Esercizio 27media campionaria e massimo di uniformi

Testo (II parziale, 15 gennaio 2026, esercizio 4, Tema A; punti 8 = 2+3+3). Siano $(X_n)_{n \ge 1}$ variabili aleatorie indipendenti con legge uniforme su $[0, 1]$. Per ogni $n \ge 1$, definiamo

$$\bar X_n := \frac1n\sum_{k=1}^n X_k, \qquad Z_n := \max(X_1, X_2, \dots, X_n).$$

(a) Studiare la convergenza in distribuzione e in probabilità di $(\bar X_n)_{n \ge 1}$.

(b) Calcolare la funzione di distribuzione di $Z_n$, per $n \ge 1$.

(c) Studiare la convergenza in distribuzione e in probabilità di $(Z_n)_{n \ge 1}$.

Dati

$X_k \sim U(0, 1)$ (Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →): $E[X_k] = \frac12$, $\text{Var}(X_k) = \frac1{12}$, e

$$F_{X_k}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & 0 \le x < 1 \\ 1 & x \ge 1. \end{cases}$$

(a) La media campionaria

Legge dei grandi numeri

Le $X_k$ sono i.i.d. (indipendenti e con la stessa legge) con varianza finita $\frac1{12}$: sono esattamente le ipotesi della legge debole dei grandi numeriPer v.a. i.i.d. con varianza finita, la media campionaria converge in probabilità alla media comune.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo →. Quindi

$$\boxed{\bar X_n \xrightarrow{p} \frac12}$$

Con la stima esplicita (Chebyshev): $E[\bar X_n] = \frac12$, $\text{Var}(\bar X_n) = \frac{1}{12n}$, quindi per ogni $\varepsilon > 0$ $$P\left(\left|\bar X_n - \tfrac12\right| > \varepsilon\right) \le \frac{1}{12n\varepsilon^2} \to 0.$$

Distribuzione

La convergenza in probabilità implica quella in distribuzione (Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →):

$$\boxed{\bar X_n \xrightarrow{d} \frac12}$$

(La legge forte aggiunge che la convergenza è anche quasi certa.)

(b) Funzione di distribuzione del massimo

L'idea chiave

Il massimo di $n$ numeri è $\le x$ se e solo se tutti i numeri sono $\le x$:

$$\{Z_n \le x\} = \{X_1 \le x\} \cap \{X_2 \le x\} \cap \dots \cap \{X_n \le x\}.$$

Per l'indipendenza la probabilità dell'intersezione è il prodotto, e le $X_k$ hanno tutte la stessa FdD:

$$F_{Z_n}(x) = P(X_1 \le x)\cdots P(X_n \le x) = \big(F_{X_1}(x)\big)^n$$

(vedi Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →, massimo e minimo di v.a. indipendenti).

Con le uniformi

Si eleva alla $n$ ogni tratto di $F_{X_1}$:

$$\boxed{F_{Z_n}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x^n & 0 \le x < 1 \\ 1 & x \ge 1 \end{cases}}$$

Densità (non richiesta): derivando, $f_{Z_n}(x) = nx^{n-1}$ su $[0, 1]$; la media è $E[Z_n] = \int_0^1 x\cdot nx^{n-1}dx = \frac{n}{n + 1}$, che tende a $1$.

(c) Convergenza del massimo

Distribuzione

Limite di $F_{Z_n}(z)$ con $z$ fissato:

• $z < 0$: $F_{Z_n}(z) = 0 \to 0$;
• $0 \le z < 1$: $F_{Z_n}(z) = z^n \to 0$, perché una potenza di un numero in $[0, 1)$ tende a zero;
• $z \ge 1$: $F_{Z_n}(z) = 1 \to 1$.

$$\lim_{n\to\infty}F_{Z_n}(z) = \begin{cases} 0 & z < 1 \\ 1 & z \ge 1 \end{cases}$$

È la FdD della costante $1$:

$$\boxed{Z_n \xrightarrow{d} 1}$$

Probabilità

Convergenza in distribuzione verso una costante ⇒ convergenza in probabilità alla stessa costante:

$$\boxed{Z_n \xrightarrow{p} 1}$$

Verifica diretta. $Z_n \le 1$ sempre, quindi per $\varepsilon \in (0, 1)$ $$P(|Z_n - 1| > \varepsilon) = P(Z_n < 1 - \varepsilon) = (1 - \varepsilon)^n \to 0 \ ✓$$

Ad esempio, con $n = 100$ uniformi la probabilità che il massimo sia sotto $0{,}95$ è $0{,}95^{100} \approx 0{,}006$.

Interpretazione. Con tante uniformi su $[0, 1]$, prima o poi qualcuna cade vicinissima a $1$, e il massimo si "incolla" all'estremo destro dell'intervallo.

Errori comuni

• (b) Scrivere $F_{Z_n}(x) = nF(x)$ o $1 - (1 - F(x))^n$: la seconda è la formula del minimo.
• (b) Elevare alla $n$ anche gli zeri e gli uni senza pensarci: va bene ($0^n = 0$, $1^n = 1$), ma la FdD va scritta su tutta la retta.
• (c) Dire che il limite di $z^n$ è $0$ anche in $z = 1$: lì vale $1$ per ogni $n$.
• (a) Citare la legge dei grandi numeri senza verificarne le ipotesi (i.i.d., varianza o media finita).