Esercizio - otto segnali sinusoidali, base ortonormale, distanza minima e bit rate

Testo (scheda di esercizi n. 4, modulazione digitale, esercizio 4). Si considerino le seguenti forme d'onda, usate da una modulazione digitale ottonaria per trasmettere un flusso di bit equiprobabili e indipendenti: $s_1(t)=A$, $s_2(t)=A\cos(2\pi f_0t)$, $s_3(t)=-2A$, $s_4(t)=2A\left[1-\cos(2\pi f_0t)\right]$, $s_5(t)=A\sin(2\pi f_0t)$, $s_6(t)=-2A\cos\left(2\pi f_0t+\frac\pi6\right)$, $s_7(t)=A\cos(2\pi f_1t)$, $s_8(t)=2A\cos^2(2\pi f_0t)$, tutte limitate in durata a $[0,T]$, con $A=40$ V, $T=2\ \mu$s, $f_0=400$ MHz e $f_1=2f_0$. a) Rappresentare i segnali in un'opportuna base ortonormale; b) calcolare la distanza minima e l'energia media trasmessa; c) trovare il bit-rate trasmesso implicato da questa modulazione.

Teoria usata: Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →, Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →.

a) Base ortonormale

Ortogonalità tra le sinusoidi. Con $f_0T=400\cdot10^6\cdot2\cdot10^{-6}=800$ (intero) e $f_1T=1600$, tutti gli integrali su $[0,T]$ di una sinusoide a frequenza intera multipla di $\frac1T$ valgono esattamente $0$, e anche $f_0\gg\frac1T$ basterebbe per l'approssimazione. Quindi $1$, $\cos(2\pi f_0t)$, $\sin(2\pi f_0t)$ e $\cos(2\pi f_1t)$ sono a due a due ortogonali (costante contro sinusoide: l'integrale di una sinusoide su un numero intero di periodi è $0$; seno contro coseno alla stessa frequenza: $\int\sin\cos=\frac12\int\sin(4\pi f_0t)=0$; frequenze diverse: $\int\cos(2\pi f_0t)\cos(2\pi f_1t)=\frac12\int\left[\cos(2\pi3f_0t)+\cos(2\pi f_0t)\right]=0$).

I segnali sono combinazioni lineari di queste quattro funzioni (per esempio $s_3=-2s_1$, $s_8=2A\cos^2(2\pi f_0t)=A\left[1+\cos(2\pi f_1t)\right]=s_1+s_7$, perché $2\cos^2x=1+\cos2x$), quindi la dimensione è $I=4$ e la base ortonormale, senza bisogno di Gram-Schmidt (Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^*,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}_{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]_i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →), è $$\varphi_1=\frac1{\sqrt T},\quad\varphi_2=\sqrt{\frac2T}\cos(2\pi f_0t),\quad\varphi_3=\sqrt{\frac2T}\sin(2\pi f_0t),\quad\varphi_4=\sqrt{\frac2T}\cos(2\pi f_1t)\qquad(0\le t\le T).$$ (Normalizzazione: $\int_0^T\frac1T=1$ e $\int_0^T\frac2T\cos^2=\frac2T\cdot\frac T2=1$.) Con $A\sqrt T=40\cdot\sqrt{2\cdot10^{-6}}=0{,}0566$ V$\sqrt{\text{s}}$ e $A\sqrt{T/2}=40\cdot10^{-3}=0{,}04$ V$\sqrt{\text{s}}$ le coordinate $\langle s_j,\varphi_i\rangle$ sono:

Le righe particolari: per $s_4$, $2A=2\,s_1$ (coordinata $2A\sqrt T$ su $\varphi_1$) e $-2A\cos=-2\,s_2$ (coordinata $-2A\sqrt{T/2}=-A\sqrt{2T}$ su $\varphi_2$). Per $s_6$ si sviluppa il coseno della somma: $-2A\cos\left(2\pi f_0t+\frac\pi6\right)=-2A\left[\cos\frac\pi6\cos(2\pi f_0t)-\sin\frac\pi6\sin(2\pi f_0t)\right]=-\sqrt3A\cos(2\pi f_0t)+A\sin(2\pi f_0t)=-\sqrt3\,s_2+s_5$, con coordinate $-\sqrt3A\sqrt{T/2}=-A\sqrt{3T/2}$ e $A\sqrt{T/2}$. (Tutte le coordinate sono state verificate con un'integrazione numerica.)

b) Distanza minima ed energia media

Distanza minima. Con $I=4$ dimensioni conviene cercare le coppie più vicine guardando le coordinate (in unità $A\sqrt{T/2}=0{,}04$: $s_1=(\sqrt2,0,0,0)$, $s_2=(0,1,0,0)$, $s_3=(-2\sqrt2,0,0,0)$, $s_4=(2\sqrt2,-2,0,0)$, $s_5=(0,0,1,0)$, $s_6=(0,-\sqrt3,1,0)$, $s_7=(0,0,0,1)$, $s_8=(\sqrt2,0,0,1)$). La coppia più vicina è $\{s_1,s_8\}$: $\mathbf s_8-\mathbf s_1=(0,0,0,A\sqrt{T/2})$, cioè $$d_{min}=\lVert s_7\rVert=A\sqrt{\frac T2}=\boxed{0{,}04\ \text{V}\sqrt{\text{s}}}.$$ Le altre distanze sono più grandi: per esempio $d_{2,5}=d_{2,7}=d_{5,7}=d_{7,8}=A\sqrt T=0{,}0566$ (segnali ortogonali tra loro con energia $\frac{A^2T}2$: $d=\sqrt{\frac{A^2T}2+\frac{A^2T}2}$) e $d_{1,2}=A\sqrt{\frac{3T}2}=0{,}0693$. Si conferma anche numericamente (matrice di tutte le distanze) che $0{,}04$ è il minimo, ottenuto solo per la coppia $(s_1,s_8)$.

Energia media (simboli equiprobabili: $E_s=\frac18\sum_jE_j$): $$E_s=\frac{A^2T}8\left(1+\tfrac12+4+6+\tfrac12+2+\tfrac12+\tfrac32\right)=\frac{A^2T}8\cdot16=2A^2T=2\cdot1600\cdot2\cdot10^{-6}=\boxed{6{,}4\cdot10^{-3}\ \text{V}^2\text{s}}.$$

c) Bit-rate

Gli $M=8$ simboli sono equiprobabili e indipendenti, quindi ogni simbolo porta $\log_28=3$ bit e dura $T=2\ \mu$s: $$R_b=\frac{\log_2M}T=\frac3{2\cdot10^{-6}}=\boxed{1{,}5\ \text{Mbit/s}}.$$

Osservazioni

• Per stimare la probabilità d'errore con questo $d_{min}$ non si può usare la union bound $(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ senza criterio: è un limite "troppo largo" perché solo la coppia $(s_1,s_8)$ è a distanza minima. Meglio $P[E]\approx\overline N_{min}Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ con $\overline N_{min}=\frac28=\frac14$ vicini medi a $d_{min}$ (due simboli su otto, $s_1$ e $s_8$, ne hanno uno) (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →).
• Non servono le frequenze esatte: basta che $f_0\gg\frac1T$ perché le sinusoidi siano ortogonali (con $f_0T$ intero è esatto).

Errori comuni

• Dire che la dimensione è $8$ (una per segnale) o $3$: i segnali sono combinazioni di sole quattro funzioni ortogonali.
• Dimenticare che $s_8$ si scrive con $\cos^2=\frac12(1+\cos2x)$: contiene la componente alla frequenza $f_1=2f_0$.
• Prendere $A\sqrt T$ al posto di $A\sqrt{T/2}$ come coordinata di una sinusoide (la base ha il fattore $\sqrt{2/T}$).