Esercizio 18vettore gaussiano con covarianza diagonale

Testo (I appello, 15 gennaio 2026, esercizio 5, Tema A; punti 6 = 2+2+2). Sia $(X, Y)$ un vettore aleatorio Gaussiano $N(m, \Sigma)$, dove

$$m = (0, 0), \qquad \Sigma = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.$$

(a) Stabilire se $X$ e $Y$ sono indipendenti e scrivere esplicitamente la densità congiunta di $(X, Y)$.

(b) Determinare la funzione di distribuzione di $V := X + Y$ e calcolare la probabilità $P(|V| > 2)$.

(c) Calcolare la funzione caratteristica di $W := 2 + V$, $\varphi_W(\theta) := E[e^{i\theta W}]$, con $\theta \in \mathbb R$.

Lettura dei dati

Nella matrice di covarianzaDiagonale: le varianze; fuori diagonale: le covarianze.Covarianza e coefficiente di correlazione →:

• sulla diagonale: $\text{Var}(X) = 2$, $\text{Var}(Y) = 2$;
• fuori diagonale: $\text{Cov}(X, Y) = 0$.

Medie: $E[X] = E[Y] = 0$. Le marginali di un vettore gaussiano sono gaussiane (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →), quindi $X \sim N(0, 2)$ e $Y \sim N(0, 2)$.

(a) Indipendenza e densità congiunta

Indipendenza

$\text{Cov}(X, Y) = 0$: $X$ e $Y$ sono non correlate. In generale questo non basta per l'indipendenza, ma per un vettore gaussiano sì: le componenti di un vettore gaussiano sono indipendenti se e solo se la matrice di covarianza è diagonale (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →).

$$\boxed{X \text{ e } Y \text{ sono indipendenti}}$$

Densità congiunta

Per l'indipendenza è il prodotto delle marginali $N(0, 2)$. La densità di $N(0, \sigma^2)$ con $\sigma^2 = 2$ è $\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 2}}e^{-x^2/(2\cdot 2)} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-x^2/4}$, quindi

$$f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-x^2/4}\cdot\frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-y^2/4} = \frac{1}{4\pi}e^{-\frac14(x^2 + y^2)}.$$

$$\boxed{f(x, y) = \frac{1}{4\pi}\exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{4}\right), \qquad (x, y) \in \mathbb R^2}$$

Controllo con la formula generale $\frac{1}{2\pi\sqrt{\det\Sigma}}\exp\left(-\frac12 v^T\Sigma^{-1}v\right)$: $\det\Sigma = 4$, $\Sigma^{-1} = \frac12 I$, quindi $\frac{1}{2\pi\cdot 2}\exp\left(-\frac12\cdot\frac{x^2 + y^2}{2}\right)$ ✓.

La densità dipende solo da $x^2 + y^2$: le curve di livello sono circonferenze (varianze uguali e covarianza nulla).

(b) Legge di $V = X + Y$ e $P(|V| > 2)$

Legge di $V$

$V$ è una combinazione lineare di un vettore gaussiano (equivalentemente: somma di due gaussiane indipendenti), quindi è gaussiana (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →). Bastano media e varianza:

$$E[V] = E[X] + E[Y] = 0, \qquad \text{Var}(V) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y) = 2 + 2 + 0 = 4.$$

Quindi $V \sim N(0, 4)$, con deviazione standard $\sigma_V = 2$ e densità $f_V(v) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}e^{-v^2/8}$.

Funzione di distribuzione. Standardizzando:

$$\boxed{F_V(v) = P(V \le v) = P\left(\frac V2 \le \frac v2\right) = \Phi\left(\frac v2\right)}$$

dove $\Phi$ è la FdD della gaussiana standard (non ha espressione elementare, si lascia indicata).

$P(|V| > 2)$

$|V| > 2$ significa $V > 2$ oppure $V < -2$ (due code). Dividendo per $\sigma_V = 2$, con $Z = \frac V2 \sim N(0, 1)$:

$$P(|V| > 2) = P(|Z| > 1) = P(Z > 1) + P(Z < -1) = (1 - \Phi(1)) + \Phi(-1).$$

Per la simmetria $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$:

$$\boxed{P(|V| > 2) = 2\big(1 - \Phi(1)\big) \approx 2(1 - 0{,}8413) \approx 0{,}317}$$

È la regola "68%": una gaussiana sta entro una deviazione standard dalla media con probabilità circa $0{,}683$, quindi ne esce con probabilità circa $0{,}317$.

(c) Funzione caratteristica di $W = 2 + V$

Funzione caratteristica della gaussiana (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →): per $N(\mu, \sigma^2)$, $\varphi(\theta) = e^{i\mu\theta - \frac{\sigma^2}{2}\theta^2}$. Per $V \sim N(0, 4)$:

$$\varphi_V(\theta) = e^{-\frac42\theta^2} = e^{-2\theta^2}.$$

Traslazione. Per la proprietà affine $\varphi_{V + b}(\theta) = e^{ib\theta}\varphi_V(\theta)$, con $b = 2$:

$$\varphi_W(\theta) = E[e^{i\theta(2 + V)}] = e^{2i\theta}E[e^{i\theta V}] = e^{2i\theta}e^{-2\theta^2}.$$

$$\boxed{\varphi_W(\theta) = e^{2i\theta - 2\theta^2}}$$

Controllo diretto. $W = 2 + V \sim N(2, 4)$ (traslare non cambia la varianza), e la formula con $\mu = 2$, $\sigma^2 = 4$ dà $e^{2i\theta - 2\theta^2}$ ✓.

Lettura. Il modulo $|\varphi_W(\theta)| = e^{-2\theta^2}$ è quello di $V$: la traslazione aggiunge solo una fase $e^{2i\theta}$ (come un ritardo nel dominio del tempo produce una fase nella trasformata di Fourier).

Errori comuni

• Dire "non correlate quindi indipendenti" senza citare la gaussianità: è il punto che il testo vuole vedere giustificato.
• Usare $\sigma = 2$ invece di $\sigma^2 = 2$ nella densità di $X$: $N(0, 2)$ ha varianza $2$ e deviazione standard $\sqrt2$.
• Standardizzare $V$ dividendo per $4$: si divide per $\sigma_V = 2$.
• Calcolare solo una coda in $P(|V| > 2)$.
• Scrivere $\varphi_W(\theta) = 2 + \varphi_V(\theta)$: una costante additiva in $W$ diventa un fattore $e^{ib\theta}$, non un addendo.