Lezione 11Modulazione binaria, probabilità d'errore e modulazioni M-arie

Fonte: appunti a mano tlc_11 e slide TLC6-TLC7 (FSK, modulazione ortogonale $M$-aria), corso Telecommunications, UniPD.

Argomenti trattati

1. Modulazione binaria: due forme d'onda $s_1,s_2$; base con Gram-Schmidt, coordinate $c$, $\sqrt{E_2-|c|^2}$; coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ ($|\rho|\le1$ per Cauchy-Schwarz, $\rho=\cos\theta$); distanza $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\sqrt{E_1E_2}\rho}$ (teorema del coseno); energie uguali $E_s$ e $d_{12}=\sqrt{2E_s(1-\rho)}$; significato di $E_s$ (trasmessa o ricevuta, media).
2. Probabilità di decisione corretta con MD: $P[C]=p_1P[\mathbf r\in\mathcal R_1|a_0=1]+p_2P[\mathbf r\in\mathcal R_2|a_0=2]$; $w_0=\langle\mathbf w,\mathbf s_2-\mathbf s_1\rangle$ gaussiana con varianza $\sigma_I^2d_{12}^2$; funzione $Q$; $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=P_{bit}$; cambio di coordinate (la probabilità non dipende dalla base scelta).
3. Significato fisico: $P[E]=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$; antipodale ($\rho=-1$, $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$) contro ortogonale ($\rho=0$, $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$): $3$ dB; esempio della 2-PPM; curve $P_{bit}$ contro $\frac{E_s}{N_0}$.
4. Collegamento con l'SNR: $\frac{E_s}{N_0}=\frac{M_{src}}{M_w}TB$ e $BT$ costante; le prestazioni dipendono solo dall'SNR.
5. Esempi di modulazione binaria: 2-FSK (cenno); BPSK (antipodale, $s_2=-s_1$); base-band e pass-band; ricevitore a un solo filtro (rotazione degli assi) con rivelatore a soglia.
6. Modulazione $M$-aria: regioni, $P[E]=1-P[C]$; evento $\mathcal E_{jk}$ (non disgiunti); union bound $P[E]\le\sum_kp_k\sum_{j\ne k}Q\left(\frac{d_{jk}}{2\sigma_I}\right)$ e $\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$; limiti inferiori con $d_k^*$ e $N_k^*$; pro e contro; modulazione ortogonale ($d_{jk}=\sqrt{2E_s}$, $Q\le P[E]\le(M-1)Q$) e biortogonale ($M/2$ ortogonali più gli opposti, limite con $(M-2)Q+Q(\sqrt{2E_s/N_0})$).
7. Canale binario simmetrico senza memoria e canale numerico; differenza tra $P[E]$ e $P_{bit}$ (BER); $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$; distanza di Hamming e $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H}{\log_2M}$; scelta della mappa di bit.

Teoria

• Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q → — punti 1, 2, 3, 4 e 6
• Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK → — BPSK e 2-FSK (punto 5)
• Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit → — punto 7
• Ricevitore a minima distanza e filtro adattatoIl ricevitore a minima distanza ottiene $\mathbf r$ proiettando $r(t)$ sulla base, $r_j=\langle r,\varphi_j\rangle$: ogni proiezione è l'uscita, campionata in $t_0$, di un filtro con risposta impulsiva $\psi_j(t)=\varphi_j^*(t_0-t)$ (il filtro adattato). Poi calcola le distanze e sceglie il minimo (tipo I, $I$ filtri), oppure usa direttamente i segnali con $\hat a_0=\arg\max_j{\operatorname{Re}\langle r,s_j\rangle-\frac{E_j}2}$ (tipo II, $M$ filtri). Il filtro adattato massimizza l'SNR all'istante di campionamento, con valore massimo $\frac{2E}{N_0}$. Per modulazioni binarie basta un solo filtro e un rivelatore a soglia.Ricevitore a minima distanza e filtro adattato → — ricevitore a un solo filtro

Esercizi

• Esercizio - modulazione OOK, ricevitore ottimo e confronto con l'antipodale — binaria con $s_1=0$ e confronto con antipodale e ortogonale
• Esercizio - quaternaria ortogonale e biortogonale, probabilità di bit — union bound e $P_{bit}$ per le $4$-arie
• Esercizio - cinque segnali, union bound e probabilità d'errore approssimata — limiti e stima per una costellazione irregolare

Lezione precedente: Lezione 10 · Modulazione digitale, spazio dei segnali e decisione ottima · Lezione successiva: Lezione 12 · PAM, QAM, PSK, efficienza spettrale e PCM