Spazio dei segnali e Gram-Schmidt

Con i mezzi trasmissivi e il link budget (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →) si sa quanto segnale e quanto rumore arrivano al ricevitore. Ora si passa a come trasmettere i bit: la modulazione digitale. L'idea chiave del capitolo è geometrica: i segnali si trattano come vettori, e le distanze tra vettori dicono quanto sono distinguibili in presenza di rumore (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →). Questa nota costruisce lo strumento: lo spazio dei segnali, la base ortonormale e il procedimento di Gram-Schmidt. Versione per Ing. Elettronica: Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnaliLa modulazione digitale associa a ognuna delle $M=2^b$ parole di $b$ bit un segnale $s_m(t)$ di energia finita; il demodulatore deve capire quale segnale è stato trasmesso da $r(t)=s_m(t)+w(t)$. Per studiarlo i segnali si vedono come vettori: con il prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*dt$ e una base ortonormale ${\phi_i}$ ogni segnale è $\mathbf s_m=[\langle s_m,\phi_i\rangle]$ e l'insieme dei punti è la costellazione. La base si trova con il procedimento di Gram-Schmidt; distanze ed energie dei punti dicono le prestazioni.Introduzione alla modulazione digitale e spazio dei segnali → e Il rumore AWGN nello spazio dei segnaliIl ricevitore vede solo la componente del rumore nello spazio dei segnali: $w_i=\langle w,\phi_i\rangle$. Per un rumore bianco gaussiano le $w_i$ sono gaussiane a media nulla, scorrelate (quindi indipendenti) e con la stessa varianza $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, qualunque sia la base ortonormale. Il vettore ricevuto $\mathbf r=\mathbf s_m+\mathbf w$ ha densità condizionata $p_{\mathbf r|m}(\boldsymbol\rho|m)=\left(\pi N_0\right)^{-I/2}e^{-\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_m\rVert^2/N_0}$: il rumore sposta il punto trasmesso in modo circolare.Il rumore AWGN nello spazio dei segnali →; l'algebra lineare di fondo è in Basi ortonormali e Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt → e Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →.

1. Lo schema di una modulazione digitale

Qualunque contenuto si voglia trasmettere (testo, audio, video), lo si può trasformare in una sequenza di simboli $a_0,a_1,a_2,\dots$, ognuno in un alfabeto finito $\mathcal A=\{1,2,\dots,M\}$ (dopo la codifica di sorgente: Informazione, entropia e informazione mutuaL'informazione di un evento di probabilità $P$ è $i=\log_2\frac1P$ bit; l'entropia $H(x)=\sum p\log_2\frac1p$ è l'informazione media e misura l'incertezza: $0\le H\le\log_2M$, massimo se i simboli sono equiprobabili. Per due variabili: $\max{H(x),H(y)}\le H(x,y)\le H(x)+H(y)$, $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$ e l'informazione mutua $I(x;y)=H(x)-H(x|y)=H(x)+H(y)-H(x,y)\ge0$ (zero se e solo se indipendenti). Per una sorgente di $F_s$ simboli/s: rate di informazione $F_sH_s$, rate nominale $F_s\log_2M$, efficienza $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.Informazione, entropia e informazione mutua →, Codifica di sorgenteLa codifica di sorgente senza perdita assegna ai simboli (o a parole di $N$ simboli) parole di codice di lunghezza variabile, corte per i simboli probabili, con una mappa invertibile. Un codice a prefisso è sempre decodificabile; Kraft-McMillan: se il codice è decodificabile $\sum M^{-l_i}\le1$ e viceversa esiste un codice a prefisso con quelle lunghezze. Shannon: $L\ge\frac{H}{\log_2M}$ e esiste un codice con $L<\frac{H}{\log_2M}+1$ (lunghezze $\lceil\log_M\frac1p\rceil$). Shannon-Fano divide dall'alto, Huffman unisce dal basso i due meno probabili ed è ottimo; raggruppare simboli e la codifica aritmetica si avvicinano al limite.Codifica di sorgente →). Si guarda il primo simbolo $a_0$ (per i successivi basta ripetere con qualche accorgimento). La modulazione consiste in:

1. scegliere una famiglia di $M$ segnali, le forme d'onda (waveforms) $s_1(t),s_2(t),\dots,s_M(t)$, ognuna scelta per rappresentare un simbolo di $\mathcal A$;
2. per trasmettere il simbolo $a_0=j$ si trasmette la forma d'onda $s_j(t)$.

Per l'implementazione fisica ogni $s_j(t)$ deve avere energia finita, $s_j\in\mathcal L^2(\mathbb R)$. Il demodulatore (il ricevitore) dovrà risalire da $r(t)=s_j(t)+w(t)$ al simbolo $j$.

Esempio pratico (utile per capire, non il migliore): $M=4$ segnali di durata limitata in $[0,T]$, per esempio un rettangolo (simbolo $00$), un triangolo ($01$), un impulso sinusoidale ($10$), una rampa ($11$). Con un alfabeto quaternario si trasmette la sequenza di simboli $2,3,1,4$ mandando in sequenza $s_2,s_3,s_1,s_4$, ognuna in un intervallo di durata $T$.

Tempi e velocità. Se tutte le forme d'onda hanno durata in $[0,T]$, il simbolo $a_k$ si trasmette tra $kT$ e $(k+1)T$. $T$ è il tempo di simbolo (symbol time) e $\frac1T$ la velocità di simbolo (symbol rate). In generale non è comodo usare segnali a durata finita, e segnali adiacenti si sovrappongono nel tempo: è l'interferenza intersimbolica (intersymbol interference, ISI), che per ora si assume trascurabile (lo è certamente se i segnali hanno durata finita $\le T$; vedi il paragrafo 6).

Se la sorgente ha un bit-rate nominale $R_b$, il tempo di bit è $T_b=\frac1{R_b}$. Per una modulazione binaria ($M=2$) simbolo e bit coincidono, $T=T_b$ e la velocità di simbolo è $R_b$. Anche con una sorgente binaria si possono raggruppare $\ell=\log_2M$ bit per volta, ottenendo $M=2^\ell$ simboli possibili ("modulazione $M$-aria"): una mappa di bit (BMAP, bit map) fa corrispondere ogni gruppo di bit a un simbolo, e $$T_b=\frac T{\log_2M},\qquad R_b=\frac{\log_2M}T .$$ Per esempio $M=8$ e $T=2\ \mu$s danno $R_b=\frac{3}{2\cdot10^{-6}}=1{,}5$ Mbit/s. Il $M$ della modulazione si sceglie in base all'efficienza (Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →) e non ha nulla a che fare con l'eventuale alfabeto della sorgente.

Il canale. Per ora si considera un canale che non modifica la forma del segnale: $h_{ch}(t)=A\,\delta(t)$ (a banda stretta, con attenuazione costante $A$ e ritardo trascurabile, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →), e anzi si finge di avere guadagno unitario, $s_{rc}=s_{tx}$; poi si terrà conto dell'attenuazione. Si riceve $r(t)=s(t)+w(t)$ con $w$ il rumore AWGN.

2. Lo spazio $\mathcal L^2$: prodotto scalare, norma, energia

Le forme d'onda a energia finita formano lo spazio vettoriale $\mathcal L^2(\mathbb R)$ (Spazi di segnali L1, L2 e L-infinitoGli spazi $L^1$ (area del modulo finita), $L^2$ (energia finita) e $L^\infty$ (segnale limitato) classificano i segnali e dicono quali teoremi si possono usare: $L^1$ per l'esistenza della trasformata di Fourier e la stabilità BIBO, $L^2$ per Parseval. Nel discreto valgono le inclusioni $\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty$, nel continuo no.Spazi di segnali L1, L2 e L-infinito →), con:

Definizione (prodotto scalare, norma, energia). $$\langle x,y\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,y^*(t)\,dt,\qquad E_x=\langle x,x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert x(t)\rvert^2dt,\qquad\lVert x\rVert=\sqrt{E_x}.$$ Il quadrato della norma è l'energia del segnale; due segnali sono ortogonali se $\langle x,y\rangle=0$.

Esempio. $s_1=A\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$ (ampiezza $A$ per $0<t<T$): $E_1=\int_0^TA^2dt=A^2T$. Con $A=2$ V e $T=1$ ms: $E_1=4\cdot10^{-3}$ V$^2$s (le unità dell'energia sono V$^2\cdot$s, quelle della norma V$\sqrt{\text{s}}$).

Le unità: se $x$ è in volt, $\langle x,y\rangle$ è in V$^2$s e $\lVert x\rVert$ in V$\sqrt{\text{s}}$. L'energia in ricezione è quella che conta per le prestazioni (l'attenuazione del canale divide l'energia di trasmissione per $a_{ch}$).

3. Base ortonormale e rappresentazione vettoriale

Un insieme di $M$ segnali $s_1,\dots,s_M$ in uno spazio vettoriale genera un sottospazio la cui dimensione è al più $M$: $I\le M$ (in generale, i segnali possono essere linearmente dipendenti). Si cerca una base ortonormale $\varphi_1(t),\dots,\varphi_I(t)$ del sottospazio, cioè $$\langle\varphi_i,\varphi_j\rangle=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}\qquad(\lVert\varphi_i\rVert=1).$$ Ogni segnale del sottospazio è una combinazione lineare, e le coordinate si calcolano con un prodotto scalare: $$\boxed{s_j(t)=\sum_{i=1}^Is_{j,i}\,\varphi_i(t),\qquad s_{j,i}=\langle s_j,\varphi_i\rangle=\int s_j(t)\,\varphi_i^*(t)\,dt,\qquad\mathbf s_j=[s_{j,1},\dots,s_{j,I}].}$$ (Dimostrazione della formula delle coordinate: si fa il prodotto scalare di $s_j=\sum_k s_{j,k}\varphi_k$ con $\varphi_i$; per l'ortonormalità sopravvive solo il termine $k=i$.) Il segnale $s_j(t)$ e il vettore $\mathbf s_j\in\mathbb R^I$ (a volte $\mathbb C^I$) sono la stessa cosa: c'è un isomorfismo tra lo spazio dei segnali e $\mathbb R^I$ (che trasforma la convoluzione/somma in somma di vettori). Si può anche pensare a un vettore come a una freccia nel piano o come a un punto. Il disegno dell'insieme dei punti $\mathbf s_j$ nello spazio generato da $\{\varphi_i\}$ è la costellazione della modulazione.

Poiché le basi sono ortonormali, il prodotto scalare e la norma si conservano passando ai vettori (identità di Parseval): $$\langle x,y\rangle=\sum_ix_iy_i^*,\qquad E_j=\lVert s_j\rVert^2=\sum_is_{j,i}^2=\lVert\mathbf s_j\rVert^2 .$$ Le grandezze geometriche della costellazione hanno un significato fisico diretto:

Si vorrebbe avere i punti il più lontani possibile (per distinguerli meglio in presenza di rumore), ma allontanarli costa energia: è il compromesso fondamentale di tutta la modulazione digitale.

Nota sull'$E_s$ e sulla trasmissione/ricezione. Il simbolo $E_s$ è ambiguo: può essere l'energia trasmessa o quella ricevuta. Tecnicamente le forme d'onda $s_j(t)$ sono quelle ricevute ($s_{tx}=s_{rc}$ nel modello semplificato), ma spesso si dice "si trasmette $s_j$" e si calcola l'energia statistica trasmessa; talvolta serve invece l'energia ricevuta. Per passare dall'una all'altra servono l'attenuazione $a_{ch}$, il tempo $T$ e l'impedenza: $E_s^{rc}=\frac{E_s^{tx}}{a_{ch}}$ e, partendo dalla potenza elettrica ricevuta $P_{rc}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}}$, l'energia statistica per simbolo (in V$^2$s) è $E_s=P_{rc}\,Z_0\,T$ (la potenza statistica è $M=P\,Z_0$). Ogni esercizio specifica quale vale.

4. Il procedimento di Gram-Schmidt

Dati i segnali $s_1,\dots,s_M$, come si trova una base ortonormale? Con l'algoritmo di Gram-Schmidt:

0. si pone $n=1$ e si ripete finché $n\le M$;
1. si normalizza il segnale $s_n$ (a cui sono già state tolte le componenti precedenti) e si ottiene una nuova funzione di base $\varphi_j$; poi $n\leftarrow n+1$;
2. dal segnale successivo $s_n$ si tolgono tutte le componenti lungo le $\varphi_j$ già trovate;
3. se il resto è non nullo si torna al passo 1; se è nullo il segnale è linearmente dipendente dai precedenti, non si aggiunge una funzione di base e si passa al successivo.

In formule, per i primi due segnali: $$\varphi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_1}},\qquad c=\langle s_2,\varphi_1\rangle,\qquad\tilde\varphi_2=s_2-c\,\varphi_1\ (\perp\varphi_1),\qquad E_{\tilde\varphi_2}=E_2-\lvert c\rvert^2,\qquad\varphi_2=\frac{s_2-c\,\varphi_1}{\sqrt{E_2-\lvert c\rvert^2}} .$$ (Calcolo dell'energia: $E_{\tilde\varphi_2}=\langle s_2-c\varphi_1,s_2-c\varphi_1\rangle=\lVert s_2\rVert^2-c^*\langle s_2,\varphi_1\rangle-c\langle\varphi_1,s_2\rangle+cc^*\langle\varphi_1,\varphi_1\rangle=E_2-|c|^2$.) Nella base trovata $$\mathbf s_1=\left(\sqrt{E_1},\,0\right),\qquad\mathbf s_2=\left(c,\ \sqrt{E_2-|c|^2}\right).$$ Il vettore $\mathbf s_1$ è sull'asse $\varphi_1$ per costruzione; la seconda coordinata di $\mathbf s_2$ è la lunghezza della parte di $s_2$ ortogonale a $s_1$. Il segno di $\varphi_2$ è arbitrario: si può scegliere quello che dà coordinate positive.

Quando non serve Gram-Schmidt. Se la base ortonormale è già evidente (per esempio segnali a supporti disgiunti, o sinusoidi di frequenza diversa) non occorre invocarlo: è computazionalmente scomodo per un essere umano. Casi tipici:

• Supporti disgiunti. Due rettangoli su $[0,\frac T4]$ e $[\frac T2,\frac{3T}4]$ sono ortogonali (il prodotto è ovunque nullo): le funzioni di base sono i due rettangoli normalizzati.
• Un solo impulso scalato. Se $s_j=\alpha_jh(t)$ (Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →), la base è $\varphi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, e $I=1$.
• Sinusoidi. Due sinusoidi di frequenza diversa $f_0\ne f_1$ su $[0,T]$ sono ortogonali: $$\int_0^T\cos(2\pi f_0t)\cos(2\pi f_1t)\,dt=\frac12\int_0^T\left[\cos\left(2\pi(f_0+f_1)t\right)+\cos\left(2\pi(f_0-f_1)t\right)\right]dt,$$ e i due termini valgono esattamente zero se $(f_0\pm f_1)T$ è un intero, mentre sono trascurabili se $f_0\pm f_1\gg\frac1T$ (l'integrale di un coseno su molti periodi è circa nullo). Regola pratica: sinusoidi a frequenze "diverse" sono ortogonali. Analogamente $\cos(2\pi f_0t)$ e $\sin(2\pi f_0t)$ sono ortogonali se $2f_0\gg\frac1T$.

Esempio svolto: una rampa e un rettangolo

Siano $s_1(t)=A$ e $s_2(t)=A\frac tT$ per $0<t<T$ (e $0$ altrove), con $A=2$ V, $T=1$ ms, e $s_3=s_1+s_2$. Si cercano la base e i punti.

1. Prima funzione di base. $E_1=\int_0^TA^2dt=A^2T=4\cdot10^{-3}$ V$^2$s e $\varphi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_1}}=\frac1{\sqrt T}$ (costante su $[0,T]$): infatti $\lVert\varphi_1\rVert^2=\frac1T\cdot T=1$.
2. Proiezione di $s_2$. $c=\langle s_2,\varphi_1\rangle=\int_0^TA\frac tT\frac1{\sqrt T}\,dt=\frac A{T\sqrt T}\frac{T^2}2=\frac{A\sqrt T}2=0{,}0316$ V$\sqrt{\text{s}}$. L'energia di $s_2$ è $E_2=\int_0^TA^2\frac{t^2}{T^2}dt=\frac{A^2T}3=1{,}33\cdot10^{-3}$ V$^2$s.
3. Parte ortogonale. $E_{\tilde\varphi_2}=E_2-c^2=\frac{A^2T}3-\frac{A^2T}4=\frac{A^2T}{12}=3{,}33\cdot10^{-4}$ V$^2$s $\ne0$: serve una seconda funzione di base. $\tilde\varphi_2=s_2-c\varphi_1=A\frac tT-\frac A2=A\left(\frac tT-\frac12\right)$ e $$\varphi_2(t)=\frac{A\left(\frac tT-\frac12\right)}{\sqrt{A^2T/12}}=\sqrt{\frac{12}T}\left(\frac tT-\frac12\right),\qquad0<t<T$$ (è una rampa centrata sullo zero). Verifica: $\int_0^T\frac{12}T\left(\frac tT-\frac12\right)^2dt=12\cdot\frac1{12}=1$ e $\langle\varphi_1,\varphi_2\rangle=0$ (area nulla).
4. Coordinate. Con $A\sqrt T=0{,}0632$ V$\sqrt{\text{s}}$: $\mathbf s_1=(A\sqrt T,0)$, $\mathbf s_2=\left(\frac{A\sqrt T}2,\ \frac{A\sqrt T}{\sqrt{12}}\right)=(0{,}0316;\ 0{,}0183)$ e, per linearità, $\mathbf s_3=\mathbf s_1+\mathbf s_2=\left(\frac32A\sqrt T,\ \frac{A\sqrt T}{\sqrt{12}}\right)$. La dimensione è $I=2<M=3$.

Controllo con le distanze: $d_{12}^2=\left(1-\frac12\right)^2+\left(\frac1{\sqrt{12}}\right)^2=\frac14+\frac1{12}=\frac13$ in unità $A^2T$, e dal calcolo diretto $E_1+E_2-2\langle s_1,s_2\rangle=1+\frac13-2\cdot\frac12=\frac13$ ✓ (con $\langle s_1,s_2\rangle=\int A\cdot A\frac tT\,dt=\frac{A^2T}2$).

5. Il rumore nello spazio dei segnali

Il segnale ricevuto è $r(t)=s_j(t)+w(t)$ (modello AWGN). Il segnale utile sta nel sottospazio $\operatorname{span}\{\varphi_1,\dots,\varphi_I\}$, ma il rumore $w(t)\in\mathcal L^2$ (realisticamente) non vi appartiene: la somma $\sum_iw_i\varphi_i$ con $w_i=\langle w,\varphi_i\rangle$ non coincide con $w(t)$. Si scompone il rumore in due parti ortogonali, $$w(t)=w_\varphi(t)+w_\perp(t),\qquad w_\varphi\in\operatorname{span}\{\varphi_i\},\quad w_\perp\perp\operatorname{span}\{\varphi_i\} .$$ Il vettore $\mathbf w=[w_1,\dots,w_I]$ descrive $w_\varphi$ (e in modo più rigoroso con una base più grande $\varphi_1,\dots,\varphi_I,\varphi_{I+1},\dots$ in cui il segnale ha coordinate $[s_1,\dots,s_I,0,\dots,0]$, il rumore $w_\varphi$ ha $[w_1,\dots,w_I,0,\dots,0]$ e $w_\perp$ ha $[0,\dots,0,w_{I+1},\dots]$). Per il teorema di irrilevanza, la componente $w_\perp$ può essere ignorata: il ricevitore ricava tutte le informazioni utili dalle sole proiezioni.

Teorema di irrilevanza. Se il vettore ricevuto si può scrivere $\mathbf r=[\mathbf r_1\mid\mathbf r_2]$ e la densità di $\mathbf r_2$ condizionata a $\mathbf r_1$ e al simbolo trasmesso $a_0$ non dipende da $a_0$, $$p_{\mathbf r_2|\mathbf r_1,a_0}(\boldsymbol\rho_2\mid\boldsymbol\rho_1,j)=p_{\mathbf r_2|\mathbf r_1}(\boldsymbol\rho_2\mid\boldsymbol\rho_1),$$ allora la decisione ottima può basarsi sul solo $\mathbf r_1$: $\mathbf r_2$ è irrilevante.

Dimostrazione. Il criterio ottimo (MAP: Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →) massimizza $p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho\mid j)\,p_j$. Scrivendo $p_{\mathbf r|a_0}=p_{\mathbf r_2|\mathbf r_1,a_0}\cdot p_{\mathbf r_1|a_0}$ (regola della catena, Formula delle probabilità totali e formula di BayesSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →) il primo fattore non dipende da $j$ per ipotesi e si può portare fuori dalla massimizzazione: resta $\max_j\,p_{\mathbf r_1|a_0}(\boldsymbol\rho_1\mid j)\,p_j$. $\square$

Qui $\mathbf r_1$ è la parte nello spazio dei segnali (dipende dal segnale e da $\mathbf w_\varphi$) e $\mathbf r_2=\mathbf w_\perp$ non dipende dal segnale. Resta da caratterizzare $\mathbf w$.

Statistica delle componenti del rumore. $w(t)$ è un rumore bianco gaussiano a media nulla con PSD costante $\frac{N_0}2$ (autocorrelazione $r_w(\tau)=\frac{N_0}2\delta(\tau)$, Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →). Si ricava:

1. Le $w_i=\int w(t)\varphi_i^*(t)\,dt$ sono gaussiane, perché sono un'operazione lineare (un integrale) su un processo gaussiano.
2. Media nulla: scambiando valore atteso e integrale, $E[w_i]=\int E[w(t)]\varphi_i^*(t)\,dt=0$.
3. Correlazione. Per $i,j$ qualunque: $$E\left[w_iw_j^*\right]=\iint E\left[w(t)w^*(u)\right]\varphi_i^*(t)\varphi_j(u)\,dt\,du=\frac{N_0}2\iint\delta(u-t)\,\varphi_j(u)\,\varphi_i^*(t)\,du\,dt=\frac{N_0}2\int\varphi_j(t)\varphi_i^*(t)\,dt=\frac{N_0}2\,\delta_{ij}.$$ L'ultimo integrale è il prodotto scalare di due elementi di una base ortonormale: $1$ se $i=j$, $0$ altrimenti.

Conseguenze. Le componenti $w_i$ ($i\ne j$) sono incorrelate e, essendo gaussiane, indipendenti (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →). Per $i=j$, $E[|w_i|^2]=\frac{N_0}2$ è la potenza e quindi la varianza di ciascuna componente: $$\boxed{\sigma_I^2=\frac{N_0}2\quad\left(w_i\sim\mathcal N(0,\sigma_I^2)\right)}\qquad[\text{V}^2\text{s}].$$ Si scopre così che $\frac{N_0}2$, definita all'inizio come la PSD (costante) di $w(t)$, è anche la varianza per dimensione del rumore nello spazio dei segnali, qualunque sia la base ortonormale scelta. La densità del vettore ricevuto, se è stato trasmesso $s_j$ ($\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$ è gaussiano con media $\mathbf s_j$ e componenti indipendenti), è il prodotto delle $I$ gaussiane $$\boxed{p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho\mid j)=\left(\frac1{\sqrt{\pi N_0}}\right)^Ie^{-\frac{\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert^2}{N_0}}}$$ (con $\frac1{\sqrt{2\pi\sigma_I^2}}=\frac1{\sqrt{\pi N_0}}$ e $\frac{u^2}{2\sigma_I^2}=\frac{u^2}{N_0}$). Dipende solo dalla distanza dal punto trasmesso: il rumore non ha direzione preferita, è "circolare". Per capire come si usa per decidere si va a Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →.

Esempio. Se $\frac{N_0}2=2\cdot10^{-6}$ V$^2$/Hz, la varianza per dimensione è $\sigma_I^2=2\cdot10^{-6}$ V$^2$s e $\sigma_I=1{,}41\cdot10^{-3}$ V$\sqrt{\text{s}}$. Confrontata con le coordinate dell'esempio di Gram-Schmidt ($\approx0{,}03\div0{,}06$ V$\sqrt{\text{s}}$) il rumore è piccolo: la distanza minima $d_{min}=0{,}577\cdot0{,}0632=0{,}0365$ V$\sqrt{\text{s}}$ vale $\frac{d_{min}}{2\sigma_I}=12{,}9$ deviazioni standard, un SNR altissimo.

6. Interferenza intersimbolica e condizione di Nyquist

In realtà il vettore ricevuto non è soltanto $\mathbf r=\mathbf s_{a_0}+\mathbf w$: contiene anche altri termini (ISI) dovuti alla sovrapposizione delle forme d'onda dei simboli vicini. Non serve però che l'ISI sia nulla ovunque: basta che sia nulla negli istanti di campionamento del ricevitore. Se le forme d'onda sono a banda stretta ma non necessariamente a durata limitata, l'ISI è trascurabile in quegli istanti se $$\langle\varphi_j(t),\varphi_k(t-\ell T)\rangle=\begin{cases}1&\ell=0,\ j=k\\0&\text{altrimenti, in particolare se }\ell\ne0\end{cases}$$ (condizioni di Nyquist per l'assenza di ISI: ognuna delle funzioni di base è ortogonale a tutte le sue copie traslate di multipli del tempo di simbolo). La dimostrazione intuitiva: al ricevitore si campiona il segnale e si calcola il prodotto scalare con $\varphi_j$; l'ISI è dovuta ai termini di $s_k(t-\ell T)$ con $\ell\ne0$, e sono tutti ortogonali a $\varphi_j$, quindi danno prodotto scalare nullo. Se invece il canale non è a banda stretta, ritardo e guadagno dipendono da $f$, e evitare l'ISI è più difficile (la convoluzione con $h_{ch}\ne A\delta$ allunga il segnale). I dettagli sulla forma dell'impulso e sulla banda sono in Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →.

Errori comuni

• Dimenticare di normalizzare la base: le coordinate sono $s_{j,i}=\langle s_j,\varphi_i\rangle$ solo con una base ortonormale.
• Dire che la dimensione è $M$: è il numero di funzioni di base indipendenti, $I\le M$ (nell'esempio $I=2$ con $M=3$).
• Calcolare l'energia come somma dei valori e non dei quadrati, o dimenticare l'integrale.
• Normalizzare con $\sqrt T$ invece che con l'energia vera (per un rettangolo di durata $\frac T2$ si usa $\sqrt{T/2}$).
• Dire che la varianza per dimensione dipende dalla base scelta: è sempre $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$.
• Confondere $N_0$ con $\frac{N_0}2$ (la varianza è $\frac{N_0}2$, la PSD bilatera è $\frac{N_0}2$ e il rumore in banda $B$ è $N_0B$).