Distribuzione gamma

Caso notevole del punto 3 del programma. Prerequisiti: Variabili aleatorie assolutamente continueX è assolutamente continua se F_X(x) = ∫ da −∞ a x di f_X(t) dt per una densità f_X ≥ 0 con integrale 1; allora P(a < X ≤ b) = ∫ da a a b di f_X, P(X = x) = 0 per ogni x, f_X = F_X' dove F_X è derivabile, E[g(X)] = ∫ g(x) f_X(x) dx, e varianza, momenti e disuguaglianze funzionano come nel caso discreto con gli integrali al posto delle somme.Variabili aleatorie assolutamente continue →, Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →. Collegamenti: Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →, Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) → (il quadrato di una gaussiana standard è una gamma).

Perché serve

L'esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale → è il tempo d'attesa del primo evento. Il tempo d'attesa del secondo, del terzo, dell'$n$-esimo evento è una somma di esponenziali indipendenti, e la sua legge è una gamma. È la stessa relazione che c'è nel discreto tra la geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica → (prove fino al primo successo) e il numero di prove fino all'$n$-esimo successo.

La funzione Gamma

Serve una costante di normalizzazione che generalizza il fattoriale.

Per $\alpha > 0$, la funzione Gamma di Eulero è $$\Gamma(\alpha) := \int_0^{+\infty} x^{\alpha - 1} e^{-x} \, dx.$$

L'integrale converge per ogni $\alpha > 0$: vicino a $0$ l'integranda è circa $x^{\alpha - 1}$, integrabile perché $\alpha - 1 > -1$; all'infinito l'esponenziale vince su qualunque potenza.

Proprietà.

1. $\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} \, dx = 1$.
2. $\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \, \Gamma(\alpha)$. Per parti con $u = x^\alpha$, $dv = e^{-x} dx$: $$\Gamma(\alpha + 1) = \int_0^\infty x^\alpha e^{-x} \, dx = \left[-x^\alpha e^{-x}\right]_0^\infty + \alpha \int_0^\infty x^{\alpha - 1} e^{-x} \, dx = 0 + \alpha \Gamma(\alpha).$$
3. Da 1 e 2, per $n$ intero: $\Gamma(n) = (n - 1) \Gamma(n - 1) = \dots = (n - 1)!$. La Gamma estende il fattoriale ai reali positivi.
4. $\Gamma\left(\frac12\right) = \sqrt\pi$. Con la sostituzione $x = \frac{t^2}{2}$ ($dx = t\,dt$, $x^{-1/2} = \frac{\sqrt2}{t}$): $$\Gamma\left(\tfrac12\right) = \int_0^\infty \frac{\sqrt2}{t} e^{-t^2/2} \, t \, dt = \sqrt2 \int_0^\infty e^{-t^2/2} \, dt = \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt{2\pi}}{2} = \sqrt\pi,$$ usando l'integrale gaussiano $\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2} dt = \sqrt{2\pi}$ (vedi Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →). Ne segue $\Gamma(\frac32) = \frac12\sqrt\pi$, $\Gamma(\frac52) = \frac34\sqrt\pi$, ecc.

Un integrale che torna sempre. Con la sostituzione $y = \lambda x$:

$$\int_0^\infty x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x} \, dx = \frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha}, \qquad \text{in particolare} \quad \int_0^\infty x^n e^{-\lambda x} \, dx = \frac{n!}{\lambda^{n + 1}}.$$

Questa formula evita di integrare per parti ripetutamente: ad esempio $\int_0^\infty x^3 e^{-2x} dx = \frac{3!}{2^4} = \frac38$.

Densità

$X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$, con forma $\alpha > 0$ e tasso $\lambda > 0$, se $$f_X(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \, x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x} \, \mathbb 1_{(0, +\infty)}(x).$$

Perché quella costante. La parte che "conta" è $x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}$; il suo integrale su $(0, \infty)$ è $\frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha}$ (formula sopra), quindi per avere area $1$ si divide per questo numero.

Ruolo dei parametri.

• $\alpha$ decide la forma: per $\alpha < 1$ la densità esplode in $0$; per $\alpha = 1$ vale $\lambda$ in $0$ ed è l'esponenziale; per $\alpha > 1$ parte da $0$, sale fino a un massimo in $x = \frac{\alpha - 1}{\lambda}$ e poi scende. Per $\alpha$ grande assomiglia a una gaussiana (per il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →, essendo somma di tante esponenziali).
• $\lambda$ è un fattore di scala: se $X \sim \Gamma(\alpha, 1)$ allora $X / \lambda \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$.

Casi particolari.

Media e varianza

Se $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$: $\quad E[X] = \dfrac\alpha\lambda, \qquad \text{Var}(X) = \dfrac{\alpha}{\lambda^2}.$

Calcolo di tutti i momenti in un colpo. Con la formula $\int_0^\infty x^{\beta - 1} e^{-\lambda x} dx = \Gamma(\beta)/\lambda^\beta$ usata con $\beta = \alpha + k$:

$$E[X^k] = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^\infty x^{\alpha + k - 1} e^{-\lambda x} \, dx = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha + k)}{\lambda^{\alpha + k}} = \frac{\Gamma(\alpha + k)}{\Gamma(\alpha) \, \lambda^k}.$$

• $k = 1$: $\Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha)$, quindi $E[X] = \frac{\alpha}{\lambda}$.
• $k = 2$: $\Gamma(\alpha + 2) = (\alpha + 1)\alpha \Gamma(\alpha)$, quindi $E[X^2] = \frac{\alpha(\alpha + 1)}{\lambda^2}$ e $\text{Var}(X) = \frac{\alpha^2 + \alpha - \alpha^2}{\lambda^2} = \frac{\alpha}{\lambda^2}$.

Controllo con le esponenziali. $\Gamma(n, \lambda)$ è la somma di $n$ esponenziali $\text{Exp}(\lambda)$ indipendenti: per linearità la media è $n \cdot \frac1\lambda$, e per l'indipendenza la varianza è $n \cdot \frac{1}{\lambda^2}$ ✓.

Somme di gamma indipendenti

Se $X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)$ e $Y \sim \Gamma(\beta, \lambda)$ sono indipendenti (stesso tasso $\lambda$), allora $$X + Y \sim \Gamma(\alpha + \beta, \lambda).$$

Le forme si sommano. La dimostrazione con la convoluzione è in Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →; con le funzioni generatrici è una riga (Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti →). Caso più usato: $X_1, \dots, X_n \sim \text{Exp}(\lambda)$ indipendenti danno $X_1 + \dots + X_n \sim \Gamma(n, \lambda)$.

Esempio d'esame (I appello 15.01.2026, Esercizio 16 · due esponenziali indipendenti, quadrato e somma): $X, Y \sim \text{Exp}(2)$ indipendenti, $Z = X + Y \sim \Gamma(2, 2)$, cioè

$$f_Z(z) = \frac{2^2}{\Gamma(2)} z \, e^{-2z} = 4z e^{-2z}, \qquad z > 0.$$

Legame con la Poisson

Se gli eventi arrivano con tasso $\lambda$ (tempi tra un evento e l'altro $\text{Exp}(\lambda)$ indipendenti), sia $T_n \sim \Gamma(n, \lambda)$ il tempo dell'$n$-esimo evento e $N_t$ il numero di eventi in $[0, t]$, che ha legge $\text{Poi}(\lambda t)$. Allora "l'$n$-esimo evento arriva dopo $t$" equivale a "entro $t$ ci sono meno di $n$ eventi":

$$P(T_n > t) = P(N_t \le n - 1) = \sum_{k = 0}^{n - 1} e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^k}{k!}.$$

Per $n = 1$ si ritrova $P(T_1 > t) = e^{-\lambda t}$ dell'esponenziale ✓. Questa formula dà la FdD della gamma con forma intera senza integrare.

Esempio. Un router riceve in media $2$ pacchetti al millisecondo. Probabilità che il terzo pacchetto arrivi dopo $1$ ms: $\lambda t = 2$, e $P(T_3 > 1) = e^{-2}\left(1 + 2 + \frac{4}{2}\right) = 5e^{-2} \approx 0{,}677$.

Riepilogo

Errori comuni

• Confondere tasso e scala: qui $\lambda$ è il tasso (la media è $\alpha / \lambda$); altri testi usano la scala $\theta = 1/\lambda$ e scrivono $x^{\alpha - 1} e^{-x/\theta} / (\Gamma(\alpha)\theta^\alpha)$.
• Sommare gamma con tassi diversi aspettandosi una gamma: la regola vale solo con lo stesso $\lambda$.
• Scrivere $\Gamma(n) = n!$: è $(n - 1)!$.