Funzione caratteristica

Punto 6 del programma ("funzione caratteristica: definizione, proprietà e analogie con la trasformata di Fourier; teorema di Bochner e caratterizzazione della misura di probabilità; applicazioni: somma di v.a. indipendenti, combinazione lineare di gaussiane indipendenti e di vettori gaussiani"). Prerequisiti: Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti →. Seguito: Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie → (teorema di Lévy), Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →.

Perché non basta la funzione generatrice

La Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti → $E[e^{tX}]$ può valere $+\infty$ (code pesanti), e allora non serve a niente. Sostituendo l'esponente reale $tX$ con uno immaginario $i\theta X$ il problema sparisce: $e^{i\theta X}$ è un numero complesso di modulo $1$, quindi la sua media esiste sempre.

Richiamo sui complessi

Per $x \in \mathbb R$ vale la formula di Euleroe^(ix) = cos x + i sin x: il punto di modulo 1 e angolo x nel piano complesso.: $e^{ix} = \cos x + i\sin x$, con $|e^{ix}| = 1$. La media di una v.a. complessa si fa separatamente su parte reale e immaginaria: $E[U + iV] = E[U] + iE[V]$.

Definizione

La funzione caratteristica di una v.a. $X$ è $$\varphi_X(\theta) := E\big[e^{i\theta X}\big] = E[\cos(\theta X)] + i\,E[\sin(\theta X)], \qquad \theta \in \mathbb R.$$

In concreto, col teorema fondamentale del valor medio:

$$\varphi_X(\theta) = \sum_x e^{i\theta x} p_X(x) \ \text{(discreta)}, \qquad \varphi_X(\theta) = \int_{\mathbb R} e^{i\theta x} f_X(x) \, dx \ \text{(a.c.)}.$$

Analogia con Fourier. Nel caso a.c. $\varphi_X$ è la trasformata di FourierLa funzione che a ogni frequenza θ associa l'integrale di f(x) e^(±iθx): scompone f in oscillazioni. della densità (a meno della convenzione sul segno dell'esponente e sui fattori $2\pi$). Tutto ciò che si sa sulla trasformata di Fourier dai corsi di segnali si traduce qui: convoluzione ↔ prodotto, traslazione ↔ fase, inversione.

Proprietà elementari

1. $\varphi_X(0) = 1$.
2. $|\varphi_X(\theta)| \le 1$ per ogni $\theta$.
3. $\varphi_X(-\theta) = \overline{\varphi_X(\theta)}$ (coniugato).
4. $\varphi_X$ è (uniformemente) continua.
5. Affinità: $\varphi_{aX + b}(\theta) = e^{ib\theta}\varphi_X(a\theta)$.
6. Se $X$ è simmetrica ($X$ e $-X$ hanno la stessa legge), $\varphi_X$ è reale e pari.

Perché. 1: $e^0 = 1$. 2: $|E[Z]| \le E[|Z|]$ anche per v.a. complesse, e $|e^{i\theta X}| = 1$. 3: $e^{-i\theta x}$ è il coniugato di $e^{i\theta x}$. 5: $e^{i\theta(aX + b)} = e^{ib\theta}e^{i(a\theta)X}$. 6: per la simmetria $E[\sin(\theta X)] = E[\sin(-\theta X)] = -E[\sin(\theta X)]$, quindi è $0$.

Esempi

Bernoulli $\text{Be}(p)$: $\varphi(\theta) = 1 - p + pe^{i\theta}$.

Binomiale $\text{Bin}(n, p)$: $\varphi(\theta) = (1 - p + pe^{i\theta})^n$ (stesso conto della f.g.m. con $e^t \to e^{i\theta}$).

Poisson $\text{Poi}(\lambda)$: $\varphi(\theta) = e^{\lambda(e^{i\theta} - 1)}$.

Geometrica $\text{Geo}(p)$: $\varphi(\theta) = \dfrac{pe^{i\theta}}{1 - (1 - p)e^{i\theta}}$ (serie geometrica di ragione $(1 - p)e^{i\theta}$, che ha modulo $1 - p < 1$: converge sempre).

Esponenziale $\text{Exp}(\lambda)$: $\varphi(\theta) = \dfrac{\lambda}{\lambda - i\theta}$.

Uniforme $U(-a, a)$: $\varphi(\theta) = \dfrac{\sin(a\theta)}{a\theta}$ (reale, perché simmetrica).

Gaussiana $N(\mu, \sigma^2)$: $$\varphi(\theta) = e^{i\mu\theta - \frac12\sigma^2\theta^2}.$$ Per $N(0, 1)$ si ottiene $e^{-\theta^2/2}$: la gaussiana standard è (a meno di costanti) la propria trasformata di Fourier. Il caso generale segue dalla proprietà 5 con $X = \mu + \sigma Z$.

Esempio d'esame: v.a. discreta a tre valori (II appello 12.02.2026, Esercizio 25 · convergenze di Xn a valori −√n, 0, √n). $P(X_n = \pm\sqrt n) = \frac1n$, $P(X_n = 0) = 1 - \frac2n$: $$\varphi_n(\theta) = \left(1 - \frac2n\right) + \frac1n\left(e^{i\theta\sqrt n} + e^{-i\theta\sqrt n}\right) = 1 - \frac2n + \frac2n\cos(\theta\sqrt n),$$ usando $e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x$. È reale perché $X_n$ è simmetrica.

Esempio d'esame: densità lineare (III appello 24.06.2026, Esercizio 15 · densità c(1+x) e radice quadrata). $f_X(x) = \frac23(1 + x)$ su $[0, 1]$. Per $\theta \ne 0$, con $\int_0^1 e^{i\theta x}dx = \frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta}$ e (per parti) $\int_0^1 xe^{i\theta x}dx = \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}$: $$\varphi_X(\theta) = \frac23\left[\frac{e^{i\theta} - 1}{i\theta} + \frac{e^{i\theta}}{i\theta} - \frac{e^{i\theta} - 1}{(i\theta)^2}\right], \qquad \varphi_X(0) = 1.$$

Momenti

Se $E[|X|^k] < \infty$, allora $\varphi_X$ è derivabile $k$ volte e $$\varphi_X^{(k)}(0) = i^k E[X^k], \qquad \text{cioè} \quad E[X^k] = \frac{\varphi_X^{(k)}(0)}{i^k}.$$

Perché: derivando sotto il segno di media, $\frac{d^k}{d\theta^k}e^{i\theta X} = (iX)^k e^{i\theta X}$; in $\theta = 0$ resta $i^k X^k$. In particolare $E[X] = -i\varphi'(0)$ e $E[X^2] = -\varphi''(0)$.

Sviluppo di Taylor (serve per il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →): se $E[X] = 0$ e $E[X^2] = \sigma^2$, $$\varphi_X(\theta) = 1 - \frac{\sigma^2\theta^2}{2} + o(\theta^2), \qquad \theta \to 0.$$

Somme di v.a. indipendenti

Se $X$ e $Y$ sono indipendenti: $\quad \varphi_{X + Y}(\theta) = \varphi_X(\theta)\,\varphi_Y(\theta)$.

Stesso motivo della f.g.m.: $e^{i\theta(X + Y)} = e^{i\theta X}e^{i\theta Y}$ e la media del prodotto di funzioni di v.a. indipendenti è il prodotto delle medie. È la versione probabilistica di "la trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate".

Combinazione lineare di gaussiane indipendenti. $X_k \sim N(\mu_k, \sigma_k^2)$ indipendenti, $S = \sum a_k X_k$: $$\varphi_S(\theta) = \prod_k \varphi_{X_k}(a_k\theta) = \prod_k e^{ia_k\mu_k\theta - \frac12 a_k^2\sigma_k^2\theta^2} = e^{i(\sum a_k\mu_k)\theta - \frac12(\sum a_k^2\sigma_k^2)\theta^2},$$ che è la funzione caratteristica di $N(\sum a_k\mu_k, \sum a_k^2\sigma_k^2)$. Per l'unicità (sotto), $S$ ha quella legge.

Esempio (I appello 15.01.2026, Esercizio 18 · vettore gaussiano con covarianza diagonale): $V = X + Y \sim N(0, 4)$ e $W = 2 + V$. Per l'affinità: $$\varphi_W(\theta) = e^{2i\theta}\varphi_V(\theta) = e^{2i\theta}e^{-\frac12 \cdot 4\theta^2} = e^{2i\theta - 2\theta^2}.$$

Vettori. Per $X$ in $\mathbb R^n$ si definisce $\varphi_X(\theta) = E[e^{i\theta^T X}]$, $\theta \in \mathbb R^n$. Per $X \sim N(m, \Sigma)$: $\varphi_X(\theta) = e^{i\theta^T m - \frac12\theta^T\Sigma\theta}$, ed è la strada più breve per dimostrare le proprietà dei Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →. Le componenti sono indipendenti se e solo se $\varphi_X(\theta_1, \dots, \theta_n) = \prod_k \varphi_{X_k}(\theta_k)$.

Somme con un numero aleatorio di termini

(II parziale 15.01.2026, Esercizio 22 · somma di un numero geometrico di Bernoulli.) $Y = X_1 + \dots + X_T$ con $X_k \sim \text{Be}(p)$ e $T \sim \text{Geo}(q)$, tutte indipendenti. Con la proprietà della torreLa densità condizionata di X dato Y = y è p(x, y)/p_Y(y) nel discreto e f(x, y)/f_Y(y) nel continuo; la sua media è E[X | Y = y], e E[X | Y] è la v.a. che si ottiene sostituendo y con Y. Proprietà della torre: E[E[X | Y]] = E[X]. Per un vettore gaussiano, X dato Y = y è gaussiana con media m₁ + (Cov/Var Y)(y − m₂) e varianza σ₁²(1 − ρ²).Densità e media condizionata → e $a := \varphi_{\text{Be}(p)}(\theta) = pe^{i\theta} + 1 - p$:

$$\varphi_Y(\theta) = E\big[E[e^{i\theta Y} \mid T]\big] = E[a^T] = \sum_{k \ge 1} a^k (1 - q)^{k - 1}q = \frac{qa}{1 - (1 - q)a}.$$

La serie converge perché $|(1 - q)a| \le 1 - q < 1$.

Unicità, inversione e teorema di Bochner

Unicità. Due v.a. con la stessa funzione caratteristica hanno la stessa legge.

Inversione. Se $\int_{\mathbb R} |\varphi_X(\theta)| \, d\theta < \infty$, allora $X$ è a.c. con densità $$f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R} e^{-i\theta x}\varphi_X(\theta) \, d\theta.$$

È la formula di antitrasformata di Fourier. Ne segue che la funzione caratteristica caratterizza la misura di probabilità (da qui il nome): per trovare la legge di una v.a. basta riconoscerne la funzione caratteristica.

Teorema di Bochner. Una funzione $\varphi : \mathbb R \to \mathbb C$ è la funzione caratteristica di qualche v.a. se e solo se $\varphi(0) = 1$, $\varphi$ è continua e $\varphi$ è definita positiva: per ogni scelta di $\theta_1, \dots, \theta_n \in \mathbb R$ e $c_1, \dots, c_n \in \mathbb C$, $$\sum_{j,k} c_j \overline{c_k}\,\varphi(\theta_j - \theta_k) \ge 0.$$

La necessità è facile: la somma vale $E\left[\left|\sum_j c_j e^{i\theta_j X}\right|^2\right] \ge 0$. La sufficienza è il contenuto profondo del teorema (non dimostrato nel corso). Uso pratico: una funzione con $|\varphi(\theta)| > 1$ per qualche $\theta$, o con $\varphi(0) \ne 1$, o discontinua, non è una funzione caratteristica.

Convergenza

Il teorema di continuità di Lévy dice che $X_n \to X$ in distribuzione se e solo se $\varphi_{X_n}(\theta) \to \varphi_X(\theta)$ per ogni $\theta$. Nell'esempio del II appello: $\varphi_n(\theta) = 1 - \frac2n + \frac2n\cos(\theta\sqrt n) \to 1$ per ogni $\theta$ (il coseno è limitato e $\frac2n \to 0$), e $1$ è la funzione caratteristica della costante $0$: quindi $X_n \to 0$ in distribuzione. Dettagli in Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →.

Tabella

Errori comuni

• Dimenticare la $i$: $E[X] = -i\varphi'(0)$, non $\varphi'(0)$.
• Mettere $\sigma$ invece di $\sigma^2$ nell'esponente della gaussiana: è $-\frac12\sigma^2\theta^2$.
• Applicare l'affinità al rovescio: $\varphi_{aX + b}(\theta) = e^{ib\theta}\varphi_X(a\theta)$; la $b$ dà una fase, la $a$ riscala l'argomento.
• Moltiplicare le funzioni caratteristiche di v.a. non indipendenti.