Esercizio 26convergenze di Xn a valori 0 e √n

Testo (III appello, 24 giugno 2026, esercizio 6, Tema A; punti 4 = 2+2). Sia $(X_n)_{n \ge 1}$ una successione di variabili aleatorie tali che, per ogni $n \in \mathbb N$,

$$P(X_n = 0) = 1 - \frac1n, \qquad P(X_n = \sqrt n) = \frac1n.$$

(a) Studiare la convergenza in distribuzione e in probabilità di $(X_n)_{n \ge 1}$.

(b) Studiare la convergenza in media, cioè in $L^1$, e in media seconda, cioè in $L^2$.

Terza variante della stessa struttura (vedi Esercizio 24 · convergenze di Xn a valori 0 e n ed Esercizio 25 · convergenze di Xn a valori −√n, 0, √n). Qui conviene l'ordine inverso: prima la probabilità, con un calcolo diretto, poi la distribuzione come conseguenza.

(a) Probabilità e distribuzione

Probabilità: calcolo diretto

Si fissa $\varepsilon > 0$. Quando $n > \varepsilon^2$, cioè $\sqrt n > \varepsilon$, l'unico modo per avere $|X_n| > \varepsilon$ è $X_n = \sqrt n$ (il valore $0$ non supera $\varepsilon$):

$$P(|X_n - 0| > \varepsilon) = P(X_n = \sqrt n) = \frac1n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$$

Per i primi $n \le \varepsilon^2$ il valore può essere diverso, ma per il limite contano solo gli $n$ grandi. Per la definizione di convergenza in probabilitàP(distanza da X maggiore di ε) tende a 0 per ogni ε > 0.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →:

$$\boxed{X_n \xrightarrow{p} 0}$$

Distribuzione

La convergenza in probabilità implica quella in distribuzione (verso lo stesso limite):

$$\boxed{X_n \xrightarrow{d} 0}$$

Verifica con la FdD. $F_{X_n}(x) = 0$ per $x < 0$, $1 - \frac1n$ per $0 \le x < \sqrt n$, $1$ per $x \ge \sqrt n$. Per $x \ge 0$ fissato e $n > x^2$ si è nel tratto centrale e $F_{X_n}(x) = 1 - \frac1n \to 1$; per $x < 0$ resta $0$. È la FdD della costante $0$ ✓.

(b) Media e media seconda

Candidato limite: $0$, l'unico possibile perché coincide con il limite in probabilità.

$X_n \ge 0$, quindi $|X_n| = X_n$:

$$E[|X_n|] = \sqrt n\cdot\frac1n = \frac{1}{\sqrt n} \to 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \xrightarrow{L^1} 0}$$

$$E[|X_n|^2] = (\sqrt n)^2\cdot\frac1n = 1 \quad \text{per ogni } n \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \text{ non converge in } L^2}$$

Confronto tra le tre varianti

In tutti e tre i casi il docente ha scelto valore e probabilità in modo che valore$^2$ × probabilità sia costante: così la convergenza vale in $L^1$ ma non in $L^2$. Regola generale per questo tipo di successioni: se il valore raro è $v_n$ con probabilità $q_n \to 0$, allora

• in probabilità e in distribuzione a $0$: sempre (perché $q_n \to 0$);
• in $L^p$ a $0$: se e solo se $v_n^p\,q_n \to 0$.

Errori comuni

• Calcolare $P(|X_n| > \varepsilon) = \frac1n$ per ogni $n$: vale solo per $n > \varepsilon^2$ (se $\sqrt n \le \varepsilon$, la probabilità è $0$). Non cambia il limite, ma va detto.
• Confondere l'implicazione: in probabilità ⇒ in distribuzione, non il contrario (il contrario vale solo verso una costante).
• Concludere "$L^2$ no" senza calcolare: serve mostrare che $E[X_n^2]$ non tende a $0$.