Lezione 13Esercizi di modulazione digitale (scheda 4)

Fonte: appunti a mano tlc_13 e scheda di esercizi n. 4 (e_qurak), corso Telecommunications, UniPD.

Argomenti trattati

La lezione risolve i quattro esercizi della scheda sulla modulazione digitale:

1. Base e costellazione di due segnali rettangolari ($s_1=\sqrt{E_s/T}$ su $[0,T]$, $s_2=\sqrt{2E_s/T}$ su $[0,\frac T2]$): energia uguale $E_s$, Gram-Schmidt a partire da $s_1$ ($\varphi_1=\frac1{\sqrt T}$, coordinata $c=\sqrt{E_s/2}$, parte ortogonale con energia $\frac{E_s}2$, $\varphi_2$ onda quadra), dimensione $2$, $\rho=\frac{\sqrt2}2$ ($\theta=45^\circ$), vettori $(\sqrt{E_s},0)$ e $\left(\sqrt{E_s/2},\sqrt{E_s/2}\right)$.
2. Diagnosi con distribuzioni di Poisson (sani $\lambda_h=3{,}8$, malati $\lambda_s=18{,}5$, $1\%$ di malati; pazienti con $10$ e $12$ linfociti): MD (distanza dalle medie), ML (verosimiglianze) e MAP (con le a priori $0{,}99$ e $0{,}01$): MAP $\ne$ ML perché gli a priori non sono uguali, ML $\ne$ MD perché il rumore non è AWGN.
3. OOK ($s_1=0$, $s_2=A$, esercizio $5.8$ del libro): $I=1$, ricevitore con filtro adattato e soglia in $\frac{A\sqrt T}2$; $E_s=\frac{A^2T}2$ media, $P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$, come l'ortogonale, $3$ dB peggio dell'antipodale.
4. Modulazione ottonaria con otto forme d'onda sinusoidali ($A=40$ V, $T=2\ \mu$s, $f_0=400$ MHz, $f_1=2f_0$): ortogonalità di costante, $\cos$, $\sin$ e di una seconda frequenza ($f_0T$ intero, "sinusoidi a frequenze diverse sono ortogonali"), base di dimensione $4$ senza Gram-Schmidt, coordinate di ciascun segnale ($s_3=-2s_1$, $s_8=s_1+s_7$, ...), distanza minima ($s_1,s_8$), energia media $2A^2T$, bit-rate $\frac{\log_28}T=1{,}5$ Mbit/s.

Teoria

• Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →
• Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →
• Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →

Esercizi

• Esercizio - segnali rettangolari, base di Gram-Schmidt e coefficiente di correlazione — esercizio 1
• Esercizio - diagnosi con MAP, ML e minima distanza — esercizio 2
• Esercizio - modulazione OOK, ricevitore ottimo e confronto con l'antipodale — esercizio 3
• Esercizio - otto segnali sinusoidali, base ortonormale, distanza minima e bit rate — esercizio 4

Lezione precedente: Lezione 12 · PAM, QAM, PSK, efficienza spettrale e PCM · Lezione successiva: Lezione 14 · Esercizi di modulazione digitale (scheda 5)