Esercizio 24convergenze di Xn a valori 0 e n

Testo (I appello, 15 gennaio 2026, esercizio 6, Tema A; punti 4 = 2+2). Sia $(X_n)_{n \ge 1}$ una successione di v.a. tali che, per ogni $n \in \mathbb N$, $X_n$ ha densità discreta

$$P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n^2}, \qquad P(X_n = n) = \frac{1}{n^2}.$$

(a) Studiare la convergenza in distribuzione e in probabilità di $(X_n)_{n \ge 1}$.

(b) Studiare la convergenza in media (in $L^1$) ed in media seconda (in $L^2$) di $(X_n)_{n \ge 1}$.

L'intuizione prima dei conti

$X_n$ vale quasi sempre $0$; con probabilità piccolissima ($\frac1{n^2}$) vale $n$, un numero grande. Al crescere di $n$ il valore "anomalo" diventa sempre più grande ma sempre più raro. Ci si aspetta che $X_n \to 0$ nei sensi che guardano quanto spesso si è lontani da $0$ (distribuzione, probabilità); per le medie bisogna vedere chi vince tra "più grande" e "più raro".

Metodo: lo schema in tre passi di Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →.

(a) Distribuzione e probabilità

Funzione di distribuzione di $X_n$

$X_n$ è discreta con due valori, $0$ e $n$: la FdDLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione → è a gradini, con un salto di $1 - \frac1{n^2}$ in $0$ e un salto di $\frac1{n^2}$ in $n$:

$$F_{X_n}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 - \frac{1}{n^2} & 0 \le x < n \\ 1 & x \ge n. \end{cases}$$

Limite per $n \to \infty$, con $x$ fissato

• $x < 0$: $F_{X_n}(x) = 0$ per ogni $n$, limite $0$.
• $x \ge 0$: appena $n > x$, il punto $x$ cade nel tratto centrale, quindi $F_{X_n}(x) = 1 - \frac1{n^2} \to 1$.

(Il punto chiave è che $x$ è fissato mentre $n$ cresce: prima o poi il secondo gradino, che sta in $n$, supera $x$ e "scappa via" a destra.)

$$\lim_{n\to\infty}F_{X_n}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0 \end{cases}$$

È la FdD della v.a. costante $X = 0$. Quindi

$$\boxed{X_n \xrightarrow{d} 0}$$

(Qui la convergenza vale anche nel punto di salto $x = 0$, ma non era necessario.)

Probabilità

La convergenza in distribuzione verso una costante implica la convergenza in probabilità verso la stessa costante. Quindi

$$\boxed{X_n \xrightarrow{p} 0}$$

Verifica diretta. Per $\varepsilon > 0$ e $n > \varepsilon$, $|X_n| > \varepsilon$ succede solo quando $X_n = n$: $$P(|X_n - 0| > \varepsilon) = P(X_n = n) = \frac1{n^2} \to 0 \ ✓$$

(b) Media e media seconda

Il candidato limite

Se $X_n$ convergesse in $L^1$ o in $L^2$ a qualche $X$, convergerebbe a $X$ anche in probabilità; ma il limite in probabilità è unico ed è $0$. Quindi l'unico limite possibile è $X = 0$: basta studiare $E[|X_n - 0|]$ ed $E[|X_n - 0|^2]$.

Momenti

$X_n \ge 0$, quindi $|X_n| = X_n$:

$$E[|X_n|] = 0\cdot\left(1 - \tfrac1{n^2}\right) + n\cdot\tfrac{1}{n^2} = \frac1n, \qquad E[|X_n|^2] = 0 + n^2\cdot\tfrac{1}{n^2} = 1.$$

Conclusioni

$$\lim_{n\to\infty}E[|X_n - 0|] = \lim_{n\to\infty}\frac1n = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \xrightarrow{L^1} 0}$$

$$\lim_{n\to\infty}E[|X_n - 0|^2] = 1 \ne 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \text{ non converge a } 0 \text{ in } L^2}$$

e, per quanto detto sul candidato limite, $X_n$ non converge in $L^2$ a nessuna v.a.

Perché $L^1$ sì e $L^2$ no

Il contributo del valore anomalo al momento $p$-esimo è $n^p\cdot\frac{1}{n^2} = n^{p - 2}$:

Nella media il valore $n$ conta "una volta" e la probabilità $\frac{1}{n^2}$ vince; nella media seconda conta "al quadrato", $n^2$, e compensa esattamente la probabilità. Più alto è $p$, più le medie sono sensibili ai valori grandi e rari. È coerente con la relazione generale $L^2 \Rightarrow L^1$, non viceversa.

Riepilogo

Errori comuni

• Calcolare il limite di $F_{X_n}(x)$ "in $x = n$": $x$ è fissato, non dipende da $n$.
• Cercare un limite in $L^2$ diverso da $0$: il limite deve essere quello in probabilità.
• Dedurre la convergenza in $L^2$ da quella in $L^1$: l'implicazione va nell'altro verso.