Probabilità d'errore e funzione Q

Con il ricevitore a minima distanza (Ricevitore a minima distanza e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza ottiene $\mathbf r$ proiettando $r(t)$ sulla base, $r_j=\langle r,\varphi_j\rangle$: ogni proiezione è l'uscita, campionata in $t_0$, di un filtro con risposta impulsiva $\psi_j(t)=\varphi_j^*(t_0-t)$ (il filtro adattato). Poi calcola le distanze e sceglie il minimo (tipo I, $I$ filtri), oppure usa direttamente i segnali con $\hat a_0=\arg\max_j{\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2}$ (tipo II, $M$ filtri). Il filtro adattato massimizza l'SNR all'istante di campionamento, con valore massimo $\frac{2E}{N_0}$. Per modulazioni binarie basta un solo filtro e un rivelatore a soglia.Ricevitore a minima distanza e filtro adattato →) e la sua ottimalità (Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →) si può finalmente calcolare quanto spesso si sbaglia: la probabilità d'errore $P[E]=1-P[C]$. È il numero che lega il link budget (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →), cioè l'SNR, alle prestazioni di una modulazione. In tutta la nota: canale AWGN, simboli equiprobabili, criterio di minima distanza (che in queste ipotesi è ottimo). Versione per Ing. Elettronica: Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di erroreDue segnali $s_1,s_2$ hanno costellazione $\mathbf s_1=(\sqrt{E_1},0)$, $\mathbf s_2=(\rho\sqrt{E_2},\sqrt{E_2(1-\rho^2)})$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}\in[-1,1]$ e distanza $d_{1,2}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$. Con AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{1,2}}{2\sigma_I}\right)$. A parità di energia $E_s$ il minimo errore si ha per $\rho=-1$ (antipodale: $Q\left(\sqrt{2E_s/N_0}\right)$); per $\rho=0$ (ortogonale) $Q\left(\sqrt{E_s/N_0}\right)$, 3 dB peggio.Modulazione binaria - correlazione, distanza e probabilità di errore → e Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonaliCon $M>2$ segnali la probabilità di errore esatta non si trova in forma chiusa, ma si limita con la distanza minima: $\frac{N^}{M}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1),Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ ($N^$ = numero di punti con almeno un vicino a $d_{min}$). L'upper bound è molto vicino al valore vero ad SNR alto. Per $M$ segnali ortogonali $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ e la dimensione è $M$; per i biortogonali (un segnale opposto più $M-2$ ortogonali) la dimensione è $\frac M2$.Modulazioni M-arie - bound sulla probabilità di errore, ortogonali e biortogonali →.

1. La funzione Q

Il calcolo di $P[E]$ richiede sempre di integrare code gaussiane, e per questo si introduce una funzione apposita. La funzione $Q$ è la probabilità che una variabile gaussiana normale standard superi il valore $x$:

Definizione (funzione $Q$). Se $z\sim\mathcal N(0,1)$, $$Q(x)=P[z>x]=\int_x^{+\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt=\frac12\operatorname{erfc}\left(\frac x{\sqrt2}\right).$$ Per una gaussiana generica $w\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$: $P[w>k]=Q\left(\frac k\sigma\right)$ (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →).

La seconda formula si ottiene standardizzando: $\frac w\sigma\sim\mathcal N(0,1)$ e $w>k\iff\frac w\sigma>\frac k\sigma$. Proprietà utili:

• $Q$ è decrescente, $Q(0)=\frac12$, $Q(+\infty)=0$;
• per simmetria $P[w<-k]=P[w>k]=Q\left(\frac k\sigma\right)$ e $Q(-x)=1-Q(x)$; quindi $P[w<k]=1-Q\left(\frac k\sigma\right)$;
• limiti: $Q(x)\le\frac12e^{-x^2/2}$ (per $x\ge0$) e, per $x$ grande, $Q(x)\approx\frac1{x\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ (a $x=3$: valore vero $1{,}35\cdot10^{-3}$, approssimazione $1{,}48\cdot10^{-3}$). La $Q$ cala velocissimo, come un esponenziale del quadrato: per questo basta un piccolo aumento di SNR per cambiare di molti ordini di grandezza la probabilità d'errore.

(Valori confrontati con la tabella della funzione $Q$ del testo del corso.) Nei problemi si usa spesso la funzione inversa: dato il $P$ richiesto si cerca $x$ con $Q(x)=P$:

2. Modulazione binaria: costellazione, correlazione e distanza

Con $M=2$ segnali $s_1(t),s_2(t)$ (energie $E_1,E_2$) la costellazione si trova con Gram-Schmidt (Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →) a partire da $s_1$: $$\varphi_1=\frac{s_1}{\sqrt{E_1}},\qquad c=\langle s_2,\varphi_1\rangle,\qquad\varphi_2=\frac{s_2-c\,\varphi_1}{\sqrt{E_2-|c|^2}},\qquad\mathbf s_1=\left(\sqrt{E_1},0\right),\ \mathbf s_2=\left(c,\sqrt{E_2-|c|^2}\right).$$ Si definisce il coefficiente di correlazione $$\boxed{\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}\in[-1,1]}$$ (per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, $|\langle s_1,s_2\rangle|\le\sqrt{E_1E_2}$). Poiché $c=\langle s_2,\varphi_1\rangle=\frac{\langle s_2,s_1\rangle}{\sqrt{E_1}}=\rho\sqrt{E_2}$, i due vettori sono $$\mathbf s_1=\left(\sqrt{E_1},0\right),\qquad\mathbf s_2=\left(\rho\sqrt{E_2},\ \sqrt{E_2}\sqrt{1-\rho^2}\right)=\sqrt{E_2}\,(\cos\theta,\sin\theta),\quad\rho=\cos\theta .$$ Con segnali reali $\rho=\cos\theta$ con $\theta$ l'angolo tra $\mathbf s_1$ e $\mathbf s_2$. La distanza si ottiene con il teorema del coseno (che è anche $\lVert s_1-s_2\rVert^2=E_1+E_2-2\langle s_1,s_2\rangle$): $$\boxed{d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}}\ \xrightarrow{\ E_1=E_2=E_s\ }\ d_{12}=\sqrt{2E_s(1-\rho)} .$$ A parità di energia, la distanza massima si ha per $\rho=-1$ (segnali opposti).

Se i due segnali hanno la stessa energia $E_s$ la costellazione ha la forma determinata dall'angolo $\theta$:

3. Probabilità d'errore binaria

Con canale AWGN e simboli equiprobabili ($p_1=p_2=\frac12$) il criterio MD è ottimo, e le regioni sono i due semipiani separati dall'asse del segmento. La probabilità di decisione corretta è (formula di Bayes e regioni a minima distanza): $$P[C]=p_1\,P\left[\mathbf r\in\mathcal R_1\mid a_0=1\right]+p_2\,P\left[\mathbf r\in\mathcal R_2\mid a_0=2\right].$$ Si calcola la prima probabilità (la seconda è identica per simmetria). Se $a_0=1$, $\mathbf r=\mathbf s_1+\mathbf w$ e la condizione di decisione corretta è che $\mathbf r$ sia più vicino a $\mathbf s_1$ che a $\mathbf s_2$: $$\lVert\mathbf r-\mathbf s_1\rVert<\lVert\mathbf r-\mathbf s_2\rVert\ \Longleftrightarrow\ \lVert\mathbf w\rVert^2<\lVert\mathbf w+\mathbf s_1-\mathbf s_2\rVert^2=\lVert\mathbf w\rVert^2+\lVert\mathbf s_2-\mathbf s_1\rVert^2-2\langle\mathbf w,\mathbf s_2-\mathbf s_1\rangle .$$ Si semplifica $\lVert\mathbf w\rVert^2$ da entrambi i lati e si divide per $2$: $$\langle\mathbf w,\mathbf s_2-\mathbf s_1\rangle<\frac12\lVert\mathbf s_2-\mathbf s_1\rVert^2=\frac{d_{12}^2}2 .$$ Il membro di sinistra è $$w_0=\langle\mathbf w,\boldsymbol\alpha\rangle=w_1\alpha_1+w_2\alpha_2,\qquad\boldsymbol\alpha=\mathbf s_2-\mathbf s_1,$$ cioè una combinazione lineare di gaussiane indipendenti a media nulla: è a sua volta gaussiana, a media nulla, con varianza $$E\left[w_0^2\right]=\sigma_I^2\left(\alpha_1^2+\alpha_2^2\right)=\sigma_I^2\,d_{12}^2,\qquad\sigma_I^2=\frac{N_0}2$$ (i termini misti $E[w_1w_2]$ sono nulli per l'indipendenza). Quindi la probabilità cercata è la probabilità che $w_0$ non superi $\frac{d_{12}^2}2$; il suo complemento è una coda gaussiana: $$P\left[w_0>\frac{d_{12}^2}2\right]=Q\left(\frac{d_{12}^2/2}{\sigma_Id_{12}}\right)=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right),\qquad P\left[\mathbf r\in\mathcal R_1\mid a_0=1\right]=1-Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right).$$ Per simmetria vale lo stesso per la seconda. Allora $P[C]=(p_1+p_2)\left[1-Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)\right]$ e, passando all'errore:

Formula (probabilità d'errore, modulazione binaria). $$\boxed{P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)\overset{\sigma_I^2=N_0/2}{=}Q\left(\sqrt{\frac{E_s\,(1-\rho)}{N_0}}\right)}\qquad(E_1=E_2=E_s)$$ Con due soli simboli ogni errore è un errore su un bit: $P_{bit}=P[E]$ (il canale numerico equivalente è un canale binario simmetrico, Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit →).

L'ultima forma si ricava con $d_{12}=\sqrt{2E_s(1-\rho)}$ e $\sigma_I=\sqrt{N_0/2}$: $\frac{d_{12}}{2\sigma_I}=\frac{\sqrt{2E_s(1-\rho)}}{2\sqrt{N_0/2}}=\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}$.

Interpretazione geometrica. Si poteva arrivare allo stesso risultato ruotando e traslando le coordinate in modo che il segmento $\mathbf s_1\mathbf s_2$ sia parallelo a un asse: l'errore dipende solo dalla coordinata lungo la congiungente (la componente di rumore ortogonale non cambia la decisione) e si sbaglia se quella componente supera la mezza distanza $\frac{d_{12}}2$, con probabilità $Q\left(\frac{d_{12}/2}{\sigma_I}\right)$. La probabilità non può dipendere dalle coordinate scelte.

Significato fisico. $P[E]$ cala se aumenta $d_{12}$ (la $Q$ è decrescente), cioè se si abbassa $\rho$ o si aumenta $E_s$. Il rapporto $\frac{E_s}{N_0}$ è adimensionale ed è collegato all'SNR: con $E_s=M_{rc}\,T$ ($M_{rc}$ potenza statistica ricevuta, $T$ tempo di simbolo) e $N_0=\frac{M_w}B$, $$\frac{E_s}{N_0}=\frac{M_{rc}}{M_w}\,T\,B=\text{SNR}\cdot T\,B .$$ La banda del segnale è inversamente proporzionale a $T$, quindi il prodotto $TB$ è una costante che dipende solo dalla modulazione: fissata la modulazione, le prestazioni dipendono solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR (Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →). Più SNR $\Rightarrow$ più $\frac{E_s}{N_0}\Rightarrow$ meno errori.

I tre casi notevoli

L'antipodale è la migliore a parità di energia (guadagna 3 dB su $\frac{E_s}{N_0}$ rispetto all'ortogonale) ma non sempre è realizzabile. Per confrontare le due modulazioni si traccia $P_{bit}$ in funzione di $\frac{E_s}{N_0}$ (in dB): vince la curva più in basso.

Valori. A $\frac{E_s}{N_0}=10$ dB ($=10$ in lineare): antipodale $Q(\sqrt{20})=Q(4{,}47)=3{,}9\cdot10^{-6}$; ortogonale $Q(\sqrt{10})=Q(3{,}16)=7{,}8\cdot10^{-4}$. Per ottenere una $P_{bit}$ data servono $\frac{E_s}{N_0}=\frac{(Q^{-1})^2}2$ (antipodale) o $(Q^{-1})^2$ (ortogonale):

Esempio. Si vuole $P_{bit}=10^{-6}$ con BPSK: $\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}=Q^{-1}(10^{-6})=4{,}753\Rightarrow\frac{2E_s}{N_0}=22{,}6\Rightarrow\frac{E_s}{N_0}=11{,}3=10{,}5$ dB.

Un esempio: OOK (on-off keying)

Si trasmette "niente" oppure un impulso: $s_1(t)=0$, $s_2(t)=A$ per $0\le t<T$. Energie: $E_1=0$, $E_2=A^2T$. La base è unidimensionale, $\varphi_1=\frac{s_2}{\sqrt{E_2}}$, e $\mathbf s_1=0$, $\mathbf s_2=A\sqrt T$, con $d_{12}=A\sqrt T=\sqrt{E_2}$. Le regioni (MD, equiprobabili) sono separate dalla soglia $\frac{A\sqrt T}2$ e $$P[E]=P_{bit}=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\frac{A\sqrt T}{2\sigma_I}\right).$$ L'energia media è $E_s=\frac12\cdot0+\frac12E_2=\frac{A^2T}2$, quindi $E_2=2E_s$ e $P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{2\sigma_I^2}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: si comporta come la modulazione ortogonale, peggiore di $3$ dB dell'antipodale a pari energia media. Si può anche vedere così: la 2-OOK ha lo stesso $d_{12}$ di una ortogonale ($\sqrt{2E_s}$, con $E_s=\frac{E_2}2$) (Esercizio - modulazione OOK, ricevitore ottimo e confronto con l'antipodale).

4. Modulazioni $M$-arie: eventi di errore e union bound

Con $M>2$ segnali la probabilità d'errore esatta richiede di integrare la gaussiana sulle regioni di decisione (poligoni, difficile a mano: solo con integrazione numerica). Si cercano limiti facili da calcolare. Si definisce l'evento di errore a coppie $\mathcal E_{jk}$ (per $j\ne k$): "è stato trasmesso $\mathbf s_k$ ma il vettore ricevuto $\mathbf r$ è più vicino a $\mathbf s_j$ che a $\mathbf s_k$", ovvero (con MD) un errore di decisione. Isolando le due ipotesi si ricade nel caso binario, e quindi $$P\left[\mathcal E_{jk}\right]=Q\left(\frac{d_{jk}}{2\sigma_I}\right).$$ Gli eventi $\mathcal E_{jk}$ non sono disgiunti: partendo da $\mathbf s_k$ possono verificarsi insieme più eventi (per esempio $\mathcal E_{2k}$ ed $\mathcal E_{5k}$ se il rumore porta $\mathbf r$ in una zona più vicina sia a $\mathbf s_2$ che a $\mathbf s_5$). Inoltre $\mathcal E_{jk}$ non implica che si finisca nella regione $\mathcal R_j$: significa solo che non si è più in $\mathcal R_k$. Il trucco funziona perché ogni $\mathcal E_{jk}$ si riconduce al caso binario.

L'errore complessivo è l'unione di tutti gli eventi $\mathcal E_{jk}$, $j\ne k$: $$P[E]=\sum_kp_k\,P\left[\mathbf r\notin\mathcal R_k\mid a_0=k\right]=\sum_kp_k\,P\left[\bigcup_{j\ne k}\mathcal E_{jk}\right].$$

Upper bound (union bound). La probabilità di un'unione è al più la somma delle probabilità, $P\left[\bigcup_iA_i\right]\le\sum_iP[A_i]$ (nei diagrammi di Venn, le aree sovrapposte sarebbero contate due volte): $$P[E]\le\sum_kp_k\sum_{j\ne k}Q\left(\frac{d_{jk}}{2\sigma_I}\right).$$ Per simboli equiprobabili ($p_k=\frac1M$) e poiché $Q$ è decrescente e $d_{jk}\ge d_{min}=\min_{j\ne k}d_{jk}$ (distanza minima della costellazione): $$P[E]\le\frac1M\sum_{k=1}^M\sum_{j\ne k}Q\left(\frac{d_{jk}}{2\sigma_I}\right)\le\frac1M\,M(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)=(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right).$$ Lower bound. L'unione contiene ciascuno dei suoi eventi, quindi $P\left[\bigcup_j\mathcal E_{jk}\right]\ge P\left[\mathcal E_{j^*k}\right]$ per un $j^*$ qualunque, e il limite più stretto si ha scegliendo il simbolo più vicino (confondere un simbolo con il suo vicino più prossimo è molto più facile che con uno lontano). Con $d_k^*=\min_{j\ne k}d_{jk}$: $$P[E]\ge\frac1M\sum_kQ\left(\frac{d_k^*}{2\sigma_I}\right)\ge\frac{N^*}M\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right),$$ dove $N^*$ è il numero di simboli che hanno almeno un vicino a distanza $d_{min}$. Attenzione a non usare $d_{min}$ al posto di $d_k^*$ nel primo passaggio senza $N^*$: il limite sarebbe lasco.

Union bound. $$\boxed{\frac{N^*}M\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)}$$

Pro e contro. Pro: espressioni semplici con pochi parametri ($M$, $d_{min}$, $\sigma_I$). Contro: è un limite, non si sa a priori quanto sia stretto. Però il limite superiore è in genere molto vicino al valore vero a SNR alto, perché l'intersezione di due eventi di errore è dell'ordine di $Q^2$ (per esempio $P[\mathcal E_{jk}\cap\mathcal E_{lk}]\approx Q^2$, trascurabile rispetto a $Q$), quindi si può usare la stima $$P[E]\approx\overline N_{min}\,Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$$ con $\overline N_{min}$ il numero medio di vicini a distanza minima per simbolo (nella costellazione). Questa è tipicamente la formula più utile negli esercizi (Esercizio - cinque segnali, union bound e probabilità d'errore approssimata).

Conseguenza progettuale: a parità di energia conviene una costellazione ben spaziata (grande $d_{min}$) a una con punti addensati; ma allontanare i punti costa energia.

Modulazione ortogonale $M$-aria

$M$ segnali di uguale energia $E_s$ e ortogonali a due a due: $\langle s_j,s_k\rangle=0$. La base è immediata, $\varphi_j=\frac{s_j}{\sqrt{E_s}}$, con dimensione $I=M$, e i punti stanno sugli assi a distanza $\sqrt{E_s}$ dall'origine. Tutte le coppie sono a distanza $d_{jk}=\sqrt{2E_s}=d_{min}$, quindi $N^*=M$ e (con $\frac{d_{min}}{2\sigma_I}=\sqrt{\frac{2E_s}{4N_0/2}}=\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}$): $$Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)\le P[E]\le(M-1)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right).$$ Il limite superiore è quello stretto (a SNR alto sono quasi uguali) mentre l'inferiore è lasco: con le coppie tutte equidistanti, ogni simbolo ha $M-1$ vicini e quindi $P[E]\approx(M-1)Q$. Per $M=4$ e $\frac{E_s}{N_0}=10$ dB: $7{,}8\cdot10^{-4}\le P[E]\le2{,}3\cdot10^{-3}$, e il valore esatto, ottenuto per integrazione numerica, è $2{,}24\cdot10^{-3}$, molto vicino al limite superiore. Al crescere di $M$ la curva di $P[E]$ in funzione di $\frac{E_s}{N_0}$ si alza (a parità di energia, più segnali sono più difficili da distinguere).

Modulazione biortogonale $M$-aria

Si vorrebbe generalizzare l'antipodalità ma invertire il segno funziona "una volta sola": ogni segnale ha un opposto e gli altri $M-2$ sono ortogonali ad esso. In totale $\frac M2$ segnali ortogonali più i loro opposti; la dimensione è $I=\frac M2$. A parità di $E_s$: $d_{min}=\sqrt{2E_s}$ (tra segnali ortogonali), ma ora non tutte le coppie sono a distanza $d_{min}$: un solo punto (l'opposto) è più lontano, a $2\sqrt{E_s}$. Limite più furbo: $$Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)\le P[E]\le(M-2)\,Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)+Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right),$$ e per SNR sufficientemente alto si può trascurare l'ultimo termine, perché la $Q$ è rapidamente decrescente. Esempio con $M=8$ e $\frac{E_s}{N_0}=10$ dB: $P[E]\le6\cdot7{,}8\cdot10^{-4}+3{,}9\cdot10^{-6}=4{,}7\cdot10^{-3}$.

Queste modulazioni funzionano bene a SNR bassi ma la banda cresce con $M$ (più sinusoidi ortogonali occupano più spettro): Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →. Le probabilità di bit, per i casi $M$-ari, si ricavano con la distanza di Hamming (Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit →); le formule di PAM, QAM e PSK sono in Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →.

Errori comuni

• Dimenticare di dividere per $2$: $P[E]=Q\left(\frac{d}{2\sigma_I}\right)$, non $Q\left(\frac d{\sigma_I}\right)$ (la soglia è a metà strada).
• Usare $\sigma_I=\sqrt{N_0/2}$ al posto di $\sigma_I^2$ (o $N_0$ al posto di $N_0/2$) quando si converte in $\frac{E_s}{N_0}$: si sbaglia di un fattore $\sqrt2$ o $2$.
• Confrontare modulazioni a pari energia di picco invece che di energia media $E_s$ (l'OOK ha $E_s=\frac{E_2}2$).
• Dire che l'antipodale ha sempre $\rho=-1$ con $E_1\ne E_2$: antipodale significa $s_2=-s_1$ (stessa energia).
• Sommare le aree degli eventi di errore e presentarlo come errore esatto: è solo l'upper bound.
• Usare $M$ al posto di $M-1$ nell'union bound, oppure $d_{min}$ al posto di $d_k^*$ senza il fattore $N^*$ nel lower bound.