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Note per Studenti Esercizio - 4-PAM su cavo e codice di Hamming (simulazione d'esame 2012)

Esercizio - 4-PAM su cavo e codice di Hamming (simulazione d'esame 2012)

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Testo (simulazione d'esame 2012, esercizio 3). Una sorgente binaria emette un bit ogni Tb=19,2T_b=19{,}2 ns. I bit sono raggruppati a due a due e modulati 4-PAM con impulso in banda base h(t)=A rect(t/T−1/2)h(t)=A\,\mathrm{rect}(t/T-1/2), con A=0,1A=0{,}1 mV e T=2TbT=2T_b. Poi sono trasmessi su un cavo che introduce un'attenuazione di 1010 dB e un rumore AWGN, considerato lato ricevitore. A questo scopo il ricevitore è modellato come un'antenna a temperatura ambiente, con resistenza di ingresso 100 Ω100\ \Omega seguita da una catena di dispositivi con cifra di rumore globale F=13F=13 dB.

  1. Quanto vale la densità spettrale di potenza del rumore lato ricevitore?
  2. Calcolare EsE_s, l'energia statistica media per simbolo.
  3. Quanto vale la probabilità d'errore sul bit della modulazione PAM?
  4. Indicando con PbitP_{bit} la probabilità d'errore del punto precedente, si assuma che il flusso di bit sia stato codificato con un codice di Hamming (7,4)(7,4). Qual è la probabilità d'errore residua dopo la decodifica?

Teoria usata: Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →, Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →, Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →, Codici di Hamming e CRCIl codice di Hamming $(2^h-1,,2^h-h-1)$ ha come matrice di controllo $H$ che ha per colonne tutte le sequenze non nulle di $h$ bit: colonne distinte e non nulle danno $d_{min}=3$, la sindrome di un errore singolo è la colonna corrispondente, quindi corregge 1 errore (o rivela 2) ed è un codice perfetto ($2^{n-k}=1+n$). Per $(7,4)$ e BSC: errore non rivelato $\simeq7P^3(1-P)^4$, parola sbagliata dopo correzione $\simeq\binom72P^2(1-P)^5$. Il CRC è un codice lineare ciclico usato per sola rivelazione: la parola è $m(x)x^r$ più il resto della divisione per il polinomio generatore $g(x)$ di grado $r$ (modulo 2); rivela ogni errore a burst di lunghezza $\le r$.Codici di Hamming e CRC →.

1. Rumore lato ricevitore

La sorgente del rumore è l'antenna a temperatura ambiente T0=290T_0=290 K, quindi la temperatura equivalente è Teff=T0FT_{eff}=T_0F (la sorgente è a T0T_0: Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →). Con F=13F=13 dB =101,3=19,95=10^{1{,}3}=19{,}95: N0=kT0F=1,381⋅10−23⋅290⋅19,95=7,99⋅10−20 W/Hz.N_0=kT_0F=1{,}381\cdot10^{-23}\cdot290\cdot19{,}95=7{,}99\cdot10^{-20}\ \text{W/Hz}. La densità spettrale bilatera (elettrica) è N02=4,0⋅10−20\frac{N_0}2=4{,}0\cdot10^{-20} W/Hz. In termini statistici (V2^2/Hz), con la resistenza R=100 ΩR=100\ \Omega (P=R p\mathcal P=R\,p): Pw(f)=N0stat2,N0stat=kT0F⋅R=7,99⋅10−18 V2/Hz(N0stat2=4,0⋅10−18 V2/Hz).\mathcal P_w(f)=\frac{N_0^{stat}}2,\qquad N_0^{stat}=kT_0F\cdot R=7{,}99\cdot10^{-18}\ \text{V}^2/\text{Hz}\quad\Big(\frac{N_0^{stat}}2=4{,}0\cdot10^{-18}\ \text{V}^2/\text{Hz}\Big).

2. Energia per simbolo

Il bit ogni Tb=19,2T_b=19{,}2 ns, due bit per simbolo: T=2Tb=38,4T=2T_b=38{,}4 ns. L'impulso è un rettangolo di ampiezza AA e durata TT: energia statistica Eh=A2T=(10−4)2⋅38,4⋅10−9=3,84⋅10−16E_h=A^2T=(10^{-4})^2\cdot38{,}4\cdot10^{-9}=3{,}84\cdot10^{-16} V2^2s. Nel 4-PAM i simboli sono akh(t)a_kh(t) con ak∈{±1,±3}a_k\in\{\pm1,\pm3\} equiprobabili: E[ak2]=1+9+1+94=5E[a_k^2]=\frac{1+9+1+9}4=5 (in generale M2−13=5\frac{M^2-1}3=5 per M=4M=4), quindi in trasmissione Es,tx=5Eh=1,92⋅10−15 V2s.E_{s,tx}=5E_h=1{,}92\cdot10^{-15}\ \text{V}^2\text{s}. Il cavo attenua di 1010 dB, cioè di un fattore 1010 in potenza, e il rumore è considerato lato ricevitore: l'energia in ricezione è Es=Es,tx10=1,92⋅10−16 V2s.E_s=\frac{E_{s,tx}}{10}=1{,}92\cdot10^{-16}\ \text{V}^2\text{s}. Rapporto con il rumore: EsN0stat=1,92⋅10−167,99⋅10−18=24,03\dfrac{E_s}{N_0^{stat}}=\dfrac{1{,}92\cdot10^{-16}}{7{,}99\cdot10^{-18}}=24{,}03 (13,813{,}8 dB). (Lo stesso valore si ottiene in termini elettrici: Es/R=1,92⋅10−18E_s/R=1{,}92\cdot10^{-18} J contro N0=7,99⋅10−20N_0=7{,}99\cdot10^{-20} J.)

3. Probabilità d'errore sul bit

Per la modulazione MM-PAM con M=4M=4, la distanza tra punti adiacenti è 2Eh2\sqrt{E_h} e il rumore ha varianza N02\frac{N_0}2 per dimensione. Un punto interno sbaglia se il rumore supera mezza distanza da una delle due parti, un punto esterno da una sola: in media P(E)=2(1−1M) Q(2EhN0)=2(1−1M)Q(6Es(M2−1)N0)P(E)=2\Big(1-\frac1M\Big)\,Q\Big(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\Big)=2\Big(1-\frac1M\Big)Q\Big(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\Big) (Es=M2−13EhE_s=\frac{M^2-1}3E_h). Con M=4M=4 e Es/N0=24,03E_s/N_0=24{,}03: 6⋅24,0315=9,613=3,1006,Q(3,1006)=9,66⋅10−4 ⇒ P(E)=1,5⋅9,66⋅10−4=1,449⋅10−3.\sqrt{\frac{6\cdot24{,}03}{15}}=\sqrt{9{,}613}=3{,}1006,\qquad Q(3{,}1006)=9{,}66\cdot10^{-4}\ \Rightarrow\ P(E)=1{,}5\cdot9{,}66\cdot10^{-4}=1{,}449\cdot10^{-3}. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono in un solo bit) un errore di simbolo tra vicini costa un bit su log⁡2M=2\log_2M=2: Pbit≃P(E)log⁡2M=1,449⋅10−32=7,24⋅10−4.P_{bit}\simeq\frac{P(E)}{\log_2M}=\frac{1{,}449\cdot10^{-3}}2=7{,}24\cdot10^{-4}.

4. Con il codice di Hamming (7,4)(7,4)

Il decodificatore corregge 11 errore (dmin=3d_{min}=3) e sbaglia con 22 o più. Ipotizzando che la probabilità Pbit=7,24⋅10−4P_{bit}=7{,}24\cdot10^{-4} del canale sia quella del punto precedente, la probabilità di parola sbagliata è, con la stima del corso (si trascurano ≥3\ge3 errori), P[c^≠c]≃(72)Pbit2(1−Pbit)5=21⋅5,25⋅10−7⋅0,996=1,10⋅10−5,P[\hat{\mathbf c}\ne\mathbf c]\simeq\binom72P_{bit}^2(1-P_{bit})^5=21\cdot5{,}25\cdot10^{-7}\cdot0{,}996=1{,}10\cdot10^{-5}, e la probabilità residua sul bit di informazione si ottiene moltiplicando per dminn=37\frac{d_{min}}n=\frac37 (i bit sbagliati di una parola errata sono dmin=3d_{min}=3 su 77): P[bℓ≠b^ℓ]≃37⋅1,10⋅10−5=4,7⋅10−6(≃9Pbit2=4,72⋅10−6).P[b_\ell\ne\hat b_\ell]\simeq\frac37\cdot1{,}10\cdot10^{-5}=4{,}7\cdot10^{-6}\quad(\simeq9P_{bit}^2=4{,}72\cdot10^{-6}). Il valore esatto (enumerando tutti gli errori) è 4,7⋅10−64{,}7\cdot10^{-6}: la stima è ottima. La codifica ha ridotto l'errore sul bit da 7,2⋅10−47{,}2\cdot10^{-4} a 4,7⋅10−64{,}7\cdot10^{-6}, un fattore 154154. (Si è confrontato, come fa il testo, a parità di PbitP_{bit} di canale: in un confronto a pari energia per bit di informazione il guadagno è minore, perché con la codifica si trasmettono più bit nella stessa energia, Codici a blocco - distanza minima, rivelazione e correzioneLa codifica di canale aggiunge ridondanza in modo mirato: $k$ bit di informazione diventano una parola di codice di $n>k$ bit scelta tra $2^k$ parole ammesse. Se la parola ricevuta non è una parola di codice l'errore è rivelato (e si può chiedere la ritrasmissione, ARQ) oppure corretto (FEC). La qualità dipende dalla distanza minima di Hamming $d_{min}$: si rivelano fino a $d_{min}-1$ errori e se ne correggono $t<d_{min}/2$, ma non contemporaneamente. Per un BSC con $P_{bit}<1/2$ la decisione ottima ML coincide con quella a distanza minima. Limite di Hamming: $k/n\le1-\frac1n\log_2\sum_{r=0}^t\binom nr$.Codici a blocco - distanza minima, rivelazione e correzione →.)

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