Convergenza di successioni di variabili aleatorie

Punto 7 del programma ("convergenza quasi certa, in probabilità, in distribuzione e in media p-esima: definizione, primi esempi, relazioni; convergenza della funzione caratteristica e teorema di continuità di Lévy"). Prerequisiti: Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen →, Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →, Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →. Seguito: Legge dei grandi numeri e metodo Monte CarloSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ, la media campionaria X̄ₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n converge a μ: in probabilità (legge debole, dimostrata con Chebyshev se la varianza è finita: P(|X̄ₙ − μ| > ε) ≤ σ²/(nε²)) e quasi certamente (legge forte). Metodo Monte Carlo: ∫ g = E[g(U)] si stima con la media di g(U₁), ..., g(Uₙ) per uniformi indipendenti.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo →, Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →. In ogni appello del 2025-26 l'ultimo esercizio (4 punti) è su questo argomento.

Perché più di una nozione

Per una successione di numeri $a_n \to a$ c'è un solo significato. Una v.a. invece è una funzione $X_n(\omega)$ con una legge, e "$X_n$ si avvicina a $X$" può voler dire cose diverse:

• che i valori $X_n(\omega)$ tendono a $X(\omega)$ per quasi ogni esito;
• che la probabilità di essere lontani da $X$ tende a zero;
• che la distanza media tende a zero;
• che solo le leggi si assomigliano (le v.a. potrebbero anche essere definite su spazi diversi).

Le quattro definizioni

Sia $(X_n)_{n \ge 1}$ una successione di v.a. e $X$ una v.a.

Quasi certa ($X_n \xrightarrow{q.c.} X$): $$P\left(\left\{\omega : \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega)\right\}\right) = 1.$$

In probabilità ($X_n \xrightarrow{p} X$): per ogni $\varepsilon > 0$ $$\lim_{n\to\infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0.$$

In media $p$-esima, o in $L^p$, con $p \ge 1$ ($X_n \xrightarrow{L^p} X$): $$\lim_{n\to\infty} E\big[|X_n - X|^p\big] = 0.$$ Per $p = 1$ si dice in media, per $p = 2$ in media quadratica (o media seconda).

In distribuzione (o in legge, $X_n \xrightarrow{d} X$): $$\lim_{n\to\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x) \qquad \text{per ogni } x \text{ in cui } F_X \text{ è continua}.$$

Perché "nei punti di continuità". Sia $X_n = \frac1n$ (costante). Intuitivamente $X_n \to 0$. Ma $F_{X_n}(0) = P(\frac1n \le 0) = 0$ per ogni $n$, mentre $F_0(0) = 1$: nel punto di salto di $F_X$ la convergenza fallisce. Si escludono questi punti, che sono al più numerabili, per non perdere esempi così ovvi.

Relazioni

  q.c.  ─┐
         ├──▶  in probabilità  ──▶  in distribuzione
  L^p   ─┘
  (L² ⇒ L¹)

1. q.c. ⇒ in probabilità.
2. $L^p$ ⇒ in probabilità.
3. In probabilità ⇒ in distribuzione.
4. $L^q$ ⇒ $L^p$ se $q \ge p$ (in particolare $L^2$ ⇒ $L^1$).
5. In distribuzione verso una costante $c$ ⇒ in probabilità verso $c$.

Nessuna altra implicazione vale in generale.

Dimostrazione di 2 (Markov). L'evento $\{|X_n - X| > \varepsilon\}$ coincide con $\{|X_n - X|^p > \varepsilon^p\}$, quindi per la [[Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen|disuguaglianza di Markov|Per Y ≥ 0 e c > 0: P(Y ≥ c) ≤ E[Y] / c.]] $$P(|X_n - X| > \varepsilon) \le \frac{E[|X_n - X|^p]}{\varepsilon^p} \to 0.$$

Dimostrazione di 4 (Jensen). $\varphi(t) = t^{q/p}$ è convessa su $[0, \infty)$, quindi $E[|Y|^p]^{q/p} \le E[|Y|^q]$, cioè $E[|Y|^p] \le E[|Y|^q]^{p/q}$: se il secondo tende a $0$, anche il primo.

Dimostrazione di 5. Se $F_{X_n}(x) \to F_c(x)$, che vale $0$ per $x < c$ e $1$ per $x \ge c$ (continua ovunque tranne in $c$), allora per ogni $\varepsilon > 0$ $$P(|X_n - c| > \varepsilon) \le F_{X_n}(c - \varepsilon) + 1 - F_{X_n}(c + \varepsilon) \to 0 + 1 - 1 = 0.$$ È l'argomento usato in tutte le soluzioni d'esame: si studia la FdD, si trova un limite costante, e si ottiene gratis anche la convergenza in probabilità.

Il limite è unico (dove ha senso): se $X_n \to X$ in probabilità, in $L^p$ o q.c., e anche $X_n \to Y$ in uno qualsiasi di questi sensi, allora $X = Y$ quasi certamente. Quindi: se c'è convergenza in $L^p$, il limite deve essere quello trovato in probabilità. È il primo passo nello studio della convergenza in media.

Controesempi utili

In probabilità ma non in $L^p$. $P(X_n = 0) = 1 - \frac1n$, $P(X_n = n) = \frac1n$. Per ogni $\varepsilon \in (0, n)$, $P(|X_n| > \varepsilon) = \frac1n \to 0$: in probabilità a $0$. Ma $E[|X_n|] = n \cdot \frac1n = 1 \not\to 0$: non in $L^1$. Una massa piccolissima molto lontana basta a tenere alta la media.

In distribuzione ma non in probabilità. $X \sim N(0, 1)$ e $X_n = -X$ per ogni $n$. Tutte le $X_n$ hanno la stessa legge di $X$ (simmetria), quindi $X_n \to X$ in distribuzione banalmente. Ma $|X_n - X| = 2|X|$ non tende a $0$: non in probabilità. La convergenza in distribuzione guarda solo le leggi, non i valori.

Teorema di continuità di Lévy

$X_n \xrightarrow{d} X$ se e solo se $\varphi_{X_n}(\theta) \to \varphi_X(\theta)$ per ogni $\theta \in \mathbb R$.

Più precisamente: se $\varphi_{X_n}(\theta) \to \varphi(\theta)$ per ogni $\theta$ e il limite $\varphi$ è continuo in $0$, allora $\varphi$ è la funzione caratteristica di una v.a. $X$ e $X_n \xrightarrow{d} X$.

È lo strumento per dimostrare il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →: le funzioni caratteristiche delle somme sono prodotti, facili da mandare al limite. La continuità in $0$ serve a escludere che la probabilità "scappi all'infinito": per $X_n \sim N(0, n)$, $\varphi_n(\theta) = e^{-n\theta^2/2} \to 0$ per $\theta \ne 0$ e $\to 1$ in $\theta = 0$; il limite è discontinuo in $0$ e infatti $X_n$ non converge in distribuzione.

Metodo per gli esercizi d'esame

Lo schema delle soluzioni ufficiali per successioni del tipo "$X_n$ vale $0$ con probabilità quasi $1$ e un valore grande con probabilità piccola":

1. Distribuzione. Scrivere $F_{X_n}$ e farne il limite per ogni $x$ fissato (oppure il limite di $\varphi_{X_n}$ e usare Lévy). Riconoscere la FdD limite, di solito quella della costante $0$.
2. Probabilità. Se il limite è una costante, segue dalla 5. In alternativa, calcolare direttamente $P(|X_n| > \varepsilon)$ per $n$ grande.
3. $L^1$ e $L^2$. Il limite, se c'è, è la stessa costante. Calcolare $E[|X_n - 0|]$ ed $E[|X_n - 0|^2]$ e vedere se tendono a $0$.

In tutti e tre i casi c'è convergenza in distribuzione, in probabilità e in $L^1$ a $0$, ma non in $L^2$. Il motivo è sempre lo stesso: il momento secondo pesa il valore grande al quadrato, e il quadrato compensa esattamente la probabilità piccola.

Esempio svolto (I appello 15.01.2026). $P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n^2}$, $P(X_n = n) = \frac1{n^2}$.

• $F_{X_n}(x) = 0$ per $x < 0$, $1 - \frac1{n^2}$ per $0 \le x < n$, $1$ per $x \ge n$. Per $x$ fissato e $n > x$, siamo nel tratto centrale (se $x \ge 0$), quindi $F_{X_n}(x) \to 1$ per $x \ge 0$ e resta $0$ per $x < 0$: è la FdD della costante $0$. Quindi $X_n \xrightarrow{d} 0$ e, per la 5, $X_n \xrightarrow{p} 0$.
• $E[|X_n|] = n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac1n \to 0$: $X_n \xrightarrow{L^1} 0$.
• $E[X_n^2] = n^2 \cdot \frac1{n^2} = 1 \not\to 0$: niente convergenza in $L^2$.

Altri limiti tipici (II parziale 15.01.2026, Esercizio 27 · media campionaria e massimo di uniformi): il massimo $Z_n$ di $n$ uniformi su $[0, 1]$ ha $F_{Z_n}(x) = x^n \to 0$ per $x < 1$ e $= 1$ per $x \ge 1$: converge in distribuzione, e quindi in probabilità, alla costante $1$.

Riepilogo

Errori comuni

• Dedurre la convergenza in $L^1$ da quella in probabilità: il controesempio $X_n = n$ con probabilità $\frac1n$ mostra che è falso.
• Pretendere la convergenza della FdD anche nei punti di salto del limite.
• Calcolare $E[X_n] \to 0$ e concludere la convergenza in $L^1$: serve $E[|X_n - X|]$, col modulo. Nel II appello $E[X_n] = 0$ per ogni $n$ (per simmetria), ma la convergenza in $L^1$ va verificata con $E[|X_n|] = \frac{2}{\sqrt n}$.
• Dimenticare che il limite in $L^p$ deve coincidere con quello in probabilità.