Efficienza spettrale e banda delle modulazioni

Le modulazioni dei capitoli precedenti (Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →) si differenziano non solo per la probabilità d'errore (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →) ma anche per quanta banda occupano e quanti bit al secondo trasportano. La banda è una risorsa costosa e regolamentata: bisogna essere "avari" nell'allocarla. Questa nota risponde alle domande: quale impulso usare, come si misura l'efficienza con cui si usa la banda e come confrontare in modo equo modulazioni diverse. Versione per Ing. Elettronica: Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettralePer confrontare le modulazioni si usa l'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_{s,rc}}{N_0,T,B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B_{min}a_{ch}}$, con $B_{min}$ la banda minima ($\frac1{2T}$ per la PAM in banda base, $\frac1T$ per QAM e PSK, $\frac M{2T}$ per le ortogonali). Ogni modulazione ha una $P_{bit}(\Gamma)$ approssimata (tabella) e un'efficienza spettrale $\nu=\frac{R_b}{B_{min}}$, limitata da Shannon: $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$. A SNR alto conviene la QAM, a SNR molto basso le ortogonali e biortogonali (ma con più banda).Confronto tra modulazioni - banda, SNR di riferimento ed efficienza spettrale →.

1. Scelta dell'impulso base

Tutte le modulazioni viste si scrivono come $$s_n(t)=\alpha_n\,h_{Tx}(t)\cos\left(2\pi f_0t+\varphi_n\right),$$ dove i coefficienti $\alpha_n$ (ampiezza: PAM, QAM) o $\varphi_n$ (fase: PSK) portano l'informazione digitale e la portante a $f_0$ adatta il segnale alla banda passante del canale. Il ruolo dell'impulso $h_{Tx}(t)$ sembra secondario, e per capire le modulazioni si può prendere il rettangolo $h_{Tx}(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t-T/2}T\right)$ (il ritardo $\frac T2$ lo rende causale: da $0$ a $T$). In realtà l'impulso è libero, ma deve soddisfare condizioni precise:

1. essere un segnale reale a energia finita;
2. non produrre ISI al ricevitore (condizioni di Nyquist: Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →);
3. avere piccola banda. Il requisito rende valida l'ipotesi di banda stretta del capitolo sui mezzi trasmissivi (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →) e soprattutto rende il sistema più efficiente: i sistemi moderni sfruttano intensamente lo spettro di ogni canale.

Il rettangolo e il triangolo

Un impulso di durata limitata tra $0$ e $T$, come il rettangolo, soddisfa i primi due requisiti: l'ISI è assente e la sequenza trasmessa è chiaramente riconoscibile (nella figura sotto, per una modulazione antipodale con $1\to+h$ e $0\to-h$). Ma è pessimo per la banda: la sua trasformata è un sinc, che in senso stretto è illimitato in frequenza e occupa tutto lo spettro; anche con un criterio di energia per la banda pratica, la banda è molto grande, perché i lobi laterali del sinc calano lentamente.

La teoria dei segnali suggerisce due rimedi. Il primo è usare transizioni più morbide, per esempio un triangolo: la sua trasformata è un sinc al quadrato, che decade più in fretta, ma resta illimitata in frequenza. Il secondo è usare un segnale a banda limitata scambiando i ruoli di $h_{Tx}(t)$ e $H_{Tx}(f)$: un sinc nel tempo e un rettangolo in frequenza.

L'impulso sinc

Un impulso sinc con lobo principale tra $0$ e $T$ è $h_{Tx}(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac{t-T/2}{T/2}\right)$: ha banda strettamente limitata, e l'ISI è nulla agli istanti di campionamento $\frac T2,\frac{3T}2,\dots$ (ogni altro impulso vale $0$ lì). Non solo: gli altri impulsi si annullano anche nei multipli dispari di $\frac T2$, il che suggerisce un sinc con lobo principale di durata $2T$, $$h_{Tx}(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac{t-T/2}T\right)\qquad\Longleftrightarrow\qquad H_{Tx}(f)\propto\operatorname{rect}(fT)\ \text{(a meno del ritardo)},$$ con banda $\left[-\frac1{2T},\frac1{2T}\right]$. Tutti gli impulsi adiacenti si annullano nei campioni, quindi la sequenza è ricostruita perfettamente con la banda più piccola possibile: $B=\frac1{2T}$ per una modulazione in banda base (PAM, nelle ipotesi giuste). La QAM e la PSK non possono stare in banda base: sono passabanda (moltiplicate per la portante $f_0\gg\frac1{2T}$), e per la proprietà di traslazione in frequenza lo spettro viene replicato attorno a $\pm f_0$ con ampiezza dimezzata: la banda diventa $\left[f_0-\frac1{2T},f_0+\frac1{2T}\right]$, e per la convenzione del corso la banda del segnale è $B=\frac1T$. Il segnale con il sinc è ben riconoscibile solo ai campionamenti; nel tempo appare confuso, perché ogni impulso ha code lunghe.

Perché il sinc non va bene nella pratica.

• È un impulso di durata infinita e non causale: bisognerebbe cominciare a trasmettere il segnale di un simbolo molto prima di sapere che lo si vuole trasmettere. Si possono usare solo versioni troncate, che però non hanno più banda esattamente limitata.
• Richiede sincronizzazione perfetta: gli altri impulsi sono nulli solo agli istanti esatti $kT$ e intorno a quegli istanti crescono linearmente, quindi un piccolo errore di campionamento $\tau_{off}$ produce molta ISI. Per esempio, con la sequenza $1101$ (+1,+1,−1,+1) e un errore di $0{,}1\,T$ sul secondo campione, l'impulso del simbolo stesso cala solo del $1{,}6\%$ ($\operatorname{sinc}(0{,}1)=0{,}984$), ma la somma di tutti gli impulsi vale $0{,}984-0{,}089-0{,}109-0{,}052=0{,}733$: il campione è più basso del 27% rispetto al valore corretto, quindi la protezione dal rumore diminuisce e un errore è molto più probabile. La tecnologia moderna sincronizza il ricevitore con grande precisione, ma il problema resta dal punto di vista teorico.

Il coseno rialzato

Si usa in pratica un impulso con trasformata a coseno rialzato (raised cosine) $H_{Tx}(f)=\operatorname{rcos}(fT,\beta)$, con fattore di roll-off $\beta\in[0,1]$: $$H_{Tx}(f)=\begin{cases}1&|f|\le\frac{1-\beta}{2T}\\[2pt]\frac12\left[1+\cos\left(\frac{\pi T}\beta\left(|f|-\frac{1-\beta}{2T}\right)\right)\right]&\frac{1-\beta}{2T}<|f|\le\frac{1+\beta}{2T}\\[2pt]0&|f|>\frac{1+\beta}{2T}\end{cases}\qquad h_{Tx}(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac tT\right)\frac{\cos\left(\pi\beta t/T\right)}{1-\left(2\beta t/T\right)^2}$$ (a meno del ritardo $\frac T2$). La trasformata non è un rettangolo, ma una versione "ammorbidita" in cui la transizione avviene con un raccordo a coseno. L'impulso è ancora a banda limitata, ma decade nel tempo più in fretta del sinc (come $\frac1{t^3}$ invece di $\frac1t$), perché si evitano le transizioni brusche in frequenza; la versione troncata che si deve usare in pratica è quindi più corta e più accurata. E soprattutto ha ancora zeri in tutti i multipli di $T$, quindi la condizione di Nyquist è soddisfatta: nessuna ISI ai campionamenti.

Il compromesso nella scelta di $\beta$: più è grande, più le code nel tempo si smorzano in fretta e la rilevazione è più semplice (gli altri impulsi sono significativi solo per un intervallo di $2T$ circa); ma la banda cresce di un fattore $(1+\beta)$, da $\frac1{2T}$ a $\frac{1+\beta}{2T}$ (banda base). Con $\beta=0$ si riottiene il sinc, con banda minima.

Come si realizza. L'impulso desiderato si realizza filtrando il segnale digitale che arriva dalla sorgente: la sequenza di simboli si vede come un treno di impulsi, e $h_{Tx}$ è la risposta impulsiva del filtro a cui la sequenza è convoluta (vale per modulazioni di ampiezza, su una o due portanti in quadratura; analogamente per la fase). In pratica il coseno rialzato si ottiene suddividendo il filtraggio in due metà uguali, due filtri a radice di coseno rialzato (root raised cosine), uno in trasmissione e uno in ricezione: l'ultimo di questi filtri è già il filtro adattato del ricevitore (Ricevitore a minima distanza e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza ottiene $\mathbf r$ proiettando $r(t)$ sulla base, $r_j=\langle r,\varphi_j\rangle$: ogni proiezione è l'uscita, campionata in $t_0$, di un filtro con risposta impulsiva $\psi_j(t)=\varphi_j^*(t_0-t)$ (il filtro adattato). Poi calcola le distanze e sceglie il minimo (tipo I, $I$ filtri), oppure usa direttamente i segnali con $\hat a_0=\arg\max_j{\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2}$ (tipo II, $M$ filtri). Il filtro adattato massimizza l'SNR all'istante di campionamento, con valore massimo $\frac{2E}{N_0}$. Per modulazioni binarie basta un solo filtro e un rivelatore a soglia.Ricevitore a minima distanza e filtro adattato →), e in cascata danno il coseno rialzato completo.

2. Efficienza spettrale

Per quantificare la compattezza con cui si usa la banda si introduce l'efficienza spettrale (spectral efficiency) $$\boxed{\nu=\frac{R_b}{B}\quad\left[\frac{\text{bit/s}}{\text{Hz}}\right]},\qquad R_b=\frac{\log_2M}T=\log_2M\cdot F,\ F=\frac1T\ \text{(velocità di simbolo)}$$ (come per $\nu=\frac{F\log_2M}B$). Un rapporto tra bit-rate (in $\text{s}^{-1}$) e banda (in Hz $=\text{s}^{-1}$) è adimensionale, ma si usa sempre scrivere "bit/s/Hz" (b/s/Hz, o bps/Hz) per sottolineare il legame con l'informazione e distinguerla da altri rapporti. $\nu$ misura quanti bit al secondo si trasmettono per ogni hertz di banda, e può essere maggiore di $1$. Una volta noti $B$ e $\nu$ il sistema si vede come un "tubo di bit" con bit-rate $\nu B$ (trascurando che alcuni bit siano sbagliati: la $P_{bit}$ è fissata dai livelli superiori).

(Più propriamente, il bit-rate $R_b$ è nominale; l'information rate è $F\,H(x)\le R_b$ con l'entropia della sorgente, e l'uguaglianza vale se i simboli sono equiprobabili: Informazione, entropia e informazione mutuaL'informazione di un evento di probabilità $P$ è $i=\log_2\frac1P$ bit; l'entropia $H(x)=\sum p\log_2\frac1p$ è l'informazione media e misura l'incertezza: $0\le H\le\log_2M$, massimo se i simboli sono equiprobabili. Per due variabili: $\max{H(x),H(y)}\le H(x,y)\le H(x)+H(y)$, $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$ e l'informazione mutua $I(x;y)=H(x)-H(x|y)=H(x)+H(y)-H(x,y)\ge0$ (zero se e solo se indipendenti). Per una sorgente di $F_s$ simboli/s: rate di informazione $F_sH_s$, rate nominale $F_s\log_2M$, efficienza $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.Informazione, entropia e informazione mutua →. Qui si assume che la sorgente sia efficiente.)

Efficienza massima. Per confrontare le modulazioni con un riferimento equo si usa la banda minima $B_{min}$ con cui si può trasmettere senza ISI nel punto di decisione, ottenuta con l'impulso sinc. Dipende dalla dimensione $I$ della base ($B_{min}=\frac I{2T}$) e dal tipo di segnale:

(nella lezione si fa notare che il libro è un po' confuso su questo punto: qui $\nu_{max}$ è sempre l'efficienza ottenuta con la banda minima $B_{min}$, cioè con l'impulso sinc). Nota: negli appunti a mano della lezione le bande minime delle modulazioni ortogonale e biortogonale sono scritte $\frac MT$ e $\frac M{2T}$, il doppio dei valori della tabella del testo (SU57) usati qui, $\frac M{2T}$ e $\frac M{4T}$: le due scritture differiscono per la convenzione sul conteggio della banda (frequenze negative); in tutta la nota si segue la tabella del testo. Per un impulso a coseno rialzato la banda diventa $B=(1+\beta)B_{min}$ e l'efficienza si riduce di $(1+\beta)$.

Esempio. Una $64$-QAM con impulso a coseno rialzato $\beta=0{,}25$: $R_b=\frac6T$, $B=\frac{1{,}25}T$, $\nu=\frac{6}{1{,}25}=4{,}8$ bit/s/Hz (con il sinc ideale sarebbe $6$). Per trasmettere $2$ Mbit/s in un canale di $1$ MHz con $\beta=0{,}25$ serve $\log_2M\ge\frac{2\cdot1{,}25}1=2{,}5$, cioè $M=8$ ($3$ bit/simbolo, $2{,}4$ Mbit/s).

Perché non scegliere sempre un $M$ enorme? Perché $P[E]$ cresce rapidamente con $M$ (a parità di SNR) e per un $M$ molto alto servirebbe un SNR altissimo. La scelta di $M$ è un compromesso tra due obiettivi: tanti bit al secondo (efficienza spettrale alta) e bassa probabilità d'errore.

3. SNR di riferimento $\Gamma$ e link budget

Per confrontare modulazioni diverse serve una misura unica di SNR e una condizione uguale per tutte. Come SNR di riferimento si prende quello che si avrebbe con la banda minima: $$\boxed{\Gamma=\frac{E_s}{T\,N_0\,B_{min}}}$$ con $E_s$ l'energia media del simbolo (ricevuto). Essa è legata al rapporto $\frac{E_s}{N_0}$ in modo diverso per ogni modulazione, perché $B_{min}$ cambia:

(in generale $\Gamma=\frac{2E_s}{IN_0}$). Non va confuso con l'SNR generico $\Lambda=\frac{M_{rc}}{N_0B}=\frac{E_s}{TN_0B}$, che usa la banda $B$ effettiva: poiché $B\ge B_{min}$, si ha $\Lambda\le\Gamma$ (uguaglianza solo con la banda minima). Per esempio con un coseno rialzato in banda base $B=(1+\beta)\frac1{2T}=(1+\beta)B_{min}$ e $\Lambda=\frac{\Gamma}{1+\beta}$. In termini di link budget, con $M_{tx}=\frac{E_{s,tx}}T$ la potenza statistica trasmessa e $a_{ch}$ l'attenuazione (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →): $$\Gamma=\frac{M_{tx}}{N_0B_{min}a_{ch}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}},\qquad\Gamma_{dB}=(P_{tx})_{dBm}-(a_{ch})_{dB}+114-(F_{rc})_{dB}-10\log_{10}B_{min,MHz}.$$ Il modo tipico di usare queste formule: si impone la $P_{bit}$ richiesta (dipende dall'applicazione), da essa si ricava il $\frac{E_s}{N_0}$ necessario per la modulazione scelta, lo si esprime tramite $\Gamma$ e, con la formula del link budget, si ricava per esempio $P_{tx}$ dati tutti gli altri parametri. Attenzione: nel link budget serve usare $B_{min}$ (non la banda reale) quando si lavora con $\Gamma$.

Tabella riassuntiva delle prestazioni

Con la codifica di Gray e per $\Gamma$ riferito alla banda minima:

(PAM, QAM, PSK sono dedotte in Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →; ortogonale e biortogonale in Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →, con $P_{bit}=\frac{M/2}{M-1}P[E]$ e quindi $\frac M2Q$ per l'ortogonale. Il libro riporta $\frac{M-1}2Q$, cioè il limite $\frac12$ del fattore $\frac M{2(M-1)}$ per $M$ grande: i due valori differiscono per un fattore $\frac M{M-1}$, trascurabile al crescere di $M$.) Per $M=2$ PAM e PSK danno la stessa $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$ con $\Gamma=\frac{2E_s}{N_0}$ e $\frac{E_s}{N_0}$ rispettivamente.

4. Confronto a $P_{bit}$ fissata e limite di Shannon

Per confrontare in modo equo si fissa $P_{bit}=10^{-6}$ e per ogni modulazione si trova il $\Gamma$ necessario (e si guarda $\nu_{max}$):

(Nella riga PAM $\nu_{max}=2\log_2M$ ha valori doppi: per la PAM si è in banda base; la $4$-PAM ($\nu=4$, $\Gamma=20{,}4$ dB) è la stessa modulazione della $16$-QAM, una in banda base e una in banda passante. La PAM trasmessa in banda passante vedrebbe dimezzata la sua efficienza.)

Non si può avere $\nu$ alto con SNR qualsiasi: il teorema di Shannon (Capacità di canaleLa capacità di un canale è il massimo, sulle statistiche di ingresso, della velocità di informazione $R=F,I_s(\mathbf c,\tilde{\mathbf c})$ (informazione mutua per simbolo per la velocità di simbolo). Teorema di Shannon: se la velocità informativa è $R<C$ esistono codici con probabilità d'errore residua piccola a piacere; se $R>C$ no. BSC senza memoria: $C_s=1+P\log_2P+(1-P)\log_2(1-P)$ bit/simbolo. Canale AWGN: $C=B\log_2(1+\mathrm{SNR})$ con $\mathrm{SNR}=P_{rx}/(N_0B)$; per $B\to\infty$ la capacità non cresce indefinitamente ma tende a $P_{rx}/(N_0\ln2)$. Limite per il rapporto $E_b/N_0$: $\ge\ln2=-1{,}59$ dB.Capacità di canale →) mette un limite alla massima efficienza raggiungibile con un dato SNR: $$\nu_{max}\le\log_2(1+\Gamma)\qquad\left(C=B\log_2(1+\text{SNR})\right).$$

Osservazioni:

1. PAM e QAM hanno la stessa efficienza e le stesse prestazioni, purché la PAM sia in banda base (altrimenti la sua efficienza si dimezza): la QAM con $M^2$ punti è come due PAM a $M$ livelli in quadratura. Possono raggiungere alte efficienze al costo di più potenza (alto $\Gamma$).
2. La PSK è peggiore di PAM e QAM: a pari $\Gamma$ raggiunge efficienze più basse (a $\nu=4$ la QAM chiede $20{,}4$ dB e la PSK $24{,}5$ dB; a $\nu=6$ la $64$-QAM $26{,}6$ dB e la $64$-PSK $36{,}3$ dB). Tuttavia la PSK ha ampiezza costante e si usa dove l'amplificatore è non lineare (satelliti).
3. Ortogonali e biortogonali hanno efficienza bassa ($\nu_{max}$ cala all'aumentare di $M$, perché servono banda $\frac M{2T}$ e $\frac M{4T}$), ma richiedono $\Gamma$ molto bassi: si usano a SNR bassi (applicazioni a basso bit-rate, potenza limitata e complessità ridotta; per esempio le comunicazioni "ultra wide band", dove la banda è larghissima). A parità di prestazioni la biortogonale ha il doppio dell'efficienza della ortogonale.
4. Banda contro potenza. Le modulazioni efficienti in banda (PAM, QAM, PSK, $\nu_{max}>2$ o $B_{min}<\frac1{T_b}$) permettono di diminuire la banda aumentando $M$ al costo di più potenza; viceversa per diminuire la potenza serve più banda (ortogonali). In un certo senso la banda si scambia con la potenza. Una piccola diminuzione di $\Gamma$ può però richiedere un grande aumento di banda. La $P_{bit}$ di una ortogonale o biortogonale dipende dal $\frac{E_s}{N_0}$ e quasi non da $M$.
5. In ogni caso la scelta della modulazione dipende anche dalle caratteristiche del canale e dal costo di realizzazione, non solo dall'efficienza.

5. Scegliere $M$ per un collegamento

Dato il $\Gamma$ del link budget e la $P_{bit}$ richiesta, si sceglie la modulazione con più bit/simbolo che soddisfa il vincolo: si calcola $P_{bit}(M,\Gamma)$ per $M=4,16,64,\dots$ e si prende il più grande $M$ con $P_{bit}\le P_{target}$; il bit-rate ottenibile è $R_b=\frac{\log_2M}T=\log_2M\cdot B_{min}$ (con $B_{min}=\frac1T$ per QAM e PSK).

Esempio. $\Gamma=31$ dB ($=1259$), $B_{min}=500$ kHz, $P_{bit}\le10^{-6}$ con QAM: la $256$-QAM dà $P_{bit}=2{,}8\cdot10^{-5}$ (non basta), la $64$-QAM $2{,}8\cdot10^{-15}$ (basta). Il bit-rate è $\log_264\cdot500\ \text{kHz}=3$ Mbit/s ($6$ bit/s/Hz). Altri esempi di progetto in Esercizio - trasmettitore con BPSK, 16-QAM o 64-QAM e distanze raggiungibili.

Errori comuni

• Usare $B_{min}=\frac1T$ per la PAM in banda base, o $\frac1{2T}$ per QAM e PSK.
• Confrontare modulazioni a $\frac{E_s}{N_0}$ uguale invece che a $\Gamma$ (cioè a banda minima) e a $P_{bit}$ uguali.
• Usare la banda vera nella formula di $\Gamma$: serve $B_{min}$. Con $B=(1+\beta)B_{min}$ l'SNR vero è $\Lambda=\frac{\Gamma}{1+\beta}$.
• Dimenticare che le formule di $P_{bit}$ sono approssimate (Gray, $P_{bit}\ll1$, errori verso i soli vicini).
• Dire che la PSK è meglio della QAM perché ha ampiezza costante: è un vantaggio hardware, non di efficienza.
• Dire che il sinc ideale è un buon impulso: non è causale, non è realizzabile e tollera male gli errori di sincronizzazione; si usa il coseno rialzato.