Esercizio - Collegamento radio FDMA con 32 utenti (simulazione d'esame 2012)

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Testo (simulazione d'esame 2012, esercizio 2). Un canale radio di banda $10$ MHz centrato su $f_0=2{,}6$ GHz è usato con efficienza spettrale $1{,}6$ bit/s/Hz da una stazione base per comunicare con $N=32$ nodi mobili identici. La stazione base usa FDMA: divide l'intera banda in $N$ sottobande. Inoltre dispone di una potenza totale di $12$ W per comunicare con tutti i nodi, ripartita in parti uguali sulle $N$ sottobande. Ogni nodo mobile è un ricevitore con carico adattato di $100\ \Omega$ e una serie antenna-amplificatore, dove l'antenna è a $37$ °C e l'amplificatore ha temperatura di rumore $125$ K. Ogni nodo mobile richiede la ricezione di traffico di Poisson con intensità $30$ kbit/s, con pacchetti di lunghezza costante $L=1500$ bit. La ricezione è affidabile (probabilità di errore trascurabile) se l'SNR ricevuto è almeno $43$ dB.

1. Quanta energia elettrica consuma la stazione base per inviare $150$ Mbit a un singolo nodo?
2. Qual è la massima attenuazione ammessa dal canale per soddisfare il requisito di SNR?
3. Si assuma che la propagazione radio segua la formula di Friis in spazio libero. Se $a_{max}$ è la massima attenuazione ammessa, scrivere in funzione di essa la massima distanza a cui un nodo mobile può allontanarsi dalla stazione base, se i guadagni delle antenne in ricezione (mobile) e in trasmissione (stazione base) messi insieme valgono $13{,}5$ dB.
4. Quanto vale il ritardo globale del sistema con $N=32$ utenti? (Ritardo di propagazione trascurabile.)

Teoria usata: Accesso al mezzo - ALOHA, CSMA e protocolli deterministiciQuando più nodi condividono il canale serve un protocollo di accesso (MAC): deterministico (TDMA, FDMA, SDMA, CDMA), a richiesta (polling, token) o casuale (ALOHA, CSMA). Con $N_u$ utenti, arrivi di Poisson $\lambda$ ciascuno e pacchetti da $t_P=L/R_b$: TDMA stabile se $N_u\lambda t_P<1$, $m_{delay}=\frac{N_ut_P}{2(1-\rho)}+t_P+\tau_P$; FDMA ha ritardo maggiore di $t_P(N_u/2-1)$. ALOHA puro: intervallo di vulnerabilità $2t_P$, $S=Ge^{-2G}$, $S_{max}=1/(2e)\simeq0{,}18$ per $G=1/2$; slotted ALOHA: vulnerabilità $t_P$, $S=Ge^{-G}$, $S_{max}=1/e\simeq0{,}37$. ALOHA è intrinsecamente instabile (oltre il massimo il throughput va a $0$). Il carrier sense riduce la vulnerabilità a $\tau_P$ (CSMA), CD interrompe le collisioni, CA (RTS/CTS) è per il wireless; la persistenza (1-, non-, $p$-persistente) può portare il throughput verso il $100,%$.Accesso al mezzo - ALOHA, CSMA e protocolli deterministici → (FDMA, M/D/1), Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio → (Friis), Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →, Segnali, potenza e decibelRichiami che servono in tutto il corso. Unità SI e prefissi (kilo = $10^3$, bit e non byte); decibel $[x]{dB}=10\log{10}x$ per le potenze e $20\log_{10}$ per le ampiezze (prodotti = somme); banda di un segnale (primo zero, a $\alpha$ dB, di energia) e banda pratica; energia, potenza e teorema di Parseval; processi aleatori: media, potenza, autocorrelazione, stazionarietà (WSS), ergodicità, densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$ e filtraggio $\mathcal P_y=\lvert G\rvert^2\mathcal P_x$.Segnali, potenza e decibel →.

Sottocanale di un nodo

La banda è divisa in $N=32$ sottobande uguali: $$B_n=\frac{10\ \text{MHz}}{32}=312{,}5\ \text{kHz},\qquad P_n=\frac{12\ \text{W}}{32}=0{,}375\ \text{W}.$$ L'efficienza spettrale $1{,}6$ bit/s/Hz dà la velocità del nodo: $R_n=1{,}6\cdot312{,}5\ \text{kHz}=500$ kbit/s.

1. Energia per inviare $150$ Mbit

Il tempo di trasmissione a un nodo è $T=\dfrac{150\ \text{Mbit}}{500\ \text{kbit/s}}=300$ s. Nella sottobanda del nodo la stazione base spende $P_n=0{,}375$ W, quindi $$E=P_nT=0{,}375\cdot300=112{,}5\ \text{J}.$$ (Si è attribuito al singolo nodo solo il suo sottocanale; se si volesse contare tutta la potenza della stazione base con tutte le sottobande in uso, sarebbe $12\ \text{W}\cdot300\ \text{s}=3{,}6$ kJ, ripartiti in $32$ parti uguali di $112{,}5$ J.)

2. Massima attenuazione

La temperatura di rumore totale all'ingresso (serie antenna-amplificatore, Rumore termico, temperatura e cifra di rumoreOgni dispositivo elettrico produce un rumore additivo $w(t)$; la causa principale è il rumore termico (effetto Johnson-Nyquist): una resistenza $R$ alla temperatura $T$ ha PSD $\mathcal P_w=2kTR,\gamma(f)\approx2kTR$, e su un carico adattato la densità di potenza elettrica è $\frac12kT$ (bianca), cioè in banda $B$ una potenza $kTB$ ($kT_0=-174$ dBm/Hz). Si descrive il rumore di una sorgente con la temperatura di rumore $T_s=\frac{p_w}{k/2}$, e quello aggiunto da un doppio bipolo con $T_A$ o con la cifra di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$ ($T_0=290$ K, $F\ge1$). Un doppio bipolo passivo a $T_0$ ha $F=a$. In cascata $T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\dots$, $F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\dots$: il primo stadio è il più importante.Rumore termico, temperatura e cifra di rumore →) è la somma della temperatura di antenna e di quella dell'amplificatore: $$T_{eff}=(37+273{,}15)+125=435{,}15\ \text{K}.$$ La potenza di rumore nella sottobanda è $P_w=kT_{eff}B_n=1{,}381\cdot10^{-23}\cdot435{,}15\cdot3{,}125\cdot10^5=1{,}877\cdot10^{-15}$ W (la resistenza di $100\ \Omega$ non serve in termini di potenze elettriche, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →). Il requisito è $\mathrm{SNR}\ge43$ dB $=10^{4{,}3}=19\,953$, quindi la potenza ricevuta minima è $$P_{rc,min}=19\,953\cdot1{,}877\cdot10^{-15}=3{,}746\cdot10^{-11}\ \text{W}.$$ Con $P_{rc}=P_n/a_{ch}$ ($P_n=0{,}375$ W trasmessi in quella sottobanda): $$a_{max}=\frac{P_n}{P_{rc,min}}=\frac{0{,}375}{3{,}746\cdot10^{-11}}=1{,}001\cdot10^{10}\ \Rightarrow\ a_{max}\simeq100{,}0\ \text{dB}.$$

3. Distanza massima (Friis)

In spazio libero (Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →) $a_{ch}=\dfrac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, con $\lambda=c/f_0$. Con $g_{tx}g_{rc}=13{,}5$ dB $=10^{1{,}35}=22{,}39$ e $\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{2{,}6\cdot10^9}=0{,}1153$ m, ponendo $a_{ch}=a_{max}$ e risolvendo in $d$: $$d_{max}=\frac{\lambda}{4\pi}\sqrt{a_{max}\,g_{tx}g_{rc}}=\frac{c}{4\pi f_0}\sqrt{22{,}39\,a_{max}}=9{,}18\cdot10^{-3}\sqrt{22{,}39\,a_{max}}\ \text{m}.$$ Con $a_{max}=1{,}001\cdot10^{10}$: $d_{max}=9{,}18\cdot10^{-3}\cdot\sqrt{2{,}24\cdot10^{11}}=9{,}18\cdot10^{-3}\cdot4{,}73\cdot10^5=4{,}34$ km. (Controllo in dB: $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}4{,}34+20\log_{10}2600-13{,}5=32{,}4+12{,}7+68{,}3-13{,}5=99{,}9$ ✓.)

4. Ritardo globale

In FDMA ognuno degli $N$ utenti è una coda M/D/1 separata (Accesso al mezzo - ALOHA, CSMA e protocolli deterministiciQuando più nodi condividono il canale serve un protocollo di accesso (MAC): deterministico (TDMA, FDMA, SDMA, CDMA), a richiesta (polling, token) o casuale (ALOHA, CSMA). Con $N_u$ utenti, arrivi di Poisson $\lambda$ ciascuno e pacchetti da $t_P=L/R_b$: TDMA stabile se $N_u\lambda t_P<1$, $m_{delay}=\frac{N_ut_P}{2(1-\rho)}+t_P+\tau_P$; FDMA ha ritardo maggiore di $t_P(N_u/2-1)$. ALOHA puro: intervallo di vulnerabilità $2t_P$, $S=Ge^{-2G}$, $S_{max}=1/(2e)\simeq0{,}18$ per $G=1/2$; slotted ALOHA: vulnerabilità $t_P$, $S=Ge^{-G}$, $S_{max}=1/e\simeq0{,}37$. ALOHA è intrinsecamente instabile (oltre il massimo il throughput va a $0$). Il carrier sense riduce la vulnerabilità a $\tau_P$ (CSMA), CD interrompe le collisioni, CA (RTS/CTS) è per il wireless; la persistenza (1-, non-, $p$-persistente) può portare il throughput verso il $100,%$.Accesso al mezzo - ALOHA, CSMA e protocolli deterministici →): ogni utente ha una sottobanda con velocità $R_n=500$ kbit/s. Tasso di arrivo per utente: $\lambda=\dfrac{30\ \text{kbit/s}}{1500\ \text{bit}}=20$ pkt/s. Tempo di pacchetto sulla sottobanda: $t_P'=\dfrac{L}{R_n}=\dfrac{1500}{5\cdot10^5}=3$ ms ($=N\,t_P$ con $t_P=L/(1{,}6\cdot10\ \text{MHz})=93{,}75\ \mu$s, e $32\cdot93{,}75=3000\ \mu$s ✓). Fattore di carico: $$\rho=\lambda t_P'=20\cdot3\cdot10^{-3}=0{,}06<1\quad(\text{stabile}).$$ Il tempo medio di sistema della M/D/1 con $T=t_P'$ è $$m_s=\frac{T(2-\rho)}{2(1-\rho)}=3\ \text{ms}\cdot\frac{1{,}94}{1{,}88}=3{,}096\ \text{ms}.$$ Con $\tau_P\simeq0$ il ritardo globale è $m_{delay}=m_s+\tau_P=3{,}10$ ms: quasi solo il tempo di trasmissione ($3$ ms), perché il carico è bassissimo.