Esercizio - diagnosi con MAP, ML e minima distanza

Testo (scheda di esercizi n. 4, modulazione digitale, esercizio 2). Su un'isola l'$1\%$ della popolazione ha una rara malattia del sistema immunitario. Tra i sintomi, la malattia aumenta la produzione di linfociti di tipo T2 nel sangue. Un test semplice consiste nel prelevare un campione di sangue e contare quanti linfociti T2 contiene. Per un paziente sano il numero $N$ di questi linfociti in un campione (circa $50$ mm$^3$ di sangue) è una variabile aleatoria di Poisson con media $\lambda_h=3{,}8$. Per un individuo malato $N$ è ancora di Poisson, ma con media più alta $\lambda_s=18{,}5$. Due isolani fanno il test e si trovano con $10$ e $12$ linfociti T2 nel campione, rispettivamente. Qual è la deduzione secondo i criteri MAP, ML e MD? Confrontare e discutere.

Teoria usata: Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →, Distribuzione di PoissonPoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson →, Formula delle probabilità totali e formula di BayesSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →.

Impostazione

È un problema di decisione con due ipotesi, $H_h$ (sano) e $H_s$ (malato), e un'osservazione scalare $n$ (il conteggio). Le informazioni sono:

• verosimiglianze (Poisson): $x_h(n)=P[N=n\mid\text{sano}]=e^{-\lambda_h}\frac{\lambda_h^n}{n!}$ e $x_s(n)=e^{-\lambda_s}\frac{\lambda_s^n}{n!}$;
• probabilità a priori: $p_h=0{,}99$, $p_s=0{,}01$.

Calcolo delle verosimiglianze (con Python):

Criterio MD (minima distanza)

Si sceglie l'ipotesi la cui media è più vicina all'osservazione:

• paziente 1 ($n=10$): $|10-3{,}8|=6{,}2<|10-18{,}5|=8{,}5\Rightarrow$ sano;
• paziente 2 ($n=12$): $|12-3{,}8|=8{,}2>|12-18{,}5|=6{,}5\Rightarrow$ malato.

La soglia MD è nel punto medio $\frac{3{,}8+18{,}5}2=11{,}15$: da $n\ge12$ si dichiara malato.

Criterio ML (massima verosimiglianza)

Si confrontano le probabilità di osservare quel conteggio sotto le due ipotesi (le a priori sono ignorate):

• $n=10$: $x_s=1{,}195\%>x_h=0{,}387\%\Rightarrow$ malato;
• $n=12$: $x_s=3{,}10\%\gg x_h=0{,}042\%\Rightarrow$ malato.

La soglia ML è $n\ge10$: per $n=9$ si ha ancora $x_h=1{,}02\%>x_s=0{,}65\%$, mentre da $n=10$ in poi $x_s>x_h$ (e il rapporto cresce: a $n=11$ è $2{,}0\%$ contro $0{,}13\%$).

Criterio MAP (massimo a posteriori)

Si pesano le verosimiglianze con le probabilità a priori (Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →), $D_j(n)=p_j\,x_j(n)$:

Per entrambi i pazienti il MAP dichiara "sano": la malattia è così rara ($1\%$) che anche un conteggio alto è, a posteriori, più probabilmente un sano sfortunato. Le probabilità a posteriori (formula di Bayes, Formula delle probabilità totali e formula di BayesSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →) sono $$P[\text{malato}\mid n=10]=\frac{0{,}012}{0{,}383+0{,}012}=3{,}0\%,\qquad P[\text{malato}\mid n=12]=\frac{0{,}0310}{0{,}0419+0{,}0310}=42{,}5\% .$$ La soglia MAP è $n\ge13$ per dichiarare malato.

Confronto e discussione

• MAP $\ne$ ML, perché le probabilità a priori non sono uguali ($p_h\ne p_s$): con $p_h=p_s$ i due coinciderebbero.
• ML $\ne$ MD, perché il rumore non è AWGN: la verosimiglianza di Poisson non è una gaussiana centrata nella media (in particolare non è simmetrica e la varianza cresce con la media, $\lambda_s>\lambda_h$), quindi "più vicino alla media" non coincide con "più verosimile".
• Il criterio ottimo (minima probabilità d'errore) è il MAP. Tuttavia in questo problema minimizzare la probabilità di sbagliare non è l'unico obiettivo: dichiarare "sano" un malato (falso negativo) può essere molto più grave che il contrario, e allora si sceglie una soglia diversa (per esempio quella ML o più bassa).

Errori comuni

• Applicare MD senza accorgersi che il rumore non è gaussiano (Poisson).
• Dimenticare le probabilità a priori nel MAP ($0{,}99$ e $0{,}01$) e dichiarare malati entrambi i pazienti.
• Confrontare le verosimiglianze come densità di una gaussiana invece che come probabilità di Poisson.