Vettori aleatori assolutamente continui

Punto 4 del programma, caso continuo ("funzione di ripartizione congiunta e marginale; densità congiunta e marginale; indipendenza; somma e funzioni scalari di vettori aleatori"). Prerequisiti: Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →. Seguito: Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →, Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

Tutto funziona come nel caso discretoUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, con integrali doppi al posto delle somme doppie.

Funzione di ripartizione congiunta

La funzione di ripartizione congiunta (FdR) di un vettore $(X, Y)$ è $$F_{X,Y}(x, y) := P(X \le x, Y \le y), \qquad (x, y) \in \mathbb R^2.$$

È la probabilità che il punto aleatorio $(X, Y)$ cada nel "quadrante" in basso a sinistra del punto $(x, y)$. Vale per qualsiasi vettore (discreto, continuo, misto) e determina la legge del vettore.

Marginali dalla FdR. Mandando $y \to +\infty$, l'evento $\{Y \le y\}$ cresce fino a $\Omega$, quindi (per continuità della probabilità)

$$F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} F_{X,Y}(x, y), \qquad F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty} F_{X,Y}(x, y).$$

Probabilità di un rettangolo: $P(a < X \le b, c < Y \le d) = F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c)$ (si toglie due volte il quadrante in basso a sinistra e lo si riaggiunge una volta: inclusione-esclusione).

Densità congiunta

Il vettore $(X, Y)$ è assolutamente continuo se esiste $f_{X,Y} : \mathbb R^2 \to [0, +\infty)$ tale che $$P((X, Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy \qquad \text{per ogni } A \subseteq \mathbb R^2 \text{ boreliano}.$$ In particolare $\iint_{\mathbb R^2} f_{X,Y} = 1$ e $F_{X,Y}(x, y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(s, t) \, dt \, ds$.

Interpretazione. $f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy$ è la probabilità che il punto cada in un rettangolino di lati $dx$, $dy$ attorno a $(x, y)$: probabilità per unità di area. Le probabilità sono volumi sotto la superficie $z = f(x, y)$.

Dalla FdR alla densità: $f_{X,Y}(x, y) = \dfrac{\partial^2 F_{X,Y}}{\partial x \, \partial y}(x, y)$ dove la derivata esiste.

Conseguenza: curve e segmenti hanno area nulla, quindi probabilità nulla. Ad esempio $P(X = Y) = 0$ e $P(Y = 2X) = 0$ per ogni vettore a.c.

Trovare la costante

Come per una v.a., si impone $f \ge 0$ e $\iint f = 1$.

Esempio (II parziale 15.01.2026, Esercizio 17 · densità congiunta c(x+y) sul quadrato): $f(x, y) = c(x + y)$ sul quadrato $[0, 3]^2$.

$$\int_0^3 \int_0^3 (x + y) \, dx \, dy = \int_0^3 \left[\frac{x^2}{2} + xy\right]_{x=0}^{x=3} dy = \int_0^3 \left(\frac92 + 3y\right) dy = \frac{27}{2} + \frac{27}{2} = 27,$$

quindi $c = \frac{1}{27}$.

Densità marginali

Se $(X, Y)$ è a.c., allora $X$ e $Y$ sono a.c. con densità $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dy, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dx.$$

Perché. $P(X \le x) = P((X, Y) \in (-\infty, x] \times \mathbb R) = \int_{-\infty}^x \left(\int_{\mathbb R} f_{X,Y}(s, y) \, dy\right) ds$: la funzione tra parentesi soddisfa la definizione di densità di $X$. È l'analogo di "sommare sulla riga" della tabella discreta: si "schiaccia" tutta la probabilità sull'asse $x$.

Esempio (quadrato): per $x \in [0, 3]$ $$f_X(x) = \frac{1}{27}\int_0^3 (x + y) \, dy = \frac{1}{27}\left(3x + \frac92\right) = \frac x9 + \frac16,$$ e $0$ fuori. Per simmetria $f_Y$ è la stessa funzione.

Regioni non rettangolari: il punto più delicato

Quando la densità è positiva su un triangolo o su un'altra regione non rettangolare, gli estremi di integrazione dipendono dalla variabile fissata. Conviene sempre disegnare la regione.

Esempio (II appello 12.02.2026, Esercizio 21 · densità condizionata e proprietà della torre): $f_{X,Y}(x, y) = 3y$ sul triangolo $T = \{0 \le x \le y \le 1\}$.

Lo stesso triangolo si descrive in due modi:

• "per $y$ fissato": $0 \le y \le 1$ e $0 \le x \le y$;
• "per $x$ fissato": $0 \le x \le 1$ e $x \le y \le 1$.

Per la marginale di $X$ si fissa $x$ e si integra in $y$ sul segmento verticale dentro $T$, cioè da $y = x$ a $y = 1$:

$$f_X(x) = \int_x^1 3y \, dy = \frac32(1 - x^2), \qquad 0 \le x \le 1.$$

Per la marginale di $Y$ si fissa $y$ e si integra in $x$ da $0$ a $y$: $f_Y(y) = \int_0^y 3y \, dx = 3y^2$ su $[0, 1]$.

Errore classico: scrivere $f_X(x) = \int_0^1 3y \, dy = \frac32$, dimenticando che per un $x$ fissato non tutti gli $y \in [0, 1]$ stanno nel triangolo.

Indipendenza

$X$ e $Y$ (con $(X, Y)$ a.c.) sono indipendenti se e solo se $$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) \, f_Y(y) \qquad \text{per (quasi) ogni } (x, y).$$ Equivalentemente, $F_{X,Y}(x, y) = F_X(x) F_Y(y)$ per ogni $(x, y)$.

Criteri pratici.

1. Costruzione: se il testo dice che $X$ e $Y$ sono indipendenti, la congiunta è il prodotto. Esempio (I appello 15.01.2026, Esercizio 16 · due esponenziali indipendenti, quadrato e somma): $X, Y \sim \text{Exp}(2)$ indipendenti danno $f_{X,Y}(x, y) = 2e^{-2x} \cdot 2e^{-2y} = 4e^{-2(x + y)}$ per $x, y \ge 0$.
2. Fattorizzazione: se $f_{X,Y}(x, y) = g(x) h(y)$ e la regione in cui è positiva è un rettangolo (anche illimitato), $X$ e $Y$ sono indipendenti.
3. Supporto non rettangolare ⇒ non indipendenti. Sul triangolo $T$ dell'esempio, il punto $(x, y) = (0{,}9;\ 0{,}1)$ ha $f_{X,Y} = 0$ (non sta in $T$), mentre $f_X(0{,}9) > 0$ e $f_Y(0{,}1) > 0$: il prodotto è positivo, quindi non sono indipendenti. Intuitivamente: sapere che $Y$ è piccolo costringe anche $X$ a essere piccolo.
4. Non fattorizzabile: $c(x + y)$ sul quadrato non si scrive come $g(x)h(y)$; in concreto $f(0, 0) = 0$ mentre $f_X(0) f_Y(0) = \frac{1}{36} \ne 0$.

Valore medio di funzioni del vettore

$$E[g(X, Y)] = \iint_{\mathbb R^2} g(x, y) \, f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy.$$

Come nel discreto, ne seguono la linearità $E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ (sempre) e, per v.a. indipendenti, $E[g(X) h(Y)] = E[g(X)] E[h(Y)]$ (l'integrale doppio di un prodotto su un rettangolo si spezza nel prodotto di due integrali).

Esempio (quadrato): $E[XY] = \frac{1}{27}\int_0^3\int_0^3 xy(x + y) \, dx \, dy$. Per simmetria i due addendi $x^2 y$ e $x y^2$ danno lo stesso contributo: $\int_0^3\int_0^3 x^2 y \, dx\, dy = 9 \cdot \frac92 = \frac{81}{2}$, quindi $E[XY] = \frac{1}{27} \cdot 81 = 3$. Con $E[X] = \int_0^3 x\left(\frac x9 + \frac16\right) dx = 1 + \frac34 = \frac74$ si ottiene $E[XY] - E[X]E[Y] = 3 - \frac{49}{16} = -\frac{1}{16}$: la covarianza è negativa, conferma della non indipendenza (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →).

Probabilità di eventi che coinvolgono entrambe le v.a.

$P(X < Y)$, $P(X + Y \le 1)$, $P(\max(X, Y) \le t)$ si calcolano integrando la densità congiunta sulla regione corrispondente.

Esempio. $X, Y \sim \text{Exp}(\lambda)$ indipendenti. $P(X < Y)$: si integra su $\{0 \le x < y\}$, fissando $x$ e facendo variare $y$ da $x$ a $\infty$:

$$P(X < Y) = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} \left(\int_x^\infty \lambda e^{-\lambda y} dy\right) dx = \int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x} e^{-\lambda x} dx = \frac{\lambda}{2\lambda} = \frac12,$$

come ci si aspetta per simmetria. Con parametri diversi $\lambda, \mu$ lo stesso calcolo dà $P(X < Y) = \frac{\lambda}{\lambda + \mu}$.

Vettori di dimensione $n$

Tutto si estende a $(X_1, \dots, X_n)$: densità $f(x_1, \dots, x_n)$ con integrale $n$-plo uguale a $1$; marginali integrando sulle altre variabili; indipendenza se la densità è il prodotto delle $n$ marginali. Il caso più importante è il vettore gaussianoX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

Riepilogo

Errori comuni

• Estremi di integrazione costanti su regioni non rettangolari: disegnare sempre il supporto e decidere quale variabile si fissa.
• Concludere l'indipendenza dalla sola fattorizzazione della formula, ignorando che il supporto è un triangolo (es. $f = 2$ su $\{0 \le x \le y \le 1\}$ è costante, quindi "fattorizzabile", ma $X$ e $Y$ non sono indipendenti).
• Dimenticare le indicatrici nella marginale: $f_X(x) = \frac x9 + \frac16$ vale solo per $x \in [0, 3]$.
• Calcolare la densità di una somma moltiplicando le densità: per $X + Y$ serve la convoluzione (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →).