Esercizio - collegamento via cavo con segnale in banda passante, cifra di rumore e SNR

Testo (scheda di esercizi n. 3, mezzi trasmissivi, esercizio 2). Un segnale è modulato su una portante sinusoidale $\cos(2\pi f_ct)$ con $f_c=1{,}785$ GHz e trasmesso in banda passante. La PSD del segnale trasmesso $v_{tx}(t)$ è $\mathcal P_{v_{tx}}(f)=0{,}5\cdot10^{-6}\left[Y(f-f_c)+Y(f+f_c)\right]$ V$^2$/Hz con $Y(f)=\operatorname{rect}\left(\frac{2f}{f_0}\right)+\operatorname{triang}\left(\frac{3f}{f_0}\right)$, dove $f_0=1{,}2$ MHz. L'impedenza interna della sorgente è una resistenza pura $R$ e la potenza trasmessa (elettrica) è $0{,}2$ mW. La trasmissione avviene su un cavo a temperatura ambiente, con attenuazione globale $37$ dB, verso un ricevitore con cifra di rumore $F_A=13$ dB. Quanto vale la resistenza interna della sorgente, se si è in adattamento di carico? Qual è la temperatura di rumore del ricevitore? Qual è l'SNR al ricevitore?

Teoria usata: Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^*$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →, Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →.

1. Resistenza interna della sorgente

La resistenza si ricava dal legame tra potenza statistica e potenza elettrica, $P_{tx}=\frac{M_{tx}}R$, quindi serve $M_{tx}=\int\mathcal P_{v_{tx}}(f)\,df$. Conviene tradurre le due funzioni in aree.

• $\operatorname{rect}\left(\frac{2f}{f_0}\right)$ vale $1$ per $|f|<\frac{f_0}4$: larghezza $\frac{f_0}2=600$ kHz, area $0{,}6\cdot10^6$ Hz.
• $\operatorname{triang}\left(\frac{3f}{f_0}\right)$ è un triangolo di altezza $1$ e base $|f|<\frac{f_0}3$ (larghezza totale $\frac{2f_0}3=800$ kHz): area $=\frac12\cdot\text{base}\cdot\text{altezza}=\frac12\cdot\frac{2f_0}3=\frac{f_0}3=0{,}4\cdot10^6$ Hz.

L'area di $Y$ è $\int Y\,df=0{,}6\cdot10^6+0{,}4\cdot10^6=10^6$ Hz. Lo spettro del segnale ha due copie (attorno a $+f_c$ e $-f_c$, ciascuna di ampiezza $0{,}5\cdot10^{-6}$): $$M_{tx}=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathcal P_{v_{tx}}(f)\,df=2\cdot0{,}5\cdot10^{-6}\cdot10^6=1\ \text{V}^2 .$$ (Il fattore $\frac12$ in ampiezza della PSD, $\frac14$ in potenza, viene dal teorema della modulazione: moltiplicare per $\cos(2\pi f_ct)$ trasla lo spettro in $\pm f_c$ dividendo per $4$ la PSD.) Con $R$ pura, $P_{tx}=\frac{M_{tx}}R$, quindi $$R=\frac{M_{tx}}{P_{tx}}=\frac{1\ \text{V}^2}{0{,}2\cdot10^{-3}\ \text{W}}=\boxed{5\ \text{k}\Omega}.$$

2. Temperatura di rumore del ricevitore

Con $F_A=13$ dB $=10^{1{,}3}=19{,}95$: $$T_A=T_0\,(F_A-1)=290\cdot18{,}95=\boxed{5{,}5\cdot10^3\ \text{K}}\qquad(5496\ \text{K}),\qquad T_{eff}=T_0+T_A=T_0F_A=5786\ \text{K}.$$ Il cavo è a temperatura ambiente e la sorgente a $T_0$, quindi la temperatura efficace del ricevitore è $T_{eff}=T_0F_A$ (Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →).

3. SNR al ricevitore

La banda del segnale è quella della copia a frequenze positive: si estende per $\pm\frac{f_0}3$ attorno a $f_c$ (il triangolo è il più largo), quindi $$B=\frac{2f_0}3=800\ \text{kHz}.$$ Con il link budget (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →), $P_{tx}=0{,}2$ mW $=-7$ dBm, $a_{ch}=37$ dB, $F_A=13$ dB, $B=0{,}8$ MHz ($10\log_{10}0{,}8=-0{,}97$ dB): $$\text{SNR}_{dB}=P_{tx,dBm}+114-a_{ch}-F_A-10\log_{10}B_{MHz}=-7+114-37-13+0{,}97=\boxed{58\ \text{dB}}.$$ Controllo in lineare: $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}\,kT_0F_AB}=\frac{2\cdot10^{-4}}{5012\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot290\cdot19{,}95\cdot8\cdot10^5}=6{,}24\cdot10^5$, cioè $57{,}95$ dB ✓ ($a_{ch}=10^{3{,}7}=5012$).

Osservazioni

• La resistenza della sorgente serve solo a passare da potenza statistica a elettrica; nel link budget non compare.
• In banda stretta ($B=0{,}8\ \text{MHz}\ll f_c=1{,}785\ \text{GHz}$) l'attenuazione del cavo si può considerare costante nella banda, e vale quella alla portante.

Errori comuni

• Dimenticare che lo spettro modulato ha due copie ($\pm f_c$) e contare un'area sola: $M_{tx}$ risulterebbe $0{,}5$ V$^2$ e $R=2{,}5$ k$\Omega$.
• Usare la banda $\frac{f_0}2$ (quella del rettangolo) o $f_0$ per $B$: la banda è quella dell'intero spettro, $\frac{2f_0}3$.
• Confondere $T_A=T_0(F-1)$ (rumore aggiunto) con $T_{eff}=T_0F$.