Teorema del limite centrale e approssimazione normale

Ultimo argomento del programma (punto 7: "teorema del limite centrale: enunciato con dimostrazione e applicazioni (approssimazione Gaussiana)"). Prerequisiti: Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →, Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →, Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →, Legge dei grandi numeri e metodo Monte CarloSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ, la media campionaria X̄ₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n converge a μ: in probabilità (legge debole, dimostrata con Chebyshev se la varianza è finita: P(|X̄ₙ − μ| > ε) ≤ σ²/(nε²)) e quasi certamente (legge forte). Metodo Monte Carlo: ∫ g = E[g(U)] si stima con la media di g(U₁), ..., g(Uₙ) per uniformi indipendenti.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo →.

Dalla legge dei grandi numeri al limite centrale

La legge dei grandi numeriSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ, la media campionaria X̄ₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n converge a μ: in probabilità (legge debole, dimostrata con Chebyshev se la varianza è finita: P(|X̄ₙ − μ| > ε) ≤ σ²/(nε²)) e quasi certamente (legge forte). Metodo Monte Carlo: ∫ g = E[g(U)] si stima con la media di g(U₁), ..., g(Uₙ) per uniformi indipendenti.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo → dice che $\bar X_n \to \mu$: la media campionaria si concentra attorno a $\mu$, con fluttuazioni di ampiezza $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ che tendono a zero. Il teorema del limite centrale guarda queste fluttuazioni ingrandite di un fattore $\sqrt n$ e dice qual è la loro forma: gaussiana, qualunque sia la legge delle $X_k$. È il motivo per cui la gaussiana compare ovunque.

Enunciato

Siano $X_1, X_2, \dots$ i.i.d. con media $\mu$ e varianza $\sigma^2 \in (0, +\infty)$, e $S_n = X_1 + \dots + X_n$. Allora $E[S_n] = n\mu$, $\text{Var}(S_n) = n\sigma^2$, e la somma standardizzata è

$$Z_n := \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt n} = \frac{\bar X_n - \mu}{\sigma / \sqrt n}.$$

(Le due scritture coincidono: si divide numeratore e denominatore per $n$.) $Z_n$ ha media $0$ e varianza $1$ per costruzione.

Teorema del limite centrale (TLC). $Z_n \xrightarrow{d} Z \sim N(0, 1)$, cioè $$\lim_{n\to\infty} P\left(\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt n} \le x\right) = \Phi(x) \qquad \text{per ogni } x \in \mathbb R.$$

(La convergenza vale in ogni $x$ perché $\Phi$ è continua.)

Dimostrazione

Ci si riduce a $\mu = 0$, $\sigma = 1$ sostituendo $X_k$ con $Y_k = \frac{X_k - \mu}{\sigma}$, che sono i.i.d. con media $0$ e varianza $1$; allora $Z_n = \frac{Y_1 + \dots + Y_n}{\sqrt n}$.

Passo 1: funzione caratteristica di $Z_n$. Per l'indipendenza e la proprietà affine (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →), con $\varphi = \varphi_{Y_1}$: $$\varphi_{Z_n}(\theta) = E\left[e^{i\frac{\theta}{\sqrt n}(Y_1 + \dots + Y_n)}\right] = \prod_{k=1}^n \varphi\left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right) = \varphi\left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right)^n.$$

Passo 2: sviluppo di Taylor. Poiché $E[Y_1] = 0$ ed $E[Y_1^2] = 1$, vicino a $0$ $$\varphi(t) = 1 + i E[Y_1] t - \frac{E[Y_1^2]}{2}t^2 + o(t^2) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2).$$ Con $t = \frac{\theta}{\sqrt n}$ (che tende a $0$ per $\theta$ fissato): $$\varphi\left(\frac{\theta}{\sqrt n}\right) = 1 - \frac{\theta^2}{2n} + o\left(\frac1n\right).$$

Passo 3: limite. Usando il limite notevole $\left(1 + \frac{a_n}{n}\right)^n \to e^a$ se $a_n \to a$ (che vale anche per $a_n$ complessi), con $a_n = -\frac{\theta^2}{2} + n \cdot o(\frac1n) \to -\frac{\theta^2}{2}$: $$\varphi_{Z_n}(\theta) = \left(1 - \frac{\theta^2}{2n} + o\left(\frac1n\right)\right)^n \xrightarrow[n\to\infty]{} e^{-\theta^2/2}.$$

Passo 4: Lévy. $e^{-\theta^2/2}$ è la funzione caratteristica di $N(0, 1)$ (continua in $0$). Per il teorema di continuità di LévyX_n converge in distribuzione a X se e solo se le funzioni caratteristiche convergono in ogni punto.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →, $Z_n \xrightarrow{d} N(0, 1)$. ∎

Si vede perché conta solo la varianza: nello sviluppo di Taylor sopravvivono solo media e varianza, tutti gli altri dettagli della legge finiscono nell'$o(t^2)$ e spariscono al limite.

Approssimazione normale

In pratica il TLC si usa "a $n$ fissato e grande": si sostituisce la legge di $S_n$ con quella gaussiana che ha la stessa media e la stessa varianza.

Per $n$ grande: $\quad S_n \approx N(n\mu, n\sigma^2), \qquad \bar X_n \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right),$ $$P(S_n \le x) \approx \Phi\left(\frac{x - n\mu}{\sigma\sqrt n}\right).$$

Metodo. (1) Riconoscere $S_n$ come somma di $n$ v.a. i.i.d.; (2) calcolare $E[S_n] = n\mu$ e $\text{Var}(S_n) = n\sigma^2$; (3) standardizzare l'evento; (4) sostituire con $\Phi$.

Caso binomiale: teorema di De Moivre-Laplace

$X \sim \text{Bin}(n, p)$ è la somma di $n$ Bernoulli $\text{Be}(p)$ i.i.d., con $\mu = p$ e $\sigma^2 = p(1 - p)$. Quindi

$$\text{Bin}(n, p) \approx N\big(np, \ np(1 - p)\big), \qquad P(X \le k) \approx \Phi\left(\frac{k - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right).$$

È stata la prima versione storica del teorema. Regola pratica: l'approssimazione è buona se $np \ge 5$ e $n(1 - p) \ge 5$ (o, più prudentemente, $np(1 - p) \ge 10$). Se invece $n$ è grande ma $np$ è piccolo, conviene l'approssimazione di PoissonPoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson →.

Correzione di continuità

La binomiale prende solo valori interi, la gaussiana è continua. $P(X \le 47)$ e $P(X < 48)$ sono la stessa probabilità binomiale, ma la gaussiana darebbe due numeri diversi. Il compromesso è tagliare a metà strada tra i due interi:

Per $X$ a valori interi: $\quad P(X \le k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right), \qquad P(X \ge k) \approx 1 - \Phi\left(\frac{k - 0{,}5 - np}{\sqrt{np(1 - p)}}\right).$

Idea grafica: ogni valore intero $j$ corrisponde al rettangolo di base $[j - \frac12, j + \frac12]$ nell'istogramma della densità; sommare i rettangoli fino a $k$ significa arrivare fino a $k + \frac12$.

Esempi d'esame

Teste di due monete

(I appello 15.01.2026, Esercizio 23 · teste di due monete e approssimazione normale.) $Y \sim \text{Bin}(100, \frac12)$: $E[Y] = 50$, $\text{Var}(Y) = 25$, $\sigma_Y = 5$.

$$P(Y \le 47) \approx \Phi\left(\frac{47 - 50}{5}\right) = \Phi(-0{,}6) = 1 - \Phi(0{,}6) \approx 0{,}274,$$ $$\text{con correzione:} \quad P(Y \le 47{,}5) \approx \Phi\left(\frac{47{,}5 - 50}{5}\right) = 1 - \Phi(0{,}5) \approx 0{,}309.$$

Il valore esatto è $0{,}3086$: la correzione di continuità migliora molto il risultato.

Lotto: il numero 33

(II appello 12.02.2026, Esercizio 11 · lotto, numero 33 per 90 settimane.) $X \sim \text{Bin}(90, \frac1{18})$, $E[X] = 5$, $\text{Var}(X) = 90 \cdot \frac1{18}\cdot\frac{17}{18} = \frac{85}{18} \approx 4{,}72$.

$$P(X > 6) \approx P\left(Z > \frac{6 - 5}{\sqrt{85/18}}\right) = 1 - \Phi\left(\sqrt{\tfrac{18}{85}}\right) = 1 - \Phi(0{,}46) \approx 0{,}32.$$

Con la correzione ($X > 6 \iff X \ge 7$, si taglia a $6{,}5$): $1 - \Phi\left(\frac{1{,}5}{2{,}17}\right) = 1 - \Phi(0{,}69) \approx 0{,}245$; il valore esatto è circa $0{,}23$. Qui $np = 5$ è al limite della regola pratica.

Quante prove servono per stimare una probabilità

Si vuole stimare $p$ con la frequenza $\bar X_n$, con errore al più $0{,}01$ con probabilità $95\%$. Per il TLC $\bar X_n \approx N(p, \frac{p(1 - p)}{n})$, quindi $$P(|\bar X_n - p| \le 0{,}01) \approx 2\Phi\left(\frac{0{,}01\sqrt n}{\sqrt{p(1 - p)}}\right) - 1 \ge 0{,}95 \iff \frac{0{,}01\sqrt n}{\sqrt{p(1 - p)}} \ge 1{,}96.$$ Nel caso peggiore $p(1 - p) = \frac14$: $\sqrt n \ge 98$, cioè $n \ge 9\,604$. Chebyshev chiedeva $50\,000$ prove: il TLC è molto più preciso perché usa la forma della legge, non solo la varianza.

Somma di uniformi

La somma di $12$ uniformi $U(0, 1)$ indipendenti ha media $6$ e varianza $12 \cdot \frac{1}{12} = 1$: $S_{12} - 6$ è approssimativamente $N(0, 1)$. Era un vecchio metodo per generare numeri gaussiani al computer. Già con $2$ addendi la densità è un triangolo (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →), con $3$ è fatta di archi di parabola e somiglia già a una campana.

Riepilogo

Errori comuni

• Dividere per la varianza invece che per la deviazione standard: si divide per $\sigma\sqrt n$, non per $\sigma^2 n$.
• Usare la varianza di una singola $X_k$ invece di quella della somma ($n\sigma^2$).
• Applicare la correzione di continuità nel verso sbagliato: per $P(X \le k)$ si usa $k + 0{,}5$, per $P(X \ge k)$ si usa $k - 0{,}5$, per $P(X > k) = P(X \ge k + 1)$ si usa $k + 0{,}5$.
• Arrotondare risultati come $1 - \Phi(0{,}46)$ a zero: $\Phi(0{,}46) \approx 0{,}68$, quindi la probabilità è circa $0{,}32$, tutt'altro che trascurabile. Prima di approssimare, guardare quanto vale l'argomento di $\Phi$.
• Pensare che il TLC renda gaussiana ogni singola $X_k$: riguarda la somma (o la media) di tante.