Link budget

È la nota in cui si mette insieme tutto il capitolo sui mezzi trasmissivi: la potenza trasmessa (Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →), l'attenuazione del canale (Doppi bipoli, guadagno e attenuazioneTra generatore e carico c'è in generale un doppio bipolo (due porte): il canale, un amplificatore, un cavo. Con impedenze $Z_1$ in ingresso e $Z_2$ in uscita il segnale passa in cascata attraverso tre partitori, $g_1=\frac{Z_1}{Z_S+Z_1}$, $g_2=\frac{V_2}{V_1}$ e $g_L=\frac{Z_L}{Z_2+Z_L}$; il canale è $g_{ch}=g_2g_L$. Il guadagno di potenza è $g(f)=\frac{p_{out}(f)}{p_{in}(f)}$ e l'attenuazione $a(f)=\frac1{g(f)}$. Con la linea adattata ($Z_S=Z_1^$, $Z_1=Z_2=Z_L$ resistive) tutti i fattori d'impedenza si semplificano e $g(f)=\lvert g_{ch}(f)\rvert^2$; in dB $g_{dB}=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert$. In cascata i guadagni si moltiplicano (si sommano in dB).Doppi bipoli, guadagno e attenuazione →, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →) e il rumore (Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →) in un solo numero, l'SNR in ricezione. Dall'SNR dipende, nei capitoli successivi, la probabilità d'errore (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →). Versione per Ing. Elettronica: Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →.

1. Il modello del sistema di trasmissione

Il sistema si traduce in uno schema a blocchi di signal processing (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →): un canale con risposta $h_{ch}(t)$ (guadagno $g_{ch}(f)$, attenuazione $a_{ch}(f)$) e un ricevitore con $h_{rc}(t)$ e cifra di rumore $F_{rc}(f)$ in serie: $$s_{tx}(t)\ \to\ \boxed{h_{ch}}\ \to\ s_{rc}(t)\ \xrightarrow{+\,w(t)}\ r(t)\ \to\ \boxed{h_{rc}}\ \to\ r_L(t)\quad(\text{sul carico } Z_L).$$ Il segnale ricevuto è $s_{rc}=s_{tx}*h_{ch}$; si somma il rumore, $r=s_{rc}+w$, e il ricevitore filtra, $r_L=r*h_{rc}$. Lo schema pone il rumore dopo il canale: è legittimo? Sorgente e canale insieme si comportano come una sola "sorgente" per cui, se tutto è a temperatura $T_0$ e c'è solo rumore termico, si ha $p^{(s,ch)}_{w_{in}}=\frac12kT_0$ in ingresso al ricevitore. È esatto se la sorgente è davvero a $T_0$ e fa solo rumore termico; altrimenti è un'approssimazione, perché in realtà $$p^{(s,ch)}_{w_{out}}(f)=\tfrac12kT_s(f)\,g_{ch}(f)+\tfrac12k\left(a_{ch}(f)-1\right)T_0\,g_{ch}(f)$$ (rumore della sorgente attenuato, più il rumore aggiunto dal canale passivo a $T_0$: Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →, caso del doppio bipolo passivo). Con $g_{ch}$ molto piccolo ($a_{ch}\approx10^8$ è tipico) si dice che il canale "attenua soltanto il segnale utile" e tutto il rumore è quello del ricevitore.

Questo modello è il modello AWGN (additive white Gaussian noise): rumore additivo (si somma al segnale), bianco (stessa densità a tutte le frequenze della banda), gaussiano (somma di molti contributi indipendenti). È uno dei modelli possibili: non cattura il fading, le interferenze, il cammino multiplo.

Il guadagno del ricevitore non conta. Se $w(t)$ è aggiunto prima del ricevitore, tutto ciò che il ricevitore fa (amplifica, filtra) agisce nello stesso modo su segnale e rumore, e l'unico effetto sull'SNR è il suo rumore interno, dato da $F_{rc}$: $\text{SNR}_{in,rc}=\text{SNR}_{out,rc}$ per un ricevitore ideale. Se il ricevitore è una catena di più stadi, $F_{rc}$ è la cifra equivalente di Friis (Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →).

2. La potenza di rumore

La densità di potenza elettrica del rumore all'ingresso del ricevitore è $$p_{w,in}(f)=\tfrac12k\,T_{eff,rc}(f),\qquad T_{eff,rc}=T_0+(F_{rc}-1)T_0=T_0F_{rc},$$ dove si usa la sorgente a $T_0$. Per un segnale in banda $B$ (da $-B$ a $B$, o due bande larghe $B$ attorno a $\pm f_0$) la potenza di rumore è $$P_w=2\int_{\mathcal B}\tfrac12kT_0F_{rc}\,df=k\,T_0\,F_{rc}\,B .$$ Passando alle grandezze statistiche (potenze in V$^2$): la densità elettrica e quella statistica sono legate da $p=\mathcal P\frac{R}{|Z|^2}$, che con $Z_0$ reale diventa $\mathcal P=Z_0\,p$. Si definisce la densità di rumore $N_0$ tramite la PSD statistica (bilatera) $$\mathcal P_w(f)=\frac{N_0}2\quad\Longrightarrow\quad N_0=k\,T_0\,F_{rc}\,\operatorname{Re}[Z_0]\quad[\text{V}^2/\text{Hz}],\qquad M_w=2B\cdot\frac{N_0}2=N_0B .$$ (La convenzione $\frac{N_0}2$ serve perché $N_0$ sia la densità "unilatera", cioè quella che si trova nella banda $[0,B]$ senza i $\pm$.) Compare spesso nei capitoli sulla modulazione digitale: $\frac{N_0}2=\sigma_I^2$ è la varianza del rumore per dimensione del segnale (Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →).

3. L'SNR e la formula del link budget

L'SNR in ricezione è il rapporto tra la potenza del segnale utile (attenuata dal canale) e quella del rumore. Con la potenza trasmessa $P_{tx}$ e $P_{rc}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}}$: $$\boxed{\text{SNR}=\frac{P_{rc}}{P_w}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}\,kT_0F_{rc}\,B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}\,N_0\,B}}$$ (forma elettrica e forma statistica; coincidono perché $\frac{P}{P}=\frac{M}{M}$ quando l'impedenza è la stessa per segnale e rumore, e questa è la banda stretta: $a_{ch}$ costante nella banda del segnale, Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^*$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →). Il guadagno del ricevitore si semplifica tra segnale e rumore. I requisiti sul sistema sono in genere "$\text{SNR}\ge$ soglia", ma gli ingegneri progettano con SNR = soglia (la condizione più economica che soddisfa il vincolo).

In decibel. Si scrive $\text{SNR}_{dB}=10\log_{10}\frac{P_{tx}}{1\,\text{mW}}-10\log_{10}a_{ch}-10\log_{10}F_{rc}-10\log_{10}\frac B{1\,\text{MHz}}+10\log_{10}\frac{1\,\text{mW}}{1\,\text{MHz}\cdot kT_0}$, e l'ultimo termine è $$10\log_{10}\frac{10^{-3}}{10^{6}\cdot4{,}0\cdot10^{-21}}=10\log_{10}\left(2{,}5\cdot10^{11}\right)=114\ \text{dB}$$ (è il noise floor di $-114$ dBm su $1$ MHz, visto prima). Quindi:

Formula (link budget in dB). $$\text{SNR}_{dB}=(P_{tx})_{dBm}+114-(a_{ch})_{dB}-(F_{rc})_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}.$$

È la formula che si usa in tutti gli esercizi di collegamento. Si legge come un conto della spesa: si parte dalla potenza trasmessa, si sottrae quello che il canale si mangia ($a_{ch}$), si sottrae il rumore del ricevitore ($F_{rc}$) e il rumore raccolto dalla banda ($10\log_{10}B$), e si aggiunge la costante $114$ (il rumore di fondo di riferimento). Si usano dBm per la potenza e MHz per la banda (con dBW la costante cambia: $+144$).

Esempio 1 (radio locale). $P_{tx}=10$ mW $=10$ dBm, $a_{ch}=90$ dB, $F_{rc}=17$ dB, $B=60$ kHz $=0{,}06$ MHz ($10\log_{10}0{,}06=-12{,}2$): $$\text{SNR}_{dB}=10+114-90-17+12{,}2=29{,}2\ \text{dB}\ (\approx830).$$ Verifica in lineare: $\frac{10^{-2}/10^{9}}{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot290\cdot50{,}1\cdot6\cdot10^4}=\frac{10^{-11}}{1{,}20\cdot10^{-14}}=830$ ✓.

4. Usare il link budget: potenza, banda, distanza

La formula in dB è lineare nelle incognite, quindi si inverte con semplici somme.

Potenza minima. Per ottenere $\text{SNR}\ge\text{SNR}_{min}$: $(P_{tx})_{dBm}\ge\text{SNR}_{min}-114+a_{ch}+F_{rc}+10\log_{10}B_{MHz}$.

Banda massima. Più banda raccoglie più rumore: ogni raddoppio di $B$ costa $3$ dB di SNR, ogni decuplicazione $10$ dB.

Distanza massima. Dall'SNR minimo si ricava $a_{ch,max}=P_{tx}+114-F_{rc}-10\log_{10}B-\text{SNR}_{min}$, e da questo la distanza con la formula del mezzo.

Esempio 2 (radio). $P_{tx}=20$ dBm, $f=2{,}4$ GHz, $g_{tx}=g_{rc}=3$ dB, $B=1$ MHz, $F_{rc}=7$ dB, $\text{SNR}_{min}=15$ dB. Attenuazione massima: $a_{ch,max}=20+114-7-0-15=112$ dB. Con Friis (Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →): $112=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+67{,}6-6\Rightarrow20\log_{10}d_{km}=18\Rightarrow d_{km}=10^{0{,}9}=7{,}9$ km.

Esempio 3 (cavo). $P_{tx}=0$ dBm, cavo con $2$ dB/km, $B=100$ kHz $=0{,}1$ MHz ($10\log_{10}0{,}1=-10$), $F_{rc}=10$ dB, $\text{SNR}_{min}=20$ dB: $\text{SNR}_{dB}=0+114-2d-10+10=114-2d\ge20\Rightarrow d\le47$ km.

Esempio 4 (variazione con la distanza). Noto l'SNR a una distanza, quello a un'altra si ricava dalla sola differenza di attenuazione, perché tutti gli altri termini restano uguali. Un drone è comandato con segnale di banda $250$ Hz attorno a $1{,}05$ MHz; a $1$ m l'SNR è $84$ dB e non deve scendere sotto $30$ dB: la differenza ammessa è $54$ dB, e in spazio libero $a\propto d^2$, quindi $\frac{d_{max}^2}{d_0^2}=10^{5{,}4}$ e $d_{max}=1\ \text{m}\cdot10^{2{,}7}=501$ m (Esercizio - aeromodello radiocomandato e distanza massima).

5. Quando il link budget "semplice" non basta

• Banda larga. Le formule assumono banda stretta (canale con attenuazione costante nella banda). Se $a_{ch}(f)$ varia in banda, bisogna integrare segnale e rumore su $f$ (Esercizio 17 · linea con attenuazione che cresce con la radice della frequenza).
• Segnale in banda passante. Nel segnale modulato la potenza è quella dello spettro attorno a $\pm f_0$: si calcola con la PSD (Esercizio - collegamento via cavo con segnale in banda passante, cifra di rumore e SNR).
• Qual è $B$? È la banda del ricevitore, che lascia passare solo il segnale: per una modulazione digitale il valore minimo è $B_{min}=\frac1T$ (passa-banda) o $\frac1{2T}$ (banda base) e l'SNR con questa banda è l'SNR di riferimento $\Gamma$ usato per confrontare le modulazioni (Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →). Con una banda diversa da $B_{min}$ l'SNR vero è $\Lambda=\Gamma\frac{B_{min}}B$ (Esercizio - trasmettitore con BPSK, 16-QAM o 64-QAM e distanze raggiungibili).
• Più destinatari. Se la potenza e la banda sono divise tra $N$ ricevitori, il rapporto per ognuno cambia con $\frac{P_{tx}/N}{B/N}$: Esercizio - sistema radio con N ricevitori in topologia a stella.

Errori comuni

• Usare la banda in Hz nella formula in dB (serve in MHz), o la potenza in dBW senza cambiare la costante ($+144$).
• Dimenticare di sottrarre la cifra di rumore $F_{rc}$ del ricevitore.
• Dimenticare il guadagno delle antenne dentro $a_{ch}$ (radio) o contarlo due volte.
• Applicare la formula a un canale a banda larga senza verificare che l'attenuazione sia circa costante in banda.
• Confondere $N_0$ con $\frac{N_0}2$: il rumore in banda $B$ vale $N_0B$ (con la banda a $\pm$ conta $2B$ e la PSD $\frac{N_0}2$).