Distribuzione gaussiana (normale)

Caso notevole del punto 3 del programma, il più importante di tutto il corso. Prerequisiti: Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →. Seguito: Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →, Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →.

Perché è ovunque

Il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale → dice che la somma di tante piccole cause indipendenti ha, approssimativamente, legge gaussiana, qualunque sia la legge delle singole cause. Il rumore termico in un circuito (somma dei contributi di moltissimi elettroni), gli errori di misura, l'altezza di una popolazione, il numero di teste in 100 lanci: tutti hanno distribuzione approssimativamente normale. Nelle telecomunicazioni il modello standard del rumore di canale è il rumore gaussiano.

Gaussiana standard $N(0, 1)$

$Z \sim N(0, 1)$ se ha densità $$\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}, \qquad z \in \mathbb R.$$ La sua FdD si indica con $\Phi(z) = \displaystyle\int_{-\infty}^z \varphi(t) \, dt$.

Perché la costante $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$. Bisogna sapere che $I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2/2} dz = \sqrt{2\pi}$. Il trucco classico: si calcola $I^2$ come integrale doppio e si passa in coordinate polari ($x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$):

$$I^2 = \int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R} e^{-(x^2 + y^2)/2} \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty e^{-r^2/2} r \, dr \, d\theta = 2\pi \left[-e^{-r^2/2}\right]_0^\infty = 2\pi.$$

Il fattore $r$ dello jacobiano è ciò che rende l'integrale calcolabile ($r e^{-r^2/2}$ ha primitiva elementare, $e^{-z^2/2}$ da sola no).

Proprietà di $\varphi$ e $\Phi$.

• $\varphi$ è pari (simmetrica rispetto a $0$), con massimo $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}399$ in $z = 0$ e flessi in $z = \pm 1$.
• $\Phi$ non ha un'espressione elementare: i suoi valori si leggono dalle tavole (o si calcolano al computer). Per questo negli esercizi si lasciano i risultati "in funzione di $\Phi$".
• Simmetria: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. Perché: per la parità di $\varphi$, l'area a sinistra di $-z$ è uguale all'area a destra di $z$, cioè $P(Z \le -z) = P(Z \ge z) = 1 - \Phi(z)$. In particolare $\Phi(0) = \frac12$, e le tavole riportano solo $z \ge 0$.
• Due code: $P(|Z| > c) = 2(1 - \Phi(c))$ e $P(|Z| \le c) = 2\Phi(c) - 1$.

Media e varianza. $E[Z] = 0$ perché $z\varphi(z)$ è dispari (e integrabile). Per la varianza, per parti con $u = z$, $dv = z e^{-z^2/2}dz$ ($v = -e^{-z^2/2}$):

$$E[Z^2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int z \cdot z e^{-z^2/2} \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left( \left[-z e^{-z^2/2}\right]_{-\infty}^{\infty} + \int e^{-z^2/2} dz \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (0 + \sqrt{2\pi}) = 1.$$

Quindi $\text{Var}(Z) = 1$.

Valori di $\Phi$ da ricordare

Regola 68-95-99,7: $P(|Z| \le 1) \approx 0{,}683$, $P(|Z| \le 2) \approx 0{,}954$, $P(|Z| \le 3) \approx 0{,}997$. Una gaussiana sta quasi sempre entro tre deviazioni standard dalla media.

Gaussiana generale $N(\mu, \sigma^2)$

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$, con $\mu \in \mathbb R$ e $\sigma > 0$, se $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \qquad x \in \mathbb R.$$ Allora $E[X] = \mu$ e $\text{Var}(X) = \sigma^2$.

$\mu$ sposta la campana (centro), $\sigma$ la allarga o la stringe (larghezza). Attenzione: il secondo parametro è la varianza $\sigma^2$, non la deviazione standard. $N(0, 4)$ ha $\sigma = 2$.

Trasformazioni affini e standardizzazione

Se $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ e $a \ne 0$, $b \in \mathbb R$, allora $$aX + b \sim N(a\mu + b, \ a^2\sigma^2).$$

Dimostrazione (caso $a > 0$; per $a < 0$ è analoga). Sia $Y = aX + b$. Allora

$$F_Y(y) = P(aX + b \le y) = P\left(X \le \frac{y - b}{a}\right) = F_X\left(\frac{y - b}{a}\right).$$

Derivando (regola della catena):

$$f_Y(y) = \frac1a f_X\left(\frac{y - b}{a}\right) = \frac{1}{a\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{\left(\frac{y - b}{a} - \mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - b - a\mu)^2}{2a^2\sigma^2}\right),$$

che è la densità di $N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$. ∎

Che media e varianza siano quelle lo si sapeva già ($E[aX + b] = aE[X] + b$, $\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)$): la cosa nuova è che la legge resta gaussiana.

Standardizzazione. Con $a = \frac1\sigma$, $b = -\frac\mu\sigma$:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1).$$

Viceversa $X = \mu + \sigma Z$. Ogni calcolo su una gaussiana qualsiasi si riduce quindi a $\Phi$:

$$P(X \le x) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{x - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right).$$

Metodo per gli esercizi

1. Identificare $\mu$ e $\sigma = \sqrt{\text{varianza}}$.
2. Riscrivere l'evento in termini di $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ (sottrarre $\mu$ e dividere per $\sigma > 0$ non cambia il verso delle disuguaglianze).
3. Usare $\Phi$, la simmetria $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ e il complementare $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$.

Esempio 1 (III appello 24.06.2026, Esercizio 20 · vettore gaussiano, combinazione lineare e correlazione): $U \sim N(3, 4)$, quindi $\sigma = 2$:

$$P(U > 5) = P\left(Z > \frac{5 - 3}{2}\right) = P(Z > 1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}159.$$

Esempio 2 (I appello 15.01.2026, Esercizio 18 · vettore gaussiano con covarianza diagonale): $V \sim N(0, 4)$:

$$P(|V| > 2) = P\left(|Z| > \frac22\right) = P(|Z| > 1) = 2(1 - \Phi(1)) \approx 0{,}317.$$

Esempio 3: trovare una soglia. Il rumore $X \sim N(0, \sigma^2)$ con $\sigma = 0{,}1$ V: sotto quale soglia $s$ resta il $95\%$ delle volte in modulo? Si vuole $P(|X| \le s) = 2\Phi(s/\sigma) - 1 = 0{,}95$, cioè $\Phi(s/\sigma) = 0{,}975$, quindi $s/\sigma = 1{,}96$ e $s = 0{,}196$ V.

Somme di gaussiane indipendenti

Se $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ e $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ sono indipendenti, allora $$X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \ \sigma_1^2 + \sigma_2^2), \qquad aX + bY \sim N(a\mu_1 + b\mu_2, \ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2).$$

Le medie si sommano sempre (linearità) e le varianze si sommano per l'indipendenza; la parte non ovvia è che la legge resta gaussiana. Si dimostra con la convoluzione (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →) o, molto più rapidamente, con la Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →. Attenzione alla differenza: $X - Y \sim N(\mu_1 - \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$, le varianze si sommano anche nella differenza.

Il caso con $X, Y$ non indipendenti ma congiuntamente gaussiane è in Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

Il quadrato di una gaussiana standard

Se $Z \sim N(0, 1)$, la legge di $Z^2$ è $\Gamma(\frac12, \frac12)$ (chi-quadro con un grado di libertà): il calcolo, che usa la FdD perché $z \mapsto z^2$ non è iniettiva, è in Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →. Collegamento con la Distribuzione gammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma →.

Riepilogo

Errori comuni

• Dividere per la varianza invece che per la deviazione standard: con $N(3, 4)$ si divide per $2$, non per $4$.
• Sottrarre le varianze nella differenza: $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ per v.a. indipendenti.
• Scrivere $\Phi(-1) = -\Phi(1)$: $\Phi$ è una probabilità, sempre tra $0$ e $1$; la regola è $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$.
• Dimenticare il complementare: $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$, non $\Phi(z)$.
• Pensare che la somma di due gaussiane sia sempre gaussiana: serve l'indipendenza (o che siano congiuntamente gaussiane).