Gaussiane indipendenti formano un vettore gaussiano

Se $X_1, \dots, X_n$ sono gaussiane indipendenti, $(X_1, \dots, X_n)$ è gaussiano con $\Sigma$ diagonale: ogni combinazione lineare è somma di gaussiane indipendenti. È il modo in cui di solito si ottiene un vettore gaussiano negli esercizi.

Metodo per gli esercizi

1. Riconoscere che il vettore è gaussiano (dato dal testo, oppure trasformazione lineare di gaussiane indipendenti).
2. Per una combinazione lineare $U = aX + bY + c$: è gaussiana, basta calcolare $E[U]$ e $\text{Var}(U) = a^2\text{Var}X + b^2\text{Var}Y + 2ab\,\text{Cov}(X, Y)$, poi standardizzare.
3. Per l'indipendenza di due combinazioni lineari: calcolare la covarianza con la bilinearità; se è zero, sono indipendenti.
4. Per la densità: $\det\Sigma$, $\Sigma^{-1}$, forma quadratica.

Errori comuni

• Usare "non correlate ⇒ indipendenti" senza aver verificato che il vettore sia gaussiano.
• Credere che marginali gaussiane bastino per avere un vettore gaussiano.
• Dimenticare il termine $2ab\,\text{Cov}$ nella varianza della combinazione lineare.
• Sbagliare l'inversa $2 \times 2$: scambiare la diagonale, cambiare segno fuori diagonale, dividere per il determinante.
• Mettere $\det\Sigma$ senza radice nella costante: è $\sqrt{(2\pi)^n \det\Sigma}$; per $n = 2$, $2\pi\sqrt{\det\Sigma}$.