Esercizio 10vincita con due estrazioni da un'urna

Testo (I parziale, 17 novembre 2025, esercizio 3, punti 6 = 3+3; ripetuto identico nel III appello, 24 giugno 2026, esercizio 2, punti 4 = 2+2). Da un'urna contenente 8 palline nere e 6 palline bianche si eseguono 2 estrazioni con reinserimento. Ad ogni estrazione si vincono 2 euro se si estrae una pallina nera, mentre si perde 1 euro se si estrae una pallina bianca. Sia $X$ la variabile aleatoria che quantifica la vincita (o perdita).

(a) Determinare la densità discreta di $X$.

(b) Calcolare il valor medio e la varianza di $X$.

Idea: ridursi a una binomiale

La vincita dipende solo da quante nere si estraggono. Sia $Y$ = numero di palline nere nelle 2 estrazioni.

Legge di $Y$. Con reinserimento, l'urna è uguale a ogni estrazione: ogni estrazione dà nera con probabilità $\frac{8}{14} = \frac47$, e le estrazioni sono indipendenti. Contare i successi (nere) in $n = 2$ prove indipendenti con la stessa probabilità $p = \frac47$ è il modello binomialen prove indipendenti, ciascuna con successo di probabilità p: il numero di successi è Bin(n, p).Prove ripetute e modello binomiale →:

$$Y \sim \text{Bin}\left(2, \tfrac47\right).$$

Legame tra $X$ e $Y$. Con $Y$ nere ci sono $2 - Y$ bianche, quindi

$$X = 2Y - 1 \cdot (2 - Y) = 3Y - 2.$$

Controllo: $Y = 0 \Rightarrow X = -2$ (due bianche, si perdono 2 euro); $Y = 1 \Rightarrow X = 1$ ($+2 - 1$); $Y = 2 \Rightarrow X = 4$ ✓.

(a) Densità discreta di $X$

Densità di $Y$, con $p = \frac47$ e $1 - p = \frac37$:

$$p_Y(0) = \left(\tfrac37\right)^2 = \frac{9}{49}, \qquad p_Y(1) = \binom21 \cdot \tfrac47 \cdot \tfrac37 = \frac{24}{49}, \qquad p_Y(2) = \left(\tfrac47\right)^2 = \frac{16}{49}.$$

Il fattore $\binom21 = 2$ in $p_Y(1)$ conta i due ordini possibili (nera-bianca e bianca-nera).

Densità di $X$. $x \mapsto 3x - 2$ è iniettiva, quindi ogni valore di $X$ corrisponde a un solo valore di $Y$ e ne eredita la probabilità (Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →):

$$\boxed{p_X(-2) = \frac{9}{49}, \qquad p_X(1) = \frac{24}{49}, \qquad p_X(4) = \frac{16}{49}}$$

e $p_X(x) = 0$ per ogni altro $x$. Alfabeto $\{-2, 1, 4\}$. Controllo: $\frac{9 + 24 + 16}{49} = 1$ ✓.

(b) Media e varianza

Via veloce: proprietà di media e varianza. Per la binomiale $E[Y] = np = 2 \cdot \frac47 = \frac87$ e $\text{Var}(Y) = np(1 - p) = 2 \cdot \frac47 \cdot \frac37 = \frac{24}{49}$. Per la [[Valore atteso|linearità della media|E[aY + b] = aE[Y] + b.]] e la proprietà $\text{Var}(aY + b) = a^2\text{Var}(Y)$ (Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →):

$$E[X] = 3E[Y] - 2 = 3 \cdot \frac87 - 2 = \frac{24 - 14}{7} = \frac{10}{7},$$

$$\text{Var}(X) = 9\,\text{Var}(Y) = 9 \cdot \frac{24}{49} = \frac{216}{49}.$$

$$\boxed{E[X] = \frac{10}{7} \approx 1{,}43 \text{ euro}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{216}{49} \approx 4{,}41}$$

La costante $-2$ sposta la media ma non cambia la varianza (spostare tutti i valori non cambia quanto sono sparpagliati); il fattore $3$ si eleva al quadrato.

Controllo con la densità di $X$.

$$E[X] = -2 \cdot \frac{9}{49} + 1 \cdot \frac{24}{49} + 4 \cdot \frac{16}{49} = \frac{-18 + 24 + 64}{49} = \frac{70}{49} = \frac{10}{7} \ ✓$$

$$E[X^2] = 4 \cdot \frac{9}{49} + 1 \cdot \frac{24}{49} + 16 \cdot \frac{16}{49} = \frac{36 + 24 + 256}{49} = \frac{316}{49},$$

$$\text{Var}(X) = \frac{316}{49} - \frac{100}{49} = \frac{216}{49} \ ✓$$

Interpretazione. Il gioco è favorevole: in media si vincono circa $1{,}43$ euro a partita. Anche a occhio: ogni estrazione vale in media $2 \cdot \frac47 - 1 \cdot \frac37 = \frac57$ euro, e due estrazioni $\frac{10}{7}$ (linearità).

Errori comuni

• Usare la probabilità $\frac{8}{14}$ senza semplificarla non è un errore, ma $\frac47$ rende i conti più puliti.
• Dimenticare il fattore 2 in $p_Y(1)$.
• Scrivere $\text{Var}(3Y - 2) = 3\text{Var}(Y) - 2$ o $9\text{Var}(Y) - 2$: le costanti additive spariscono e quelle moltiplicative si elevano al quadrato.
• Considerare le estrazioni senza reinserimento: si avrebbe un'ipergeometrica e le estrazioni non sarebbero indipendenti.