Densità e media condizionata

Punto 5 del programma ("densità e media condizionata di v.a. discrete e assolutamente continue; condizionamento rispetto a un evento e rispetto al valore di una v.a.; vettore gaussiano condizionato"). Prerequisiti: Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →, Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →, Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

L'idea

La Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata → $P(A \mid B)$ aggiorna le probabilità quando si sa che è successo $B$. Qui si fa lo stesso con una v.a.: si osserva il valore di $Y$ e ci si chiede come cambia la legge di $X$. Esempi: sapendo che il canale è in stato "disturbato" ($Y = 1$), qual è la legge del numero di errori $X$? Sapendo che un sistema ha lavorato per $T = n$ cicli, quanti successi ci si aspetta?

Condizionamento rispetto a un evento

Se $B$ è un evento con $P(B) > 0$, la densità di $X$ condizionata a $B$ è $$p_{X \mid B}(x) := P(X = x \mid B) = \frac{P(\{X = x\} \cap B)}{P(B)},$$ e la media condizionata è $E[X \mid B] = \sum_x x \, p_{X \mid B}(x)$.

È una densità discreta a tutti gli effetti (non negativa, somma $1$), perché $P(\cdot \mid B)$ è una probabilità.

Esempio (dado): $X$ = risultato di un dado, $B$ = "esce pari". $p_{X \mid B}(x) = \frac13$ per $x \in \{2, 4, 6\}$ e $0$ altrove, quindi $E[X \mid B] = 4$.

Esempio (assenza di memoria): $X \sim \text{Geo}(p)$, $B = \{X > n\}$: $X - n$ condizionata a $B$ è ancora $\text{Geo}(p)$ (Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →), quindi $E[X \mid X > n] = n + \frac1p$.

Formula delle medie totali. Se $B_1, \dots, B_k$ è una partizione di $\Omega$ con $P(B_i) > 0$: $$E[X] = \sum_i E[X \mid B_i] \, P(B_i).$$ È la formula delle probabilità totaliSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → applicata alle medie.

Condizionamento al valore di una v.a. discreta

Siano $X, Y$ discrete. Per ogni $y$ con $p_Y(y) > 0$, la densità di $X$ condizionata a $Y = y$ è $$p_{X \mid Y}(x \mid y) := P(X = x \mid Y = y) = \frac{p_{X,Y}(x, y)}{p_Y(y)},$$ e la media condizionata è $E[X \mid Y = y] := \sum_x x \, p_{X \mid Y}(x \mid y)$.

Nella tabella della congiunta: si prende la colonna $Y = y$ e la si divide per la sua somma, cioè per la marginale $p_Y(y)$, in modo che sommi a $1$.

Esempio (urna): 2 nere e 3 bianche, due estrazioni senza reinserimento (Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →). Dato $Y = 1$ (seconda nera), la colonna è $(\frac{3}{10}, \frac{1}{10})$ con somma $\frac{4}{10}$, quindi $P(X = 1 \mid Y = 1) = \frac14$ e $E[X \mid Y = 1] = \frac14$.

Regola del prodotto rovesciata: $p_{X,Y}(x, y) = p_{X \mid Y}(x \mid y) \, p_Y(y)$. Molti esercizi danno la legge di $Y$ e la legge condizionata di $X$, e la congiunta si costruisce così.

Indipendenza: $X$ e $Y$ sono indipendenti se e solo se $p_{X \mid Y}(x \mid y) = p_X(x)$ per ogni $y$: conoscere $Y$ non cambia la legge di $X$.

Esempio d'esame: somma di un numero aleatorio di Bernoulli

(II parziale 15.01.2026, Esercizio 22 · somma di un numero geometrico di Bernoulli.) $X_1, X_2, \dots \sim \text{Be}(p)$ indipendenti, $T \sim \text{Geo}(q)$ indipendente da esse, $Y = X_1 + \dots + X_T$ (si fa un numero aleatorio $T$ di prove e si contano i successi).

Dato $T = n$, $Y$ è la somma di $n$ Bernoulli indipendenti (l'indipendenza di $T$ dalle $X_k$ permette di sostituire $T$ con $n$ senza cambiare la loro legge):

$$P(Y = j \mid T = n) = P(X_1 + \dots + X_n = j) = \binom nj p^j (1 - p)^{n - j}, \qquad j = 0, \dots, n.$$

Cioè $Y \mid T = n \sim \text{Bin}(n, p)$, e quindi $E[Y \mid T = n] = np$.

Condizionamento al valore di una v.a. continua

Se $Y$ è continua, $P(Y = y) = 0$ e la definizione elementare non si può usare. Si definisce per analogia, con le densità al posto delle probabilità.

Sia $(X, Y)$ assolutamente continuo. Per ogni $y$ con $f_Y(y) > 0$, la densità di $X$ condizionata a $Y = y$ è $$f_{X \mid Y}(x \mid y) := \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_Y(y)},$$ e $E[X \mid Y = y] := \int x \, f_{X \mid Y}(x \mid y) \, dx$.

Perché ha senso. Si condiziona a $\{y \le Y \le y + h\}$, che ha probabilità positiva, e si manda $h \to 0$: $P(X \le x \mid y \le Y \le y + h) \approx \frac{\int_{-\infty}^x f_{X,Y}(s, y) h \, ds}{f_Y(y) h}$, e le $h$ si semplificano.

Geometricamente: si taglia la superficie $z = f_{X,Y}(x, y)$ con il piano verticale "$Y = y$" e si rinormalizza il profilo ottenuto perché abbia area $1$.

Esempio (II parziale 15.01.2026, Esercizio 17 · densità congiunta c(x+y) sul quadrato): $f(x, y) = \frac{x + y}{27}$ su $[0, 3]^2$, $f_Y(y) = \frac y9 + \frac16 = \frac{2y + 3}{18}$. Per $y \in [0, 3]$:

$$f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{(x + y)/27}{(2y + 3)/18} = \frac{2(x + y)}{3(2y + 3)} = \frac{2x + 2y}{6y + 9}, \qquad x \in [0, 3].$$

Controllo: $\int_0^3 \frac{2x + 2y}{6y + 9} dx = \frac{9 + 6y}{6y + 9} = 1$ ✓. La densità condizionata dipende da $y$: altra conferma che $X$ e $Y$ non sono indipendenti.

Costruire la congiunta dalla condizionata: $f_{X,Y}(x, y) = f_{X \mid Y}(x \mid y) \, f_Y(y)$.

Esempio (II appello 12.02.2026, Esercizio 21 · densità condizionata e proprietà della torre): $Y$ ha densità $3y^2$ su $[0, 1]$ e, dato $Y = y$, $X$ è uniforme su $[0, y]$: $f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac1y \mathbb 1_{[0, y]}(x)$. Allora $$f_{X,Y}(x, y) = \frac1y \cdot 3y^2 = 3y \quad \text{sul triangolo } \{0 \le x \le y \le 1\}.$$

La media condizionata come variabile aleatoria

$E[X \mid Y = y]$ è un numero che dipende da $y$: chiamiamolo $h(y)$. Sostituendo $y$ con la v.a. $Y$ si ottiene una nuova v.a.:

$$E[X \mid Y] := h(Y), \qquad \text{dove } h(y) = E[X \mid Y = y].$$

È la migliore previsione di $X$ che si può fare conoscendo $Y$. Esempi: se $X \mid Y = y \sim U(0, y)$, allora $h(y) = \frac y2$ e $E[X \mid Y] = \frac Y2$; se $Y \mid T = n \sim \text{Bin}(n, p)$, allora $E[Y \mid T] = pT$.

Proprietà della torre

Proprietà della torre (o della media iterata): $$E\big[E[X \mid Y]\big] = E[X].$$ Nel continuo: $E[X] = \int E[X \mid Y = y] \, f_Y(y) \, dy$; nel discreto: $E[X] = \sum_y E[X \mid Y = y] \, p_Y(y)$.

Dimostrazione (caso continuo). $$\int E[X \mid Y = y] f_Y(y) \, dy = \int \left(\int x \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_Y(y)} dx\right) f_Y(y) \, dy = \iint x f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy = E[X]. \ ∎$$

È la formula delle medie totali con infinite "cause" $\{Y = y\}$: si calcola la media in ogni scenario e poi si fa la media degli scenari, pesata con la loro probabilità.

Perché è utile: spesso $E[X \mid Y]$ è immediata (la legge condizionata è nota) mentre la legge di $X$ è complicata.

Esempio 1 (II appello 12.02.2026): $E[X \mid Y] = \frac Y2$ e $E[Y] = \int_0^1 y \cdot 3y^2 dy = \frac34$, quindi $$E[X] = E\left[\frac Y2\right] = \frac12 \cdot \frac34 = \frac38,$$ senza calcolare la marginale di $X$ (che è $\frac32(1 - x^2)$ e dà lo stesso risultato, controllo ✓).

Esempio 2 (II parziale 15.01.2026): $E[Y \mid T] = pT$ e $E[T] = \frac1q$, quindi $E[Y] = pE[T] = \frac pq$. Si fanno in media $\frac1q$ prove e ognuna ha successo con probabilità $p$.

Versione generale. Per ogni funzione $g$: $E[g(X)] = E\big[E[g(X) \mid Y]\big]$. Con $g(x) = e^{i\theta x}$ si calcola la Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica → di somme aleatorie: nell'esempio 2, $E[e^{i\theta Y} \mid T = n] = a^n$ con $a = pe^{i\theta} + 1 - p$, quindi $\varphi_Y(\theta) = E[a^T]$, una serie geometrica.

Proprietà utili (dalla definizione): $E[g(Y) X \mid Y] = g(Y) E[X \mid Y]$ ("ciò che è noto esce dalla media condizionata"); se $X$ e $Y$ sono indipendenti, $E[X \mid Y] = E[X]$.

Vettore gaussiano condizionato

Se $(X, Y)$ è un vettore gaussiano con medie $m_1, m_2$, varianze $\sigma_1^2, \sigma_2^2 > 0$ e correlazione $\rho$, allora, dato $Y = y$, $$X \mid Y = y \ \sim \ N\left(m_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y - m_2), \ \ \sigma_1^2(1 - \rho^2)\right).$$ Equivalentemente $E[X \mid Y] = m_1 + \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(Y)}(Y - m_2)$.

Perché (idea). Si scrive $X = m_1 + c(Y - m_2) + W$ scegliendo $c = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(Y)}$ in modo che $W$ abbia covarianza nulla con $Y$: infatti $\text{Cov}(W, Y) = \text{Cov}(X, Y) - c\,\text{Var}(Y) = 0$. $(W, Y)$ è gaussiano (trasformazione lineare di $(X, Y)$), quindi $W$ e $Y$ non correlate sono indipendenti. Dato $Y = y$, la parte $m_1 + c(y - m_2)$ è fissata e resta $W$, gaussiana con media $0$ e varianza $$\text{Var}(W) = \text{Var}(X) - c^2\text{Var}(Y) = \sigma_1^2 - \frac{\rho^2\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_2^2} = \sigma_1^2(1 - \rho^2).$$

Tre osservazioni.

• La media condizionata è una funzione lineare di $y$: è la retta di regressione.
• La varianza condizionata non dipende da $y$ ed è più piccola di $\sigma_1^2$ (se $\rho \ne 0$): osservare $Y$ riduce l'incertezza su $X$ di un fattore $1 - \rho^2$.
• Se $\rho = 0$ la legge condizionata è la marginale: $X$ e $Y$ sono indipendenti, come già visto in Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →.

Esempio. $\Sigma = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, $m = (1, -1)$: $c = \frac22 = 1$, quindi $X \mid Y = y \sim N(1 + (y + 1), \ 4 - 1^2 \cdot 2) = N(y + 2, \ 2)$.

Riepilogo

Errori comuni

• Dividere per la marginale sbagliata: per condizionare a $Y = y$ si divide per $f_Y(y)$, non per $f_X(x)$.
• Dimenticare il supporto della condizionata: $f_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac1y$ vale solo per $0 \le x \le y$.
• Trattare $E[X \mid Y]$ come un numero: è una v.a. (funzione di $Y$); è $E[X \mid Y = y]$ a essere un numero.
• Applicare la torre al contrario: $E[E[X \mid Y]]$ dà $E[X]$, non $E[Y]$.