Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio

Nel link budget (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →) il mezzo entra con un solo numero: l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$ del canale alla frequenza della portante (Doppi bipoli, guadagno e attenuazioneTra generatore e carico c'è in generale un doppio bipolo (due porte): il canale, un amplificatore, un cavo. Con impedenze $Z_1$ in ingresso e $Z_2$ in uscita il segnale passa in cascata attraverso tre partitori, $g_1=\frac{Z_1}{Z_S+Z_1}$, $g_2=\frac{V_2}{V_1}$ e $g_L=\frac{Z_L}{Z_2+Z_L}$; il canale è $g_{ch}=g_2g_L$. Il guadagno di potenza è $g(f)=\frac{p_{out}(f)}{p_{in}(f)}$ e l'attenuazione $a(f)=\frac1{g(f)}$. Con la linea adattata ($Z_S=Z_1^*$, $Z_1=Z_2=Z_L$ resistive) tutti i fattori d'impedenza si semplificano e $g(f)=\lvert g_{ch}(f)\rvert^2$; in dB $g_{dB}=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert$. In cascata i guadagni si moltiplicano (si sommano in dB).Doppi bipoli, guadagno e attenuazione →). In questa nota si vede come si calcola per i tre mezzi principali: cavi, fibre ottiche, collegamenti radio (ce ne sono altri, per esempio le linee elettriche e i collegamenti sottomarini). Un mezzo è noto quando si dà la sua risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ e/o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$; oltre all'attenuazione serve anche il ritardo di propagazione, perché il segnale arriva dopo $$\tau_p=\frac dv ,$$ dove $d$ è la distanza tra trasmettitore e ricevitore e $v$ la velocità del fronte d'onda. Versione per Ing. Elettronica: Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →.

1. Cavi

I cavi (doppini telefonici, cavi coassiali per la televisione e le reti di calcolatori, cavi Ethernet) si descrivono con quattro costanti primarie per unità di lunghezza: resistenza $r$, induttanza $\ell$, conduttanza $g$ e capacità $c$. Si immagina il cavo diviso in tratti infinitesimali $dx$, ognuno con un'impedenza in serie $(r+j2\pi f\ell)\,dx$ e un'ammettenza in parallelo $(g+j2\pi fc)\,dx$ (Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →). L'impedenza vista in ingresso e in uscita è la stessa e vale l'impedenza caratteristica $$Z_0(f)=\sqrt{\frac{r+j2\pi f\ell}{g+j2\pi fc}} .$$ Chiudendo il cavo su $Z_0$ (adattamento: Doppi bipoli, guadagno e attenuazioneTra generatore e carico c'è in generale un doppio bipolo (due porte): il canale, un amplificatore, un cavo. Con impedenze $Z_1$ in ingresso e $Z_2$ in uscita il segnale passa in cascata attraverso tre partitori, $g_1=\frac{Z_1}{Z_S+Z_1}$, $g_2=\frac{V_2}{V_1}$ e $g_L=\frac{Z_L}{Z_2+Z_L}$; il canale è $g_{ch}=g_2g_L$. Il guadagno di potenza è $g(f)=\frac{p_{out}(f)}{p_{in}(f)}$ e l'attenuazione $a(f)=\frac1{g(f)}$. Con la linea adattata ($Z_S=Z_1^*$, $Z_1=Z_2=Z_L$ resistive) tutti i fattori d'impedenza si semplificano e $g(f)=\lvert g_{ch}(f)\rvert^2$; in dB $g_{dB}=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert$. In cascata i guadagni si moltiplicano (si sommano in dB).Doppi bipoli, guadagno e attenuazione →) la risposta in frequenza del canale, di lunghezza $d$, è $$g_{ch}(f)=e^{-d\left(\alpha(f)+j\beta(f)\right)},\qquad g_{ch}(f)\big|_{\text{potenza}}=\lvert g_{ch}(f)\rvert^2=e^{-2d\,\alpha(f)},$$ con $\alpha(f)$ costante di attenuazione (neper/km) e $\beta(f)$ costante di fase (rad/km). Il guadagno in potenza decresce esponenzialmente con la distanza; l'attenuazione è $$a_{ch}(f)=\frac1{g_{ch}(f)}=e^{2d\alpha(f)}\ \Longrightarrow\ a_{ch}(f)\big|_{dB}=10\log_{10}e^{2d\alpha(f)}=\underbrace{(20\log_{10}e)}_{8{,}68}\,d\,\alpha(f).$$ Poiché il logaritmo trasforma l'esponenziale in un termine lineare in $d$, nei fogli dati si trova l'attenuazione specifica $\tilde a_{ch}(f)=8{,}68\,\alpha(f)$ in dB/km, e l'attenuazione in dB di un cavo di lunghezza $d$ è semplicemente proporzionale alla distanza: $$\boxed{a_{ch}(f)\big|_{dB}=\tilde a_{ch}(f)\big|_{dB/km}\cdot d_{km}.}$$ Esempio. Un cavo da $20$ km con attenuazione specifica $3$ dB/km ha $a_{ch}=60$ dB: la potenza si riduce di un fattore $10^6$.

Dipendenza dalla frequenza. In generale $\alpha(f)\propto\sqrt f$ (a frequenze alte la corrente scorre solo vicino alla superficie del conduttore, l'effetto pelle, e la resistenza cresce come $\sqrt f$). Di solito si usa $$\alpha(f)=K\sqrt f,\qquad\beta(f)=K\sqrt f+2\pi f\sqrt{\ell c},\qquad\mathcal G(f)=\exp\left(-(1+j)\sqrt{\frac f{f_c}}-j2\pi ft_c\right),$$ con $K$ costante (qui $K\,d=\frac1{\sqrt{f_c}}$ e $t_c=d\sqrt{\ell c}$ è il ritardo). La risposta all'impulso è $g_{ch}(t)=g_c(t-t_c)$ con $g_c(t)=\left(2\pi\sqrt{f_c\,t^3}\,e^{1/(4\pi f_ct)}\right)^{-1}\mathbb 1(t)$: un impulso che si allarga. Dal punto di vista pratico: $$\boxed{\tilde a_{ch}(f)=\tilde a_{ch}(f_1)\sqrt{\frac f{f_1}}\quad\left[\text{dB/km}\right]}$$ con $f_1$ la frequenza nota (quella del foglio dati). Una linea che attenua $1$ dB/km a $f_1=10$ MHz attenua $2$ dB/km a $40$ MHz ($\sqrt{40/10}=2$). Attenzione: la legge $\sqrt f$ vale per l'attenuazione specifica, poi si moltiplica per $d$; non per l'attenuazione totale (che è già proporzionale a $d$).

Esempi di parametri (doppini telefonici di vari diametri; $\tilde a_{ch}=8{,}68\,\alpha$ come controllo: $8{,}68\cdot0{,}09=0{,}78$):

(Il filo più sottile ha più resistenza, quindi più attenuazione.)

Ritardo. La velocità nel cavo è proporzionale a quella della luce: $v=\frac c{\sqrt{\varepsilon_r}}$ per un cavo coassiale, con $\varepsilon_r$ la costante dielettrica dell'isolante. Per $\varepsilon_r=2{,}25$ è $v=\frac23c=2\cdot10^8$ m/s, cioè $\tau_p=5\ \mu$s per ogni km.

2. Fibre ottiche

La fibra ottica è un filo di vetro (o di plastica) che guida la luce per riflessione totale. Usa frequenze altissime ($10^{14}\div10^{15}$ Hz), quindi per i segnali luminosi si usa la lunghezza d'onda invece della frequenza, $$\lambda f=v=\frac cn,\qquad n=\text{indice di rifrazione}\ (\approx1{,}55\ \text{vetro},\ 1{,}35\ \text{plastica}),$$ con $c=3\cdot10^8$ m/s. Si possono ottenere bande larghissime. I segnali elettrici di trasmissione e ricezione sono mappati su potenze luminose $P_1(t)$ e $P_2(t)$; lo schema è: sorgente luminosa (LED o laser, converte il segnale elettrico in luce) $\to$ accoppiatore $\to$ fibra (dominio ottico) $\to$ fotorivelatore (fotodiodo, converte la luce in corrente) $\to$ amplificatore. Prima dell'accoppiatore e dopo il fotorivelatore si è nel dominio elettrico.

Modello del canale. La risposta $h_F(t)$ che lega $P_2(t)=(h_F*P_1)(t)$ è approssimativamente una gaussiana: $$g_{ch}(t)=\frac1{A_F}\frac1{\sqrt{2\pi}\,\sigma_F}\exp\left[-\frac{(t-t_F)^2}{2\sigma_F^2}\right],\qquad g_{ch}(f)=\lvert G(f)\rvert^2=A_F^{-2}\exp\left[-(2\pi f\sigma_F)^2\right]$$ (la seconda per impedenze di ingresso e di uscita adattate), dove $t_F$ è il ritardo, $A_F$ l'attenuazione (come per i cavi $A_F|_{dB}=\tilde A_F|_{dB/km}\cdot d_{km}$) e $\sigma_F$ la dispersione. Il ritardo è la distanza per la velocità della luce nella fibra, $t_F=\frac{dn}c$ (per $n=1{,}5$ circa $5\ \mu$s/km); la dispersione cresce con la lunghezza d'onda e con la distanza.

La dispersione nasce perché la luce segue cammini diversi nel nucleo (e lunghezze d'onda diverse viaggiano a velocità diverse): l'impulso si allarga. È un filtro passa-basso gaussiano, e la banda del sistema è inversamente proporzionale a $\sigma_F$: a $-3$ dB, da $\exp\left[-(2\pi f\sigma_F)^2\right]=\frac12$, $$f_{3dB}=\frac{\sqrt{\ln2}}{2\pi\,\sigma_F}=\frac{0{,}1325}{\sigma_F}.$$ Esempio. Con $\sigma_F=5$ ns la banda a $-3$ dB è $\frac{0{,}1325}{5\cdot10^{-9}}=26{,}5$ MHz; dimezzando la dispersione raddoppia la banda.

Le tre finestre. Il vetro ha minimi di attenuazione solo in tre intervalli di lunghezza d'onda, e sono queste le bande usate:

Nelle fibre monomodali a $1300$ e $1550$ nm con sorgente laser (LD) la banda a $1$ km supera i $10\,000$ MHz: per questo si usano per i collegamenti a lunghissima distanza (bassa attenuazione e bassa dispersione). Le fibre multimodali sono più economiche ma più dispersive:

Esempio. Fibra monomodale in terza finestra con $0{,}2$ dB/km su $100$ km: $a_{ch}=0{,}2\cdot100=20$ dB. Un cavo con $3$ dB/km sulla stessa distanza attenuerebbe $300$ dB.

3. Collegamenti radio

Nei collegamenti radio il segnale si propaga nello spazio, tra due antenne. Si usano molte bande per usi diversi (dalle onde lunghe VLF a $3\div30$ kHz fino ai microonde): radio AM (LF, MF), HF (onde corte), FM e TV (VHF, UHF), telefonia cellulare e reti wireless (UHF-SHF, fino a $\approx5$ GHz), collegamenti satellitari (SHF, EHF).

3.1 Spazio libero: la formula di Friis

Si considera dapprima lo spazio libero (nessun ostacolo né assorbimento) e un'antenna isotropica (omnidirezionale) che trasmette con potenza $P_{tx}$. Il flusso elettromagnetico a distanza $d$ si distribuisce sulla superficie sferica di area $4\pi d^2$: $$\Phi_0(d)=\frac{P_{tx}}{4\pi d^2}\qquad[\text{W/m}^2].$$ Il fattore $d^2$ implica che per aumentare la distanza di un fattore $10$ servono $20$ dB di potenza in più. Se l'antenna è direttiva, con guadagno in trasmissione $g_{tx}$, nella direzione puntata $$\Phi(d)=\Phi_0(d)\,g_{tx}=\frac{P_{tx}\,g_{tx}}{4\pi d^2}.$$ (Una direttiva risparmia potenza ma richiede di puntare il ricevitore: se questo si muove, l'isotropica è l'unica scelta.) In ricezione la potenza raccolta è il flusso per l'area equivalente dell'antenna ricevente, prodotto della sua area intercettata $A_{rc}$ per l'efficienza $\eta_{rc}$: $$P_{rc}=\Phi(d)\,A_{rc}\,\eta_{rc} .$$ Vale il principio di reciprocità: un'antenna ha lo stesso guadagno in trasmissione e in ricezione, ed è legato all'area equivalente da $$g_{ant}=\frac{4\pi A_{ant}\eta_{ant}}{\lambda^2}\qquad\Longleftrightarrow\qquad A_{rc}\eta_{rc}=\frac{g_{rc}\lambda^2}{4\pi}$$ (con $g_{ant}=1$ per un'antenna omnidirezionale). Sostituendo nella potenza ricevuta: $$P_{rc}=P_{tx}\,g_{tx}\,\frac{A_{rc}\eta_{rc}}{4\pi d^2}=P_{tx}\,g_{tx}\,g_{rc}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2 .$$ Poiché $P_{rc}=P_{tx}\,g_{ch}=\frac{P_{tx}}{a_{ch}}$ si ottiene la formula di Friis, o "attenuazione di spazio libero" (free space path loss): $$\boxed{a_{ch}=\frac1{g_{tx}\,g_{rc}}\left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right)^2=\frac{(4\pi)^2d^2f^2}{c^2\,g_{tx}g_{rc}}}\qquad\left(\lambda=\frac cf\right).$$ In dB, con $d$ in km e $f$ in MHz (le costanti si raccolgono in un solo numero, $20\log_{10}\frac{4\pi\cdot10^3\cdot10^6}{3\cdot10^8}=32{,}4$): $$\boxed{a_{ch}\big|_{dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}\big|_{dB}-g_{rc}\big|_{dB}.}$$ Attenzione: i guadagni delle antenne sono già inclusi in $a_{ch}$; non vanno contati due volte nel link budget.

Esempio. $d=100$ m $=0{,}1$ km, $f=2{,}4$ GHz $=2400$ MHz, antenne isotropiche: $a_{ch}=32{,}4-20+67{,}6=80{,}0$ dB. Con $d=1$ km e $f=900$ MHz: $a_{ch}=32{,}4+0+59{,}1=91{,}5$ dB. Raddoppiare la distanza aggiunge $20\log_{10}2=6$ dB (e non $3$ dB); raddoppiare la frequenza aggiunge anch'essa $6$ dB.

3.2 Fuori dallo spazio libero

In presenza di ostacoli, riflessioni, terreno, l'attenuazione cresce più rapidamente con la distanza. Si modifica l'esponente $2$ della Friis con un esponente $\beta$: $$a_{ch}=K\,d^{\beta},\qquad\beta\in[1,6]\ (\text{di solito }\ge2).$$ Per esempio, per il modello a due raggi (un raggio diretto e uno riflesso dal suolo) si dimostra $\beta=4$; in ambiente urbano tipicamente $\beta=3{,}5$, e in dB $$a_{ch}\big|_{dB}=K_{dB}+35\log_{10}d_{km}.$$ In aria le onde si propagano a una velocità circa uguale a quella della luce nel vuoto, $c=3\cdot10^5$ km/s, quindi $\tau_p=\frac dc$ (circa $3{,}3\ \mu$s per km).

4. Confronto tra i tre mezzi

Esempio (radio o cavo?). Due stazioni a $10$ km: via cavo con $5$ dB/km l'attenuazione è $50$ dB; via radio a $90$ MHz con $g_{tx}=5$ dB e $g_{rc}=1$ dB è $32{,}4+20+39{,}1-6=85{,}5$ dB. Per la sola attenuazione conviene il cavo ($35$ dB in meno), ma la radio non richiede di stendere la linea.

Errori comuni

• Usare $d$ in metri o $f$ in hertz nella formula con $32{,}4$ (servono km e MHz).
• Dimenticare di sottrarre i guadagni delle antenne, o contarli due volte.
• Aspettarsi $+3$ dB raddoppiando la distanza in spazio libero: sono $+6$ dB ($20\log_{10}2$).
• Applicare la legge $\sqrt f$ all'attenuazione totale invece che a quella specifica.
• Dimenticare che per i cavi l'attenuazione in dB è lineare in $d$ (il guadagno lineare è esponenziale).