Esercizio 15densità c(1+x) e radice quadrata

Testo (III appello, 24 giugno 2026, esercizio 4, Tema A; punti 6 = 2+2+2). Sia $X$ una variabile aleatoria con densità

$$f_X(x) = c(1 + x)\,\mathbb 1_{[0,1]}(x).$$

Si definisca inoltre $Z = \sqrt X$.

(a) Determinare la costante $c$ e la funzione di distribuzione $F_X$.

(b) Calcolare il valor medio e la funzione caratteristica di $X$.

(c) Determinare la densità di $Z$ e calcolare $P\left(Z > \frac12\right)$.

(a) Costante e funzione di distribuzione

La costante

Condizioni per una densità (Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →):

• segno: su $[0, 1]$ il fattore $1 + x$ è positivo, quindi serve $c > 0$;
• normalizzazione: $$1 = \int_{\mathbb R} f_X = c\int_0^1 (1 + x)\,dx = c\left[x + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = c\left(1 + \frac12\right) = \frac32 c.$$

$$\boxed{c = \frac23}, \qquad f_X(x) = \frac23(1 + x)\,\mathbb 1_{[0,1]}(x).$$

Geometricamente: sotto la retta $1 + x$ tra $0$ e $1$ c'è un trapezio di basi $1$ e $2$ e altezza $1$, con area $\frac32$; dividendo per $\frac32$ l'area diventa $1$.

La FdD

Tre zone:

• $x < 0$: $F_X(x) = 0$ (nessuna probabilità a sinistra di $0$);
• $0 \le x < 1$: $F_X(x) = \frac23\int_0^x (1 + t)\,dt = \frac23\left(x + \frac{x^2}{2}\right)$;
• $x \ge 1$: $F_X(x) = 1$.

$$\boxed{F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac23\left(x + \frac{x^2}{2}\right) & 0 \le x < 1 \\ 1 & x \ge 1 \end{cases}}$$

Controllo di continuità: in $0$ vale $0$, in $1$ vale $\frac23\cdot\frac32 = 1$ ✓.

(b) Media e funzione caratteristica

Media

$$E[X] = \int x f_X(x)\,dx = \frac23\int_0^1 x(1 + x)\,dx = \frac23\int_0^1 (x + x^2)\,dx = \frac23\left(\frac12 + \frac13\right) = \frac23\cdot\frac56 = \frac59.$$

$$\boxed{E[X] = \frac59 \approx 0{,}556}$$

Plausibile: è un po' più di $\frac12$ perché la densità cresce, quindi pesa di più la parte destra di $[0, 1]$.

Funzione caratteristica

Definizione (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →) e teorema fondamentale del valor medio:

$$\varphi_X(\theta) = E[e^{i\theta X}] = \frac23\int_0^1 e^{i\theta x}(1 + x)\,dx = \frac23\left(\int_0^1 e^{i\theta x}dx + \int_0^1 x e^{i\theta x}dx\right).$$

Caso $\theta = 0$: $\varphi_X(0) = 1$ (vale per ogni v.a.).

Caso $\theta \ne 0$. Si integra l'esponenziale complesso come quello reale, con costante $i\theta$:

$$\int_0^1 e^{i\theta x}dx = \left[\frac{e^{i\theta x}}{i\theta}\right]_0^1 = \frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta}.$$

Il secondo integrale si fa per parti, con $u = x$ (che derivando diventa $1$) e $dv = e^{i\theta x}dx$ (quindi $v = \frac{e^{i\theta x}}{i\theta}$):

$$\int_0^1 x e^{i\theta x}dx = \left[x\frac{e^{i\theta x}}{i\theta}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{e^{i\theta x}}{i\theta}dx = \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}.$$

Sommando:

$$\boxed{\varphi_X(\theta) = \frac23\left[\frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta} + \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}\right] \ (\theta \ne 0), \qquad \varphi_X(0) = 1}$$

Volendo, $(i\theta)^2 = -\theta^2$, quindi l'ultimo termine è $+\frac{e^{i\theta} - 1}{\theta^2}$.

Controllo con la media. Deve valere $\varphi_X'(0) = iE[X] = \frac{5}{9}i$. Derivando sotto il segno di integrale, $\varphi_X'(\theta) = \frac23\int_0^1 ix\,e^{i\theta x}(1 + x)\,dx$, e in $\theta = 0$ si ottiene $\frac23\int_0^1 ix(1 + x)\,dx = i\cdot\frac59$ ✓.

(c) Densità di $Z = \sqrt X$ e $P(Z > \frac12)$

Funzione di distribuzione di $Z$

Metodo della FdD (Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →). $X \in [0, 1]$, quindi $Z = \sqrt X \in [0, 1]$: $F_Z(z) = 0$ per $z < 0$ e $F_Z(z) = 1$ per $z \ge 1$.

Per $z \in [0, 1]$: $\sqrt X \le z$ equivale a $X \le z^2$, perché entrambi i lati sono non negativi e il quadrato è crescente su $[0, \infty)$. Quindi

$$F_Z(z) = P(\sqrt X \le z) = P(X \le z^2) = F_X(z^2) = \frac23\left(z^2 + \frac{z^4}{2}\right).$$

Densità

Si deriva (regola della catena, $\frac{d}{dz}z^2 = 2z$):

$$f_Z(z) = \frac{d}{dz}F_X(z^2) = f_X(z^2)\cdot 2z = \frac23(1 + z^2)\cdot 2z = \frac43 z(1 + z^2), \qquad z \in [0, 1].$$

$$\boxed{f_Z(z) = \frac43 z(1 + z^2)\,\mathbb 1_{[0,1]}(z)}$$

È la formula per $g$ monotona, $f_Z(z) = f_X(h(z))\,|h'(z)|$ con $h(z) = z^2$. Controllo: $\int_0^1 \frac43(z + z^3)dz = \frac43\left(\frac12 + \frac14\right) = 1$ ✓.

$P(Z > \frac12)$

Non serve la densità di $Z$: si traduce l'evento su $X$.

$$P\left(Z > \tfrac12\right) = P\left(\sqrt X > \tfrac12\right) = P\left(X > \tfrac14\right) = 1 - F_X\left(\tfrac14\right).$$

$$F_X\left(\tfrac14\right) = \frac23\left(\frac14 + \frac{1}{32}\right) = \frac23\cdot\frac{9}{32} = \frac{3}{16}.$$

$$\boxed{P\left(Z > \tfrac12\right) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}}$$

Controllo con $F_Z$: $1 - F_Z(\frac12) = 1 - \frac23\left(\frac14 + \frac1{32}\right) = \frac{13}{16}$ ✓ (è lo stesso conto, perché $F_Z(\frac12) = F_X(\frac14)$).

Errori comuni

• Dimenticare l'indicatrice e integrare $c(1 + x)$ su tutta la retta.
• Nella FdD di $Z$ scrivere $F_X(\sqrt z)$ invece di $F_X(z^2)$: si inverte la funzione $\sqrt{\cdot}$, la cui inversa è il quadrato.
• Dimenticare il fattore $2z$ derivando $F_X(z^2)$.
• Per $\theta \ne 0$ dividere per $\theta$ invece che per $i\theta$ nell'integrale dell'esponenziale complesso.