Lezione 14Esercizi di modulazione digitale (scheda 5)

Fonte: appunti a mano tlc_14 e scheda di esercizi n. 5 (e_qusmo), corso Telecommunications, UniPD.

Argomenti trattati

La lezione risolve i quattro esercizi della scheda successiva:

1. Quaternaria ortogonale e biortogonale con impulsi rettangolari (4-PPM): $P_{tx}=11$ dBm, $a_{ch}=15$ dB, $Z=100\ \Omega$, $\frac{N_0}2=p_{w,in}|Z|$; energia ricevuta $E_s=P_{rc}TZ$ (il guadagno del ricevitore non serve), $\frac{E_s}{N_0}=13{,}6$; union bound ($Q\le P[E]\le3Q$ per l'ortogonale, $Q\le P[E]\le2Q+Q(\sqrt{2E_s/N_0})$ per la biortogonale; "il limite superiore è stretto: si trascurano gli eventi simultanei, di ordine $Q^2$"); $P_{bit}$ dalla mappa di bit: per la ortogonale tutti gli errori equiprobabili ($\frac23P[E]$), per la biortogonale una mappa che metta il simbolo più lontano alla massima distanza di Hamming ($P_{bit}\approx\frac{P[E]}2$).
2. Da 2-PAM a 8-PAM con Gray: tempo di simbolo fisso, $R_b$ triplica; $\frac{E_s}{N_0}=18$ dalla $2$-PAM; $P[E]=\frac74Q\left(\sqrt{\frac{6\cdot18}{63}}\right)=0{,}167$, $P_{bit}\approx0{,}0555$: il sistema non funziona, e il calcolo non è nemmeno attendibile perché l'approssimazione dei soli vicini richiede $P_{bit}$ piccola.
3. BPSK, $16$-QAM e $64$-QAM con $P_{bit}\le10^{-6}$: $\frac{E_s}{N_0}=\frac{E_{tx}}{a_{ch}\,kT_0F_{rc}Z_0}$, distanze con la formula di Friis ($1490$, $477$, $235$ m negli appunti; $1{,}48$ km, $473$ m, $233$ m con i valori non arrotondati), perché l'SNR coincide con $\frac{E_s}{N_0}$ solo con la banda minima ($\frac1T$, non $B=5$ MHz); nota sul valore di $B_h$ (non può essere minore di $\frac1{2T}$).
4. Sfigmomanometro digitale (PCM): $\Lambda_{PCM}\ge60$ dB con $\frac{v_{sat}}\sigma=6$, $P_{sat}\approx0$; $\Lambda_q=\frac{3\cdot4^b}{36}$; disequazione $10^6\left[1+4P_{bit}(M-1)\right]\le\frac M{12}$ con $M=2^{2b}$ per $P_{bit}=10^{-8},\,2\cdot10^{-8},\,10^{-9},\,10^{-7}$: $b=13$, $15$, $12$ e nessun $b$ per $10^{-7}$ (anche con $P_{bit}\to0$ servono almeno $12$ bit).

Teoria

• Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →
• Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit →
• Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →
• Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →
• Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM)Un segnale analogico trasmesso in forma digitale (PCM: campionamento, quantizzazione, codifica binaria) subisce due errori incorrelati: quello di quantizzazione, $M_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12}$, e quello dovuto agli errori sui bit del canale. Con un canale binario simmetrico senza memoria e codice binario naturale, il bit di peso $2^j\Delta$ sbagliato produce un errore $\pm2^j\Delta$ e $M_{e_{ch}}=\Delta^2P_{bit}\frac{4^b-1}3$. L'SNR complessivo, in scala lineare, è $\Lambda_{PCM}=\frac{\Lambda_q}{1+4P_{bit}\left(4^b-1\right)}$: finché $P_{bit}\ll\frac1{4\cdot4^b}$ vale la sola quantizzazione ($6$ dB per bit), oltre domina il canale e aggiungere bit non serve. Da $\Lambda_{PCM}$ richiesto si ricava la $P_{bit}$ massima e il numero di bit.Trasmissione digitale di segnali analogici (PCM) →

Esercizi

• Esercizio - quaternaria ortogonale e biortogonale con impulsi rettangolari — esercizio 1
• Esercizio - da 2-PAM a 8-PAM con codifica di Gray — esercizio 2
• Esercizio - trasmettitore con BPSK, 16-QAM o 64-QAM e distanze raggiungibili — esercizio 3
• Esercizio - sfigmomanometro digitale, bit del quantizzatore e probabilità d'errore del canale — esercizio 4

Lezione precedente: Lezione 13 · Esercizi di modulazione digitale (scheda 4) · Lezione successiva: Lezione 15 · Codifica di canale, distanza minima e limite di Hamming