Esercizio 12somma di due geometriche indipendenti

Due esercizi d'appello quasi uguali sulla stessa coppia di v.a.

Testo 1 (II appello, 12 febbraio 2026, esercizio 4, Tema A; punti 6 = 1+3+2). Siano $X$ e $Y$ v.a. indipendenti e con distribuzione $\text{Geo}(1/2)$. Sia $Z := X + Y$.

(a) Calcolare la probabilità dell'evento $\{X > E(X)\}$. (b) Determinare l'alfabeto di $Z$ e la sua densità discreta. (c) Calcolare la probabilità condizionata $P(X = 3 \mid Z = 5)$.

Testo 2 (III appello, 24 giugno 2026, esercizio 3, Tema A; punti 7 = 2+2+3). Siano $X$ e $Y$ v.a. indipendenti e con distribuzione geometrica $\text{Geo}(1/2)$.

(a) Calcolare la probabilità dell'evento $\{X > E(X)\}$. (b) Calcolare il valor medio della v.a. $W = \left(\frac32\right)^X$. (c) Sia $Z := X + Y$. Determinare l'alfabeto di $Z$ e la sua densità discreta.

Dati

$X \sim \text{Geo}(\frac12)$: numero di lanci di una moneta equa fino alla prima testa. Dalla Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →:

$$p_X(n) = \left(1 - \tfrac12\right)^{n-1}\cdot\tfrac12 = \frac{1}{2^n}, \quad n = 1, 2, \dots; \qquad E[X] = \frac1p = 2; \qquad P(X > n) = \left(\tfrac12\right)^n.$$

Stesse formule per $Y$.

(a) $P(X > E[X])$ (entrambi i testi)

$E[X] = 2$, quindi l'evento è $\{X > 2\}$: "nei primi due lanci non è uscita testa". Per la probabilità di lunga attesa $P(X > n) = (1 - p)^n$:

$$P(X > E[X]) = P(X > 2) = \left(\tfrac12\right)^2 = \frac14.$$

$$\boxed{P(X > E[X]) = \frac14}$$

Controllo col complementare: $P(X \le 2) = p_X(1) + p_X(2) = \frac12 + \frac14 = \frac34$ ✓.

Nota: anche se $E[X] = 2$, la probabilità di superare la media è solo $\frac14$ (e $P(X \ge 2) = \frac12$): la geometrica è asimmetrica, con una coda lunga a destra che "tira su" la media.

(b, testo 2) $E\left[\left(\frac32\right)^X\right]$

Per il [[Valore atteso|teorema fondamentale del valor medio|E[g(X)] = somma di g(n) p_X(n): non serve la legge di g(X).]] con $g(n) = \left(\frac32\right)^n$:

$$E[W] = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac32\right)^n \frac1{2^n} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac34\right)^n.$$

È una serie geometricaLa somma dei q^n per n da 1 a infinito vale q/(1 − q) quando il modulo di q è minore di 1. di ragione $\frac34 < 1$, quindi converge:

$$E[W] = \frac{3/4}{1 - 3/4} = \frac{3/4}{1/4} = 3.$$

$$\boxed{E[W] = 3}$$

(La soluzione ufficiale scrive la somma da $n = 0$ e toglie il termine $n = 0$, che vale $1$: $\frac{1}{1 - 3/4} - 1 = 4 - 1 = 3$. È lo stesso calcolo.)

Osservazione. Se la base fosse $2$ invece di $\frac32$, la ragione sarebbe $1$ e la serie divergerebbe: $E[2^X] = +\infty$. Il valore atteso esiste solo se $\frac{s}{2} < 1$, cioè per $s < 2$. Confronto con JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen →: $\left(\frac32\right)^{E[X]} = \frac94 = 2{,}25 \le 3 = E[W]$ ✓ (la funzione $x \mapsto (3/2)^x$ è convessa).

(b, testo 1) / (c, testo 2): alfabeto e densità di $Z = X + Y$

Alfabeto

$X$ e $Y$ valgono almeno $1$, quindi $Z \ge 2$. Ogni intero $n \ge 2$ si ottiene (ad esempio $X = 1$, $Y = n - 1$). Quindi

$$\mathcal X_Z = \{2, 3, 4, \dots\}.$$

Densità: convoluzione discreta

Si spezza $\{Z = n\}$ secondo il valore di $Y$ (formula delle probabilità totali con la partizione $\{Y = j\}$), come in Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →:

$$p_Z(n) = P(X + Y = n) = \sum_{j} P(X = n - j \mid Y = j)\,P(Y = j).$$

Indipendenza: $P(X = n - j \mid Y = j) = P(X = n - j)$ (sapere $Y$ non cambia la legge di $X$).

Estremi: serve $j \ge 1$ (valore di $Y$) e $n - j \ge 1$ (valore di $X$), cioè $1 \le j \le n - 1$.

$$p_Z(n) = \sum_{j=1}^{n-1} P(X = n - j)\,P(Y = j) = \sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{n-j}}\cdot\frac1{2^j} = \sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^n} = \frac{n - 1}{2^n}.$$

Ogni termine vale $\frac1{2^n}$ (gli esponenti si sommano sempre a $n$) e i termini sono $n - 1$.

$$\boxed{p_Z(n) = \frac{n - 1}{2^n}, \qquad n = 2, 3, \dots}$$

Controlli.

• $p_Z(2) = \frac14$: unica possibilità $X = Y = 1$, probabilità $\frac12\cdot\frac12$ ✓.
• $p_Z(3) = \frac28 = \frac14$: due possibilità, $(1, 2)$ e $(2, 1)$, ciascuna $\frac18$ ✓.
• Somma: $\sum_{n \ge 2}\frac{n-1}{2^n} = \sum_{m \ge 1}\frac{m}{2^{m+1}} = \frac12\sum_m m\left(\frac12\right)^m = \frac12 \cdot \frac{1/2}{(1/2)^2} = 1$ ✓ (usando $\sum_m m q^m = \frac{q}{(1-q)^2}$).
• Media: $E[Z] = E[X] + E[Y] = 4$.

Interpretazione. $Z$ è il numero di lanci necessari per ottenere due teste: $\{Z = n\}$ significa che il lancio $n$ è testa e tra i primi $n - 1$ c'è esattamente una testa ($n - 1$ posizioni), ognuna di queste sequenze ha probabilità $\frac1{2^n}$.

(c, testo 1) $P(X = 3 \mid Z = 5)$

Per definizione di Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →:

$$P(X = 3 \mid Z = 5) = \frac{P(X = 3, Z = 5)}{P(Z = 5)}.$$

Numeratore. Se $X = 3$, allora $Z = 5$ equivale a $Y = 2$: gli eventi $\{X = 3, Z = 5\}$ e $\{X = 3, Y = 2\}$ coincidono. Per l'indipendenza:

$$P(X = 3, Y = 2) = \frac1{2^3}\cdot\frac1{2^2} = \frac1{32}.$$

Denominatore, dal punto precedente: $P(Z = 5) = \frac{4}{2^5} = \frac{4}{32}$.

$$P(X = 3 \mid Z = 5) = \frac{1/32}{4/32} = \frac14.$$

$$\boxed{P(X = 3 \mid Z = 5) = \frac14}$$

Perché proprio $\frac14$. Sapendo che $Z = 5$, le coppie possibili sono $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$, e hanno tutte la stessa probabilità $\frac1{32}$. Quindi, dato $Z = 5$, $X$ è uniforme su $\{1, 2, 3, 4\}$, e ogni valore ha probabilità $\frac14$. In generale, dato $Z = n$, $X$ è uniforme su $\{1, \dots, n - 1\}$: la prima testa può essere in qualunque posizione prima della seconda, con la stessa probabilità.

Errori comuni

• In (a) usare $P(X \ge 2)$ invece di $P(X > 2)$.
• Estremi della convoluzione da $0$ a $n$: la geometrica parte da $1$, quindi $j$ va da $1$ a $n - 1$.
• Alfabeto $\{1, 2, \dots\}$ o $\{0, 1, \dots\}$: la somma di due v.a. $\ge 1$ è $\ge 2$.
• Nella condizionata, scrivere $P(X = 3)P(Z = 5)$ al numeratore: $X$ e $Z$ non sono indipendenti ($Z$ contiene $X$).