Esercizio - cinque segnali, union bound e probabilità d'errore approssimata

Testo (appunti di esercitazione di Bressanone, modulazioni $M$-arie). Una modulazione usa $M=5$ forme d'onda di durata $T$, con $s_2(t)=h(t)\cos(2\pi f_0t)$, $s_4(t)=-s_2(t)$, $s_1(t)=h(t)\cos(2\pi f_1t)$, $s_3(t)=-s_1(t)$, $s_5(t)=s_4(t)+s_3(t)$, con $f_0\ne f_1$ e $f_0,f_1\gg B_h$, e simboli equiprobabili su un canale AWGN. Trovare la base e la costellazione, indicare le coppie a distanza minima e stimare la probabilità d'errore sul simbolo con l'union bound e con la sua versione più accurata. Si calcoli il valore per $\frac E{N_0}=14$ dB, con $E$ energia di $s_2$.

Teoria usata: Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →, Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →, Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →.

1. Base e costellazione

Le due sinusoidi $s_2\propto\cos(2\pi f_0t)$ e $s_1\propto\cos(2\pi f_1t)$ sono ortogonali (frequenze diverse, $f_0,f_1\gg\frac1T$). Sia $E=\lVert s_2\rVert^2=\frac{E_h}2$ la loro energia (uguale per $s_1,s_2,s_3,s_4$). La base ortonormale è $\varphi_1=\frac{s_2}{\sqrt E}$, $\varphi_2=\frac{s_3}{\sqrt E}=-\frac{s_1}{\sqrt E}$, con $I=2$, e i punti sono (in unità $\sqrt E$) $$\mathbf s_2=(1,0),\quad\mathbf s_4=(-1,0),\quad\mathbf s_3=(0,1),\quad\mathbf s_1=(0,-1),\quad\mathbf s_5=\mathbf s_4+\mathbf s_3=(-1,1).$$ Le energie sono $E_1=E_2=E_3=E_4=E$ e $E_5=2E$, con energia media $E_s=\frac{4E+2E}5=1{,}2E$.

2. Distanze

Dalle coordinate: $d_{3,5}=d_{4,5}=\lVert(\pm1,0)\rVert=\sqrt E$ e $d_{1,2}=d_{2,3}=d_{3,4}=d_{1,4}=\sqrt{2E}$, mentre $d_{1,3}=d_{2,4}=2\sqrt E$, $d_{1,5}=d_{2,5}=\sqrt{5E}$. La distanza minima è $$d_{min}=\sqrt E,$$ raggiunta dalle coppie $(s_3,s_5)$ e $(s_4,s_5)$. Il numero di simboli con almeno un vicino a $d_{min}$ è $N^*=3$ ($s_3,s_4,s_5$): $s_1$ e $s_2$ hanno solo vicini a $\sqrt2\,d_{min}$. Con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$, $\frac{d_{min}}{2\sigma_I}=\sqrt{\frac E{2N_0}}$; per $\frac E{N_0}=14$ dB $=25{,}1$ si ha $\sqrt{12{,}6}=3{,}54$ e $Q_0\equiv Q(3{,}54)=2{,}0\cdot10^{-4}$.

3. Union bound

Con la formula generale (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →): $$\frac{N^*}M\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right):\qquad\frac35Q_0\le P[E]\le4Q_0 ,$$ cioè $1{,}2\cdot10^{-4}\le P[E]\le7{,}9\cdot10^{-4}$.

Stima più fine. Si ragiona simbolo per simbolo, tenendo solo gli errori verso i vicini a $d_{min}$ (quelli più lontani, con $\sqrt2\,d_{min}$, hanno $Q\left(\sqrt2\,\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=Q(5{,}0)\approx3\cdot10^{-7}$, trascurabili):

• $s_1$ e $s_2$: nessun vicino a $d_{min}$, errore $\approx0$ (proporzionale a $Q\left(\sqrt2\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$);
• $s_3$: un solo vicino a $d_{min}$ ($s_5$): $P_{err,3}\simeq Q_0$;
• $s_4$: un solo vicino ($s_5$): $P_{err,4}\simeq Q_0$;
• $s_5$: due vicini ($s_3$ e $s_4$): per l'unione $P_{err,5}\le2Q_0$, e le intersezioni dei due eventi sono $\mathcal E_{35}\cap\mathcal E_{45}\approx Q^2\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=\mathrm{P}\left[w_1>\tfrac{d_{min}}2,\ w_2>\tfrac{d_{min}}2\right]$, trascurabili (ordine $10^{-8}$), quindi $P_{err,5}\simeq2Q_0$ è una buona approssimazione.

In media: $$P[E]\simeq\frac15\left(0+0+Q_0+Q_0+2Q_0\right)=\frac45\,Q_0=\frac45\cdot2{,}0\cdot10^{-4}=\boxed{1{,}6\cdot10^{-4}} ,$$ cioè $P[E]\approx\overline N_{min}Q_0$ con $\overline N_{min}=\frac45$ vicini medi a distanza minima. L'union bound $P[E]\le4Q_0$ è invece un limite grossolano: 5 volte più grande del valore stimato ($7{,}9\cdot10^{-4}$ contro $1{,}6\cdot10^{-4}$).

Controllo numerico. Una simulazione Monte Carlo ($2\cdot10^6$ prove per simbolo, decisore a minima distanza) dà, a $\frac E{N_0}=14$ dB, $P_{err,3}=1{,}8\cdot10^{-4}$, $P_{err,4}=1{,}9\cdot10^{-4}$, $P_{err,5}=4{,}1\cdot10^{-4}$ (circa $2Q_0=3{,}9\cdot10^{-4}$), nessun errore osservato per $s_1$ e $s_2$, e $P[E]=1{,}57\cdot10^{-4}$: la stima fine ($1{,}58\cdot10^{-4}$) coincide con il valore vero, mentre il limite inferiore $\frac35Q_0=1{,}2\cdot10^{-4}$ è abbastanza lasco e il superiore $4Q_0$ molto largo. A SNR più bassi l'accordo peggiora (a $10$ dB: valore vero $1{,}12\cdot10^{-2}$, stima $\frac45Q_0=1{,}01\cdot10^{-2}$, union bound $5{,}1\cdot10^{-2}$).

Conclusione di progetto

La costellazione non è "ben spaziata": $s_5$ è molto vicino a $s_3$ e $s_4$ ($d_{min}=\sqrt E$), mentre gli altri punti sono a $\sqrt{2E}$ o più. A parità di energia media, una costellazione con tutte le coppie a distanza maggiore avrebbe $P[E]$ più bassa: meglio una costellazione con $d_{min}$ grande, anche se il termine $\overline N_{min}$ è piccolo.

Errori comuni

• Usare l'union bound $(M-1)Q_0$ come stima della probabilità d'errore: è un limite superiore, che qui sovrastima di un fattore $5$.
• Contare tutti i vicini invece dei soli vicini a $d_{min}$ (quelli a $\sqrt2\,d_{min}$ hanno probabilità trascurabile).
• Confondere $E$ (energia di $s_2$) con $E_s$ (energia media): $E_s=1{,}2E$.