Esercizio - sfigmomanometro digitale, bit del quantizzatore e probabilità d'errore del canale

Testo (scheda di esercizi n. 5, modulazione digitale, esercizio 4). Uno sfigmomanometro digitale misura valori quantizzati uniformemente, con fattore di carico $\frac{v_{sat}}\sigma=6$. Il collegamento tra il quantizzatore e il display è caratterizzato come un canale binario simmetrico con probabilità d'errore sul bit $P_{bit}$. Trovare quanti bit bisogna usare nel quantizzatore perché l'SNR complessivo del segnale PCM sul display sia almeno $60$ dB, nei casi in cui $P_{bit}$ vale: a) $10^{-8}$; b) $2\cdot10^{-8}$; c) $10^{-9}$; d) $10^{-7}$.

Teoria usata: Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM)Un segnale analogico trasmesso in forma digitale (PCM: campionamento, quantizzazione, codifica binaria) subisce due errori incorrelati: quello di quantizzazione, $M_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12}$, e quello dovuto agli errori sui bit del canale. Con un canale binario simmetrico senza memoria e codice binario naturale, il bit di peso $2^j\Delta$ sbagliato produce un errore $\pm2^j\Delta$ e $M_{e_{ch}}=\Delta^2P_{bit}\frac{4^b-1}3$. L'SNR complessivo, in scala lineare, è $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}\left(4^b-1\right)}$: finché $P_{bit}\ll\frac1{4\cdot4^b}$ vale la sola quantizzazione ($6$ dB per bit), oltre domina il canale e aggiungere bit non serve. Da $\Lambda_{PCM}$ richiesto si ricava la $P_{bit}$ massima e il numero di bit.Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM) →, Quantizzazione e rumore di quantizzazioneIl quantizzatore mappa ogni campione reale su uno dei $L=2^b$ livelli. Il quantizzatore uniforme mid-riser ha passo $\Delta=\frac{2v_{sat}}{L}$, soglie multiple di $\Delta$ e livelli multipli dispari di $\frac\Delta2$. L'errore $e_q=a_q-a$ è granulare (in $[-\frac\Delta2,\frac\Delta2]$, circa uniforme, potenza $\frac{\Delta^2}{12}$) o di saturazione (fuori da $[-v_{sat},v_{sat}]$, trascurabile se $P_{sat}$ è piccola). L'SNR è $\Lambda_q=\frac{M_a}{M_{e_q}}$ e, con saturazione trascurabile, $[\Lambda_q]{dB}=6{,}02,b+4{,}77-20\log{10}\frac{v_{sat}}{\sigma_a}$: $+6$ dB per ogni bit.Quantizzazione e rumore di quantizzazione →, Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit →.

Impostazione

Il testo non dà la probabilità di saturazione: con un fattore di carico $\frac{v_{sat}}\sigma=6$ si assume $P_{sat}\approx0$ (praticamente nessun campione oltre $6\sigma$ per un segnale tipico: $2Q(6)\approx2\cdot10^{-9}$ se gaussiano). Allora l'errore di quantizzazione è solo granulare, $M_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12}$, con $\Delta=\frac{v_{sat}}{2^{b-1}}$: $$\Lambda_q=\frac{\sigma^2}{\Delta^2/12}=\frac{12\sigma^2\,2^{2b-2}}{v_{sat}^2}=\frac{3\cdot4^b}{(v_{sat}/\sigma)^2}=\frac{4^b}{12}\qquad\left(\Lambda_{q,dB}=6{,}02\,b+4{,}77-20\log_{10}6=6{,}02\,b-10{,}8\right).$$ Con gli errori del canale, la formula della PCM è in scala lineare (Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM)Un segnale analogico trasmesso in forma digitale (PCM: campionamento, quantizzazione, codifica binaria) subisce due errori incorrelati: quello di quantizzazione, $M_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12}$, e quello dovuto agli errori sui bit del canale. Con un canale binario simmetrico senza memoria e codice binario naturale, il bit di peso $2^j\Delta$ sbagliato produce un errore $\pm2^j\Delta$ e $M_{e_{ch}}=\Delta^2P_{bit}\frac{4^b-1}3$. L'SNR complessivo, in scala lineare, è $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}\left(4^b-1\right)}$: finché $P_{bit}\ll\frac1{4\cdot4^b}$ vale la sola quantizzazione ($6$ dB per bit), oltre domina il canale e aggiungere bit non serve. Da $\Lambda_{PCM}$ richiesto si ricava la $P_{bit}$ massima e il numero di bit.Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM) →): $$\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}\left(4^b-1\right)}\ \ge\ 60\ \text{dB}=10^6 .$$ Sostituendo $\Lambda_q=\frac{4^b}{12}$ e chiamando $L=4^b$ (così $M=2^{2b}$): $$10^6\left[1+4P_{bit}(L-1)\right]\le\frac L{12}\ \Longleftrightarrow\ L\left(\frac1{12}-4\cdot10^6P_{bit}\right)\ge10^6\left(1-4P_{bit}\right).$$ La disequazione si risolve per $L=4^b$, e poi $b=\left\lceil\frac{\log_2L}2\right\rceil$. Si noti che si può risolvere solo se il termine tra parentesi è positivo: $\frac1{12}>4\cdot10^6P_{bit}$, cioè $P_{bit}<\frac1{48\cdot10^6}=2{,}08\cdot10^{-8}$. È il limite dell'effetto soglia: $\Lambda_{PCM}\to\frac1{48P_{bit}}$ per $b\to\infty$.

Soluzione per i quattro casi

a) $P_{bit}=10^{-8}$. $4P_{bit}=4\cdot10^{-8}$: $L\left(\frac1{12}-4\cdot10^{-2}\right)=0{,}0433\,L\ge10^6\left(1-4\cdot10^{-8}\right)\approx10^6\Rightarrow L\ge2{,}31\cdot10^7$, $4^b\ge2{,}31\cdot10^7\Rightarrow b\ge\frac{\log_2(2{,}31\cdot10^7)}2=\frac{24{,}5}2=12{,}2$: serve $b=13$ bit. Verifica: $b=13$: $\Lambda_q=\frac{4^{13}}{12}=5{,}59\cdot10^6$, denominatore $1+4\cdot10^{-8}(6{,}7\cdot10^7)=3{,}68$, $\Lambda_{PCM}=1{,}52\cdot10^6=61{,}8$ dB ✓ (con $b=12$ sarebbe $59{,}2$ dB: non basta).

b) $P_{bit}=2\cdot10^{-8}$. $4P_{bit}=8\cdot10^{-8}$: $L\left(\frac1{12}-8\cdot10^{-2}\right)=0{,}00333\,L\ge10^6\Rightarrow L\ge3{,}0\cdot10^8\Rightarrow b\ge\frac{\log_2(3{,}0\cdot10^8)}2=\frac{28{,}2}2=14{,}1$: $b=15$. Verifica: $b=15$: $\Lambda_q=8{,}95\cdot10^7$, denominatore $1+8\cdot10^{-8}(1{,}07\cdot10^9)=86{,}9$, $\Lambda_{PCM}=1{,}03\cdot10^6=60{,}13$ dB ✓; con $b=14$: $59{,}98$ dB, appena sotto.

c) $P_{bit}=10^{-9}$. Il canale è quasi ideale: $4P_{bit}=4\cdot10^{-9}$ e $L\left(\frac1{12}-4\cdot10^{-3}\right)=0{,}0793\,L\ge10^6\Rightarrow L\ge1{,}26\cdot10^7\Rightarrow b\ge11{,}8$: $b=12$ (lo stesso che serve senza errori di canale: $6{,}02\,b-10{,}8\ge60\Rightarrow b\ge11{,}8\to12$). Verifica $b=12$: $\Lambda_q=1{,}40\cdot10^6$, denominatore $1+4\cdot10^{-9}(1{,}68\cdot10^7)=1{,}067$, $\Lambda_{PCM}=61{,}2$ dB ✓.

d) $P_{bit}=10^{-7}$. $4\cdot10^6P_{bit}=0{,}4>\frac1{12}$: il termine tra parentesi è negativo e nessun $b$ basta. Anche con infiniti bit, $\Lambda_{PCM}\to\frac1{48P_{bit}}=2{,}08\cdot10^5=53{,}2$ dB $<60$ dB. È il fenomeno della soglia: oltre un certo numero di bit gli errori sul canale dominano, e il bit più significativo sbagliato vanifica la precisione dei bit bassi.

Osservazioni

• Anche quando $P_{bit}=0$ servono $b=12$ bit (non meno): il vincolo "$6{,}02\,b\ge70{,}8$" è il limite dato dalla sola quantizzazione.
• Aumentare $b$ oltre una certa soglia non migliora l'SNR: se $P_{bit}$ è troppo grande bisogna ridurre l'errore sul bit (più potenza, un codice di canale: Codici a blocco lineari e sindromeUn codice a blocco è lineare se la somma (XOR) di due parole di codice è una parola di codice: allora le parole formano un sottospazio di $\mathbb Z_2^n$. Si descrive con la matrice generatrice $G$ ($n\times k$, $\mathbf c=G\mathbf b$; in forma sistematica $G=\binom{I_k}{A}$) e con la matrice di controllo $H$ ($(n-k)\times n$, $H\mathbf c=\mathbf 0$ se e solo se $\mathbf c\in\mathcal C$; per $G$ sistematica $H=[A\mid I_{n-k}]$). La distanza minima è il peso minimo delle parole non nulle e vale $d_{min}\le n-k+1$ (Singleton). La sindrome $\boldsymbol\sigma=H\tilde{\mathbf c}$ dipende solo dall'errore; la decodifica a distanza minima è $\hat{\mathbf c}=\tilde{\mathbf c}-\varepsilon(\boldsymbol\sigma)$, dove $\varepsilon(\boldsymbol\sigma)$ è il coset leader (vettore di peso minimo con quella sindrome).Codici a blocco lineari e sindrome →).
• Il testo non dice niente sulla distribuzione del segnale: l'assunzione $P_{sat}\approx0$ per $\frac{v_{sat}}\sigma=6$ è la scelta standard.

Errori comuni

• Usare la formula in dB (somma di dB) invece della forma lineare di $\Lambda_{PCM}$.
• Arrotondare $b$ per difetto ($12{,}2\to12$): se non basta, $b$ va arrotondato per eccesso.
• Dimenticare che il canale limita l'SNR massimo: con $P_{bit}=10^{-7}$ non si raggiungono $60$ dB con nessun numero di bit.