Esercizio 16due esponenziali indipendenti, quadrato e somma

Testo (I appello, 15 gennaio 2026, esercizio 4, Tema A; punti 6 = 1+3+2). Siano $X$ e $Y$ due v.a. esponenziali indipendenti e tali che $X \sim \text{Exp}(2)$ e $Y \sim \text{Exp}(2)$.

(a) Determinare la densità congiunta del vettore $(X, Y)$.

(b) Determinare la densità (eventualmente generalizzata) di $W := X^2$.

(c) Calcolare la densità di $Z = X + Y$.

Dati

Dalle Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →, con $\lambda = 2$:

$$f_X(x) = 2e^{-2x}\,\mathbb 1_{[0,\infty)}(x), \qquad F_X(x) = 1 - e^{-2x} \ \ (x \ge 0).$$

Stessa densità per $Y$.

(a) Densità congiunta

Per v.a. indipendenti a.c. la densità congiunta è il prodotto delle marginali (Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →):

$$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x)\,f_Y(y) = 2e^{-2x}\cdot 2e^{-2y} = 4e^{-2(x + y)} \quad \text{se } x \ge 0 \text{ e } y \ge 0,$$

e $0$ altrove (basta che una delle due coordinate sia negativa perché uno dei fattori si annulli).

$$\boxed{f_{X,Y}(x, y) = 4e^{-2(x + y)}\,\mathbb 1_{\{x \ge 0,\ y \ge 0\}}}$$

Il supporto è il primo quadrante chiuso. Controllo: $\int_0^\infty\int_0^\infty 4e^{-2x}e^{-2y}dx\,dy = \left(\int_0^\infty 2e^{-2x}dx\right)^2 = 1$ ✓.

(b) Densità di $W = X^2$

Valori di $W$

$X \ge 0$, quindi $W = X^2 \ge 0$, e $W$ può assumere ogni valore $\ge 0$.

Funzione di distribuzione

Metodo della FdD (Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →):

• $w < 0$: $F_W(w) = P(X^2 \le w) = 0$, perché un quadrato non è mai negativo.
• $w \ge 0$: $X^2 \le w \iff |X| \le \sqrt w \iff -\sqrt w \le X \le \sqrt w$. Poiché $X \ge 0$, questo è $0 \le X \le \sqrt w$: $$F_W(w) = P(X \le \sqrt w) = F_X(\sqrt w) = 1 - e^{-2\sqrt w}.$$

Equivalentemente $F_W(w) = \int_0^{\sqrt w} 2e^{-2t}dt$, come nella soluzione ufficiale.

$$F_W(w) = \left(1 - e^{-2\sqrt w}\right)\mathbb 1_{(0,\infty)}(w).$$

Densità

$F_W$ è continua (in $0$ vale $0$ da entrambi i lati) e derivabile per $w > 0$. Derivando con la regola della catena, $\frac{d}{dw}\sqrt w = \frac{1}{2\sqrt w}$:

$$f_W(w) = 2e^{-2\sqrt w}\cdot\frac{1}{2\sqrt w} = \frac{e^{-2\sqrt w}}{\sqrt w}, \qquad w > 0.$$

$$\boxed{f_W(w) = \frac{1}{\sqrt w}e^{-2\sqrt w}\,\mathbb 1_{(0,\infty)}(w)}$$

Osservazioni.

• Vicino a $0$ la densità esplode (va come $\frac{1}{\sqrt w}$), ma resta integrabile: $\int_0^1 \frac{dw}{\sqrt w} = 2$. Ha senso: l'esponenziale ha molta probabilità vicino a $0$, e il quadrato "comprime" i valori piccoli (es. $[0; 0{,}1]$ diventa $[0; 0{,}01]$), quindi concentra la probabilità vicino a $0$.
• "Eventualmente generalizzata" nel testo prevede la possibilità che $W$ abbia una parte discreta (delta di Dirac). Qui non serve: $F_W$ non ha salti, quindi $W$ è assolutamente continua.
• Controllo con la formula per $g$ monotona (su $[0, \infty)$ il quadrato è crescente), $h(w) = \sqrt w$: $f_W(w) = f_X(\sqrt w)\cdot|h'(w)| = 2e^{-2\sqrt w}\cdot\frac{1}{2\sqrt w}$ ✓.

(c) Densità di $Z = X + Y$

$X$ e $Y$ sono indipendenti, quindi si usa la convoluzione (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →):

$$f_Z(z) = \int_{\mathbb R} f_X(z - y)\,f_Y(y)\,dy.$$

Estremi di integrazione

L'integranda è non nulla solo se entrambi i fattori lo sono:

• $f_Y(y) \ne 0 \iff y \ge 0$;
• $f_X(z - y) \ne 0 \iff z - y \ge 0 \iff y \le z$.

Quindi $y \in [0, z]$. Se $z < 0$ l'intervallo è vuoto e $f_Z(z) = 0$ (la somma di due v.a. positive è positiva).

Calcolo per $z \ge 0$

$$f_Z(z) = \int_0^z 2e^{-2(z - y)}\cdot 2e^{-2y}\,dy = 4\int_0^z e^{-2z + 2y - 2y}\,dy = 4e^{-2z}\int_0^z dy = 4z\,e^{-2z}.$$

Gli esponenti si combinano in $-2z$, che non dipende dalla variabile di integrazione $y$: si porta fuori e resta l'integrale di $1$ su un intervallo di lunghezza $z$.

$$\boxed{f_Z(z) = 4z\,e^{-2z}\,\mathbb 1_{(0,\infty)}(z)}$$

Riconoscimento. È la densità della Distribuzione gammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma → $\Gamma(2, 2)$: $\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}z^{\alpha - 1}e^{-\lambda z}$ con $\alpha = \lambda = 2$ dà $\frac{4}{1!}z\,e^{-2z}$ ✓. In generale $\text{Exp}(\lambda) + \text{Exp}(\lambda) = \Gamma(2, \lambda)$: il tempo d'attesa del secondo evento.

Controlli.

• Normalizzazione: $\int_0^\infty 4z e^{-2z}dz = 4\cdot\frac{1!}{2^2} = 1$ ✓ (formula $\int_0^\infty z^n e^{-\lambda z}dz = \frac{n!}{\lambda^{n+1}}$).
• Media: $E[Z] = E[X] + E[Y] = \frac12 + \frac12 = 1$, e $\int_0^\infty z\cdot 4ze^{-2z}dz = 4\cdot\frac{2}{8} = 1$ ✓.
• $f_Z(0) = 0$: è difficile che la somma sia vicina a $0$, perché servirebbero entrambe piccole. Diversamente dall'esponenziale, la densità parte da $0$, sale e poi scende (massimo in $z = \frac12$).

Errori comuni

• (a) Dimenticare il supporto: la formula $4e^{-2(x + y)}$ vale solo nel primo quadrante.
• (b) Scrivere $F_W(w) = F_X(\sqrt w) - F_X(-\sqrt w)$ e poi usare $1 - e^{2\sqrt w}$ per $F_X(-\sqrt w)$: per argomento negativo $F_X$ vale $0$.
• (b) Dimenticare il fattore $\frac{1}{2\sqrt w}$ nella derivata.
• (c) Moltiplicare le densità, $f_Z(z) = f_X(z)f_Y(z) = 4e^{-4z}$: è sbagliato, serve la convoluzione.
• (c) Integrare su $[0, \infty)$ invece che su $[0, z]$, dimenticando il vincolo $z - y \ge 0$.