Esercizio - modulazione OOK, ricevitore ottimo e confronto con l'antipodale

Testo (scheda di esercizi n. 4, modulazione digitale, esercizio 3; esercizio 5.8 del libro). La modulazione detta On-Off Keying (OOK) usa due forme d'onda: $s_1(t)=0$ e $s_2(t)=A$, per $0\le t<T$. Si assume la trasmissione di simboli equiprobabili su un canale AWGN con PSD $\frac{N_0}2$. a) Trovare il ricevitore ottimo; b) esprimere $P_{bit}$ in funzione di $\frac{E_s}{N_0}$, con $E_s$ energia media per simbolo; c) confrontare il risultato con una modulazione antipodale.

Teoria usata: Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →, Ricevitore a minima distanza e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza ottiene $\mathbf r$ proiettando $r(t)$ sulla base, $r_j=\langle r,\varphi_j\rangle$: ogni proiezione è l'uscita, campionata in $t_0$, di un filtro con risposta impulsiva $\psi_j(t)=\varphi_j^(t_0-t)$ (il filtro adattato). Poi calcola le distanze e sceglie il minimo (tipo I, $I$ filtri), oppure usa direttamente i segnali con $\hat a_0=\arg\max_j{\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2}$ (tipo II, $M$ filtri). Il filtro adattato massimizza l'SNR all'istante di campionamento, con valore massimo $\frac{2E}{N_0}$. Per modulazioni binarie basta un solo filtro e un rivelatore a soglia.Ricevitore a minima distanza e filtro adattato →, Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →.

a) Ricevitore ottimo

Base e costellazione. C'è un solo segnale non nullo, quindi la dimensione è $I=1$ e $\varphi(t)=\frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2}}=\frac1{\sqrt T}$ per $0\le t<T$, con $E_2=A^2T$ e $E_1=0$. I punti sono $\mathbf s_1=0$ e $\mathbf s_2=A\sqrt T=\sqrt{E_2}$, a distanza $d_{12}=A\sqrt T$.

Criterio. Rumore AWGN e simboli equiprobabili: il criterio ottimo è la minima distanza (Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →). La soglia è a metà strada, in $\frac{A\sqrt T}2$.

Ricevitore. Un solo filtro adattato $\psi(t)=\varphi(T-t)=\frac1{\sqrt T}$ (per $0\le t<T$), campionato in $t_0=T$ (equivale a integrare $r(t)$ su $[0,T]$ e dividere per $\sqrt T$), seguito da un rivelatore a soglia (Ricevitore a minima distanza e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza ottiene $\mathbf r$ proiettando $r(t)$ sulla base, $r_j=\langle r,\varphi_j\rangle$: ogni proiezione è l'uscita, campionata in $t_0$, di un filtro con risposta impulsiva $\psi_j(t)=\varphi_j^*(t_0-t)$ (il filtro adattato). Poi calcola le distanze e sceglie il minimo (tipo I, $I$ filtri), oppure usa direttamente i segnali con $\hat a_0=\arg\max_j{\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2}$ (tipo II, $M$ filtri). Il filtro adattato massimizza l'SNR all'istante di campionamento, con valore massimo $\frac{2E}{N_0}$. Per modulazioni binarie basta un solo filtro e un rivelatore a soglia.Ricevitore a minima distanza e filtro adattato →): $$r>\frac{A\sqrt T}2\ \Rightarrow\ \hat a_0=s_2,\qquad r<\frac{A\sqrt T}2\ \Rightarrow\ \hat a_0=s_1 .$$

b) Probabilità d'errore

Con soglia a metà e simboli equiprobabili, per simmetria i due errori hanno la stessa probabilità: si sbaglia se il rumore supera la mezza distanza, $$P_{bit}=P[E]=P\left[w>\frac{d_{12}}2\right]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\frac{A\sqrt T}{2\sigma_I}\right),\qquad\sigma_I^2=\frac{N_0}2 .$$ L'energia media per simbolo è $E_s=\frac12E_1+\frac12E_2=\frac{A^2T}2$ (il simbolo $s_1$ costa zero, $s_2$ costa $A^2T$): quindi $A^2T=2E_s$ e $$\frac{A\sqrt T}{2\sigma_I}=\sqrt{\frac{A^2T}{4\cdot N_0/2}}=\sqrt{\frac{2E_s}{2N_0}}\ \Longrightarrow\ \boxed{P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)}.$$

c) Confronto con l'antipodale

Una modulazione antipodale ($s_2=-s_1$) con la stessa energia media $E_s$ ha $d_{12}=2\sqrt{E_s}$ e $P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$. L'OOK si comporta quindi esattamente come una modulazione ortogonale ($\rho=0$, stessa $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$): è peggiore dell'antipodale di $3$ dB.

Perché? La distanza è $d_{12}^2=2E_s$ per l'OOK e $4E_s$ per l'antipodale: a pari distanza l'antipodale ha metà dell'energia media (i suoi due punti sono simmetrici rispetto all'origine; l'OOK ha un punto nell'origine e l'altro lontano, e la media dell'energia è dominata dal punto lontano). Equivalentemente, a pari $P_{bit}$ l'OOK richiede il doppio di $\frac{E_s}{N_0}$.

Numeri: a $\frac{E_s}{N_0}=10$ dB (cioè $10$) l'OOK dà $Q(\sqrt{10})=Q(3{,}16)=7{,}8\cdot10^{-4}$, l'antipodale $Q(\sqrt{20})=Q(4{,}47)=3{,}9\cdot10^{-6}$. Per ottenere $P_{bit}=10^{-6}$ servono $\frac{E_s}{N_0}=13{,}5$ dB (OOK) e $10{,}5$ dB (antipodale).

Errori comuni

• Confrontare le due modulazioni a pari energia di picco ($A^2T$ dell'OOK) invece che a pari energia media $E_s$. Un modo corretto di vedere il confronto: l'antipodale $\pm\frac A2$ ha la stessa distanza $d_{12}=A\sqrt T$ dell'OOK (e quindi la stessa $P_{bit}$) ma energia media $E_s=\frac{A^2T}4$, la metà di quella dell'OOK ($\frac{A^2T}2$).
• Scrivere $P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$ per l'OOK (formula dell'antipodale).
• Dimenticare di mettere la soglia a $\frac{A\sqrt T}2$ e non in $0$.