Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK

Nei capitoli precedenti si sono visti gli strumenti generali: la costellazione (Spazio dei segnali e Gram-SchmidtNella modulazione digitale ogni simbolo di un alfabeto di $M$ elementi è associato a una forma d'onda $s_j(t)$ di energia finita, trasmessa in un tempo di simbolo $T$. Le forme d'onda sono elementi dello spazio $\mathcal L^2$ con prodotto scalare $\langle x,y\rangle=\int xy^,dt$ e energia $E_x=\lVert x\rVert^2$; con una base ortonormale ${\varphi_i}{i=1}^I$ ($I\le M$, trovata con Gram-Schmidt) ogni segnale è un punto $\mathbf s_j=[\langle s_j,\varphi_i\rangle]i$ e l'insieme dei punti è la costellazione. Il rumore bianco gaussiano ha componenti sulla base indipendenti $\mathcal N(0,\frac{N_0}2)$ (la parte fuori dallo spazio dei segnali è irrilevante), quindi il ricevuto è $\mathbf r=\mathbf s_j+\mathbf w$.Spazio dei segnali e Gram-Schmidt →), il criterio ottimo (Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →), le probabilità d'errore (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →). Qui si analizzano le modulazioni pratiche, quelle effettivamente usate. Sono costruite da un unico impulso base $h(t)\in\mathcal L^2(\mathbb R)$ di energia $E_h$ e banda $B_h$ (per ora si pensi a un rettangolo) e da coefficienti scelti in modo regolare, così le costellazioni sono ordinate e i conti si fanno in forma chiusa. Versione per Ing. Elettronica: PAM - modulazione di ampiezza di impulsiNella PAM ogni segnale è l'impulso $h(t)$ moltiplicato per un'ampiezza $\alpha_m=2m-1-M$: $s_m(t)=\alpha_mh(t)$. La costellazione è su una retta (base $\phi=\frac h{\sqrt{E_h}}$, punti $\alpha_m\sqrt{E_h}$) con $d_{min}=2\sqrt{E_h}$ ed energia media $E_s=E_h\frac{M^2-1}3$. La probabilità di errore è $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac6{M^2-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$. È semplice, ma l'energia cresce come $M^2$.PAM - modulazione di ampiezza di impulsi →, QAM - modulazione di ampiezza in quadraturaNella QAM si modulano ampiezza e fase di una portante con due ampiezze $\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}$ (simbolo complesso $\alpha_m=\alpha_{m,I}+j\alpha_{m,Q}$): $s_m(t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_mh(t)e^{j2\pi f_0t}\right]$. È un segnale in banda passante con base a due dimensioni ($\cos$ e $\sin$ per l'impulso) e punti $\sqrt{\frac{E_h}2}\left[\alpha_{m,I},\alpha_{m,Q}\right]$. Per $M=L^2$: $d_{min}=\sqrt{2E_h}$, $E_s=E_h\frac{M-1}3$ e $P[E]=1-\left[1-2\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)\right]^2\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac3{M-1}\frac{E_s}{N_0}}\right)$.QAM - modulazione di ampiezza in quadratura → e PSK - modulazione di faseNella PSK l'informazione sta solo nella fase della portante: $s_m(t)=h(t)\cos(2\pi f_0t+\varphi_m)$ con $\varphi_m=\frac\pi M(2m-1)$. I punti stanno su una circonferenza di raggio $\sqrt{E_s}$ (tutti con la stessa energia $E_s=\frac{E_h}2$), con $d_{min}=2\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M$. $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$ per $M>2$; con Gray $P_{bit}\approx\frac2{\log_2M}Q\left(\sqrt{2\Gamma}\sin\frac\pi M\right)$, $\Gamma=\frac{E_s}{N_0}$. Per $M=2$ è l'antipodale (BPSK), per $M=4$ coincide con la 4-QAM.PSK - modulazione di fase →.

1. PAM (pulse amplitude modulation)

Detta anche ASK (amplitude shift keying). Usa $M$ forme d'onda $$s_n(t)=\alpha_n\,h(t),\qquad\alpha_n\in\mathbb Z,\quad\alpha_n=2n-M-1,\ n=1,\dots,M .$$ La scelta più saggia dei coefficienti è dispari, simmetrica ed equispaziata: $-M+1,-M+3,\dots,-3,-1,+1,+3,\dots,M-3,M-1$ ($M$ è tipicamente pari, in genere una potenza di $2$; per $M=4$ i punti sono $-3,-1,+1,+3$). Poiché tutti i segnali sono multipli dello stesso impulso, i segnali sono tutti linearmente dipendenti e la base ha dimensione $I=1$: $$\varphi(t)=\frac{h(t)}{\sqrt{E_h}},\qquad s_n\ \longleftrightarrow\ \left(2n-M-1\right)\sqrt{E_h}.$$ I punti sono su una retta, a coordinate che sono multipli dispari di $\sqrt{E_h}$ (informalmente si dice "il punto $-3$", mentre in realtà $n=\frac M2-1$).

Distanza minima e regioni. I punti sono equispaziati con passo $2\sqrt{E_h}$: $d_{min}=2\sqrt{E_h}$. Con simboli equiprobabili e AWGN il criterio ottimo è MD (Decisione ottima - criteri MAP e MLIl ricevitore osserva il vettore $\mathbf r$ e deve stimare il simbolo trasmesso $a_0$: lo spazio $\mathbb R^I$ si divide in $M$ regioni di decisione $\mathcal R_j$. La probabilità di decisione corretta è $P[C]=\sum_j\int_{\mathcal R_j}D_j(\boldsymbol\rho),d\boldsymbol\rho$ con $D_j=p_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j),p_j$ e si massimizza assegnando ogni $\boldsymbol\rho$ alla regione con $D_j$ più alto: criterio MAP (massimo a posteriori, ottimo). Il criterio ML ($\arg\max_jp_{\mathbf r|a_0}(\boldsymbol\rho|j)$) ignora le probabilità a priori e coincide con MAP per simboli equiprobabili. Il criterio MD (minima distanza, $\arg\min\lVert\boldsymbol\rho-\mathbf s_j\rVert$) coincide con ML se il rumore è AWGN, quindi con simboli equiprobabili e AWGN è ottimo.Decisione ottima - criteri MAP e ML →), e le regioni di decisione sono segmenti di lunghezza $2\sqrt{E_h}$ centrati sui punti; la prima e l'ultima sono illimitate da un lato.

Banda base o passabanda? Dipende dall'impulso $h(t)$. Se $h$ è in banda base (come un rettangolo) la PAM è in banda base; se $h$ è un segnale passabanda, anche la PAM lo è. Attenzione alle convenzioni di banda ($B=B_h$ oppure $2B_h$): Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →.

Energia media

Qui le energie dei segnali non sono uguali: $E_n=\alpha_n^2E_h$. L'energia media (simboli equiprobabili) è $$E_s=\sum_np_nE_n=\frac1M\sum_{n=1}^M(2n-M-1)^2E_h=\frac{E_h}M\left[4\sum n^2+M(M+1)^2-4(M+1)\sum n\right].$$ Con le somme notevoli $\sum_{n=1}^Mn=\frac{M(M+1)}2$ e $\sum_{n=1}^Mn^2=\frac{M(M+1)(2M+1)}6$, dopo "pochi semplici passaggi": $$\boxed{E_s=\frac{M^2-1}3\,E_h,\qquad E_h=\frac{3E_s}{M^2-1}.}$$ Per $M=2$: $E_s=E_h$; $M=4$: $5E_h$; $M=8$: $21E_h$. L'energia cresce come $M^2$: un bit in più (raddoppio di $M$) costa circa $6$ dB di energia a parità di distanza.

Probabilità d'errore

Si usa il metodo delle regioni, con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ (la mezza distanza dal confine è $\sqrt{E_h}$, e $\frac{\sqrt{E_h}}{\sigma_I}=\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}$). Due tipi di regione:

• simbolo interno (ha un vicino da ciascun lato, regione di lunghezza $2\sqrt{E_h}$): si resta nella regione se $|w|<\sqrt{E_h}$, cioè con probabilità $1-2Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)$;
• simbolo esterno (primo o ultimo, ha un solo vicino): si esce solo se il rumore va verso l'interno, quindi si resta con probabilità $1-Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)$.

Con $Q=Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)$, ci sono $M-2$ interni e $2$ esterni: $$P[C]=\frac1M\left[(M-2)(1-2Q)+2(1-Q)\right]=1-\frac{2(M-1)}MQ\quad\Longrightarrow\quad P[E]=2\,\frac{M-1}M\,Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right).$$ Esprimendo $E_h$ con $E_s$: $$\boxed{P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6\,E_s}{(M^2-1)\,N_0}}\right)}$$ (per $M=2$: $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'antipodale). Per $P_{bit}$ si usa la codifica di Gray (Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bitIl canale numerico equivalente a modulatore, canale e demodulatore è un canale binario simmetrico senza memoria (BSC): ogni bit è sbagliato con probabilità $P_{bit}$, indipendentemente dagli altri. Per una modulazione $M$-aria con $n=\log_2M$ bit per simbolo, la probabilità di errore sul simbolo è $P[E]=1-(1-P_{bit})^n\approx nP_{bit}$ e $P_{bit}\le P[E]$. Il legame inverso passa dalla distanza di Hamming tra le parole di bit: $P_{bit}=\sum_k\sum_{j\ne k}p_kP_{j|k}\frac{d_H(\mathbf c_j,\mathbf c_k)}{\log_2M}$. Con la codifica di Gray (simboli adiacenti differiscono per un solo bit) e SNR non troppo basso gli errori più probabili, verso i vicini, sbagliano un solo bit, quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Canale binario simmetrico, codifica di Gray e probabilità di bit →): gli errori più probabili sono verso i simboli adiacenti ($Q\left(\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)$), mentre andare in un non adiacente ha una probabilità dell'ordine di $Q\left(3\sqrt{\frac{2E_h}{N_0}}\right)\ll Q(\cdot)$, e quindi $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.

Esempio ($4$-PAM). Con $\frac{2E_h}{N_0}=4$ ($\sqrt{\cdot}=2$, quindi $\frac{E_s}{N_0}=5\cdot\frac{E_h}{N_0}=10$, cioè $10$ dB): $P[E]=2\cdot\frac34\,Q(2)=1{,}5\cdot0{,}02275=0{,}0341$ e con Gray $P_{bit}\approx\frac{0{,}0341}2=0{,}0171$.

Come cambia $P[E]$ con $M$. Doppia dipendenza da $M$: nel fattore davanti ($2(1-\frac1M)$) e dentro la $Q$, dove l'argomento cala come $\frac1M$. La parte che conta di più è quella dentro $Q$: $P[E]$ cresce molto rapidamente con $M$.

2. QAM (quadrature amplitude modulation)

Analoga alla PAM, ancora con $M$ forme d'onda, ma i coefficienti sono numeri complessi $\alpha_n=x_n-jy_n$ con $x_n,y_n\in\mathbb Z$ (convenzione del corso) e si sceglie l'impulso base $h(t)$ con banda $B_h$ e la portante $f_0\gg B_h$: $$s_n(t)=x_n\,h(t)\cos(2\pi f_0t)-y_n\,h(t)\sin(2\pi f_0t)=\operatorname{Re}\left[\alpha_n\,h(t)\,e^{-j2\pi f_0t}\right].$$ In realtà è come avere due impulsi base: $h(t)\cos(2\pi f_0t)$ e $-h(t)\sin(2\pi f_0t)$. Le due portanti, seno e coseno alla stessa frequenza, sono dette portanti in quadratura. La QAM è necessariamente passabanda (ha sinusoidi per costruzione), con banda $\mathcal B=2B_h$ (lo spettro di $h$ viene traslato in $\pm f_0$ con ampiezza dimezzata); attenzione a non confondere l'analisi con quella della PAM.

Base ortonormale. Una buona base ha dimensione $I=2$: $$\varphi_1(t)=\sqrt{\frac2{E_h}}\,h(t)\cos(2\pi f_0t),\qquad\varphi_2(t)=-\sqrt{\frac2{E_h}}\,h(t)\sin(2\pi f_0t)$$ (il fattore $\sqrt{\frac2{E_h}}$ viene da $\int h^2\cos^2\simeq\frac{E_h}2$, perché con $f_0\gg B_h$ il $\cos^2$ vale in media $\frac12$; e $\int h^2\cos\sin\simeq0$ per l'ortogonalità), e i segnali diventano i punti $$\mathbf s_n=\left(x_n\sqrt{\frac{E_h}2},\ y_n\sqrt{\frac{E_h}2}\right).$$ Di solito si sceglie una costellazione quadrata $M=L^2$ ($L=2^k$): $x_n,y_n\in\{-L+1,\dots,-1,1,\dots,L-1\}$. Per $M=16$, $L=4$: griglia $4\times4$ con coordinate $\pm\sqrt{\frac{E_h}2},\pm3\sqrt{\frac{E_h}2}$ e $d_{min}=2\sqrt{\frac{E_h}2}=\sqrt{2E_h}$. (Altre costellazioni a croce o circolari per $M=8,32,128$.) La QAM è equivalente a due PAM a $L$ livelli, una per componente, in quadratura.

Modulatore e demodulatore in quadratura. Il modulatore prende i bit, li mappa (BMAP) in due flussi di coefficienti $x_k$ e $y_k$, li passa per il filtro di trasmissione $h_{Tx}$ e moltiplica il ramo "in fase" per $\cos(2\pi f_0t)$ e quello "in quadratura" per $-\sin(2\pi f_0t)$ (ottenuto con uno sfasamento di $\frac\pi2$ della portante); somma i due rami e trasmette $s_{Tx}(t)$. Il demodulatore moltiplica $r(t)$ per $\cos(2\pi f_0t)$ e per $-\sin(2\pi f_0t)$ (portanti recuperate da un blocco di carrier recovery), filtra con $h_{Rc}$ e campiona a $t_0+kT$ ottenendo $r_{k,1}$ e $r_{k,2}$ (le due coordinate), che vanno al rivelatore e alla mappa di bit inversa (IBMAP).

Energia media

Come per la PAM le energie dei simboli non sono uguali. L'energia media è la somma delle energie delle due PAM, ciascuna a $L$ livelli con unità $\frac{E_h}2$: $$E_s=\frac{E_h}2\,E\left[x_n^2+y_n^2\right]=\frac{E_h}2\cdot2\,\frac{L^2-1}3=\boxed{E_h\,\frac{M-1}3,\qquad E_h=\frac{3E_s}{M-1}}$$ (usando il risultato della PAM, $E\left[x_n^2\right]=\frac{L^2-1}3$ e $M=L^2$). Per $M=16$: $E_s=5E_h$.

Probabilità d'errore

Il rumore ha due componenti indipendenti $w_1,w_2\sim\mathcal N\left(0,\frac{N_0}2\right)$, e il ricevuto è $\mathbf r=(x_n\sqrt{E_h/2}+w_1,\ y_n\sqrt{E_h/2}+w_2)$. Con MD le regioni hanno forme diverse perché hanno lati illimitati: tre tipi (per $M=16$: angoli, lati, interni). Con la mezza distanza dal confine $\sqrt{\frac{E_h}2}$, e $\frac{\sqrt{E_h/2}}{\sigma_I}=\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}$, scrivendo $Q=Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right)$:

• Tipo A, angoli ($4$ casi, due soglie di contorno): si resta nella regione con probabilità $\text{Prob}[w_1<\sqrt{E_h/2},\ w_2<\sqrt{E_h/2}]=\left(1-Q\right)^2$ (le due componenti sono indipendenti);
• Tipo B, lati ($4(L-2)$ casi, una componente con una soglia e l'altra con due): $(1-Q)(1-2Q)$;
• Tipo C, interni ($(L-2)^2$ casi, quattro soglie): $(1-2Q)^2$.

$$P[C]=\frac1M\left[4(1-Q)^2+4(L-2)(1-Q)(1-2Q)+(L-2)^2(1-2Q)^2\right]=\left[1-2\left(1-\frac1L\right)Q\right]^2 .$$ (Si semplifica notando che $4(1-Q)^2+4(L-2)(1-Q)(1-2Q)+(L-2)^2(1-2Q)^2=\left[2(1-Q)+(L-2)(1-2Q)\right]^2=\left[L-2(L-1)Q\right]^2$, che diviso per $M=L^2$ dà il quadrato. È il fatto che una QAM quadrata è il prodotto di due PAM indipendenti.) Quindi $$P[E]=1-P[C]=4\left(1-\frac1L\right)Q-4\left(1-\frac1L\right)^2Q^2\ \approx\ 4\left(1-\frac1L\right)Q\left(\sqrt{\frac{E_h}{N_0}}\right),$$ dove il termine quadratico si trascura per $\frac{E_h}{N_0}\gg1$. Con $E_h=\frac{3E_s}{M-1}$ e $L=\sqrt M$: $$\boxed{P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3\,E_s}{(M-1)\,N_0}}\right)}$$ (valida per $M$ quadrato: $4,16,64,256,\dots$, non per $8$ o $32$). Anche qui con la Gray (in forma "doppia", una Gray per ognuna delle due componenti, in modo che i vicini orizzontali e verticali differiscano di un bit), $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.

Esempio ($16$-QAM). Con $\frac{E_s}{N_0}=20$ dB ($=100$): $\sqrt{\frac{3\cdot100}{15}}=4{,}47$, $P[E]\approx4\cdot\frac34Q(4{,}47)=3Q(4{,}47)=1{,}16\cdot10^{-5}$ e $P_{bit}\approx\frac{1{,}16\cdot10^{-5}}4=2{,}9\cdot10^{-6}$. A $\frac{E_s}{N_0}=10$ dB la formula esatta $1-\left[1-1{,}5\,Q\left(\sqrt{2}\right)\right]^2=0{,}222$ differisce dall'approssimata ($0{,}236$): a SNR bassi l'approssimazione sovrastima.

QAM contro PAM. La QAM con $M=L^2$ punti equivale a due PAM a $L$ livelli in quadratura: trasmette il doppio dei bit nella stessa banda $\frac1T$ ma con il doppio della banda dell'impulso. In particolare le prestazioni coincidono: PAM in banda base = QAM in banda passante con $M^2$ invece di $M$ simboli.

3. PSK (phase shift keying)

Si usano $M$ forme d'onda con la stessa ampiezza e fase variabile: $$s_n(t)=h(t)\cos\left(2\pi f_0t+\theta_n\right)=\operatorname{Re}\left[h(t)\,e^{j(2\pi f_0t+\theta_n)}\right],\qquad\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M,\ n=1,\dots,M .$$ Le fasi sono multipli dispari di $\frac\pi M$, cioè equispaziate sulla circonferenza (con un offset di $\frac\pi M$ rispetto all'asse). Con $f_0\gg B_h$. È di nuovo necessariamente passabanda.

Base e costellazione. Sviluppando $\cos(2\pi f_0t+\theta_n)=\cos\theta_n\cos(2\pi f_0t)-\sin\theta_n\sin(2\pi f_0t)$ si ottiene la forma della QAM con $x_n=\cos\theta_n$ e $y_n=\sin\theta_n$: stessa base $\varphi_1,\varphi_2$, e i punti sono $$\mathbf s_n=\sqrt{\frac{E_h}2}\left(\cos\theta_n,\ \sin\theta_n\right):$$ punti equispaziati su una circonferenza di raggio $\sqrt{\frac{E_h}2}$. Il quadrato del raggio è l'energia, uguale per tutti i simboli: $E_s=\frac{E_h}2$ (energia media, "facile").

Le regioni di decisione sono "spicchi" del piano, settori circolari di apertura $\frac{2\pi}M$ delimitati da due semirette: il modulo di $\boldsymbol\rho$ non conta, solo l'angolo. La codifica di Gray sfrutta la struttura ciclica: dopo il punto $1$ ($000$) i punti successivi in senso antiorario sono $001,011,010,110,111,101,100$, e l'ultimo ($100$) è adiacente al primo.

Distanza minima. Due punti adiacenti formano un angolo $\frac{2\pi}M$ al centro: la corda è $$\boxed{d_{min}=2\sqrt{E_s}\,\sin\frac\pi M .}$$

Probabilità d'errore. Per $M$ abbastanza grande si ragiona geometricamente. Si esce dal settore attraversando una delle due semirette di confine, ciascuna a distanza $d_1=\sqrt{E_s}\sin\frac\pi M=\frac{d_{min}}2$ dal punto. La probabilità di uscire "sotto" è (esatta, per un semipiano) $P[w_2<-d_1]=Q\left(\frac{d_1}{\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$; per l'uscita "sopra" si dice lo stesso, in modo approssimato (la semiretta è obliqua e finisce in un vertice, ma l'angolo è piccolo). Sommando le due (union bound): $$\boxed{P[E]\approx2\,Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\,\sin\frac\pi M\right)\qquad(M\ge8),\qquad P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}.}$$ (Notare che il $\sin$ sta fuori dalla radice; alcuni testi lo scrivono dentro come $\sin^2$.) Per valori piccoli di $M$ non si usa la formula generale: la PSK diventa qualcos'altro.

• $M=2$: $\theta=\pm\frac\pi2$, i due segnali sono opposti: è la modulazione antipodale, detta BPSK (binary PSK), e $P[E]=P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$ (esatta).
• $M=4$: quattro punti sulla circonferenza a $45^\circ,135^\circ,\dots$. È la QPSK (quadrature PSK), una via di mezzo tra PSK e QAM: coincide con la $4$-QAM ma con coordinate diverse ($E_s=\frac{E_h}2$ per la PSK, $E_s=E_h$ per la QAM). Espressa in $E_s$ si ottiene la stessa formula: $P[E]=2Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)-Q^2\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$ e $P_{bit}\simeq\frac{P[E]}2=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$. Si può anche vedere come modulazione biortogonale.

Esempio ($8$-PSK). $\frac{E_s}{N_0}=20$ dB: $\sqrt{2\cdot100}\sin22{,}5^\circ=14{,}14\cdot0{,}3827=5{,}41$; $P[E]\approx2Q(5{,}41)=6{,}2\cdot10^{-8}$ e $P_{bit}\approx\frac{6{,}2\cdot10^{-8}}3=2{,}1\cdot10^{-8}$.

4. Confronto tra QAM e PSK

La QAM ha una costellazione meglio spaziata, quindi a pari $M$ una $P[E]$ più bassa. Per $M$ grande $\sin\frac\pi M\approx\frac\pi M$: l'argomento della $Q$ nella PSK è $\propto\frac{\sqrt{E_s/N_0}}M$, mentre nella QAM è $\propto\frac{\sqrt{E_s/N_0}}{\sqrt M}$. Quindi ogni raddoppio di $M$ costa $6$ dB nella PSK e $3$ dB nella QAM. Valori di $\frac{E_s}{N_0}$ (dB) richiesti per $P_{bit}$ assegnata (con Gray, calcolati con le formule sopra):

Per $M=16$ la PSK richiede circa $4$ dB in più della QAM, e a $64$ simboli quasi $10$ dB. Con $64$ simboli la PSK ha una circonferenza fittissima ("affollata") mentre la QAM ha un buco ampio tra i punti. Perché allora si usa la PSK? Perché ha energia costante $E_s$ (ampiezza costante): in un canale con ampiezza molto variabile e fase quasi fissa (il caso classico: il canale satellitare, in cui le nuvole attenuano molto l'ampiezza ma lasciano quasi inalterata la fase), una modulazione di sola fase è robusta e le regioni "a spicchio" aiutano. Per questo la televisione digitale terrestre usa la QAM e quella satellitare la PSK. Anche gli amplificatori non lineari distorcono le modulazioni con ampiezza variabile e non quelle ad ampiezza costante.

5. FSK (frequency shift keying)

Simile alla modulazione di frequenza analogica, ma digitale. Nella FSK binaria (2-FSK) le due forme d'onda sono due sinusoidi a frequenze diverse, simmetriche attorno alla portante $f_0$: $$s_1(t)=A\cos\left(2\pi(f_0-f_d)t+\varphi_0\right),\qquad s_2(t)=A\cos\left(2\pi(f_0+f_d)t+\varphi_0\right),\qquad0<t<T .$$ Le energie sono uguali, perché $\cos^2=\frac12(1+\cos2x)$ e il termine oscillante si integra a circa zero: $E_1=E_2=\int_0^TA^2\cos^2(\cdot)\,dt\simeq\frac{A^2T}2=E_s$. Il prodotto scalare, con la formula di Werner $\cos a\cos b=\frac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$ (il termine alla frequenza $2f_0$ è trascurabile): $$\langle s_1,s_2\rangle=\frac{A^2}2\int_0^T\cos(2\pi\,2f_dt)\,dt=\frac{A^2}2\,\frac{\sin(4\pi f_dT)}{4\pi f_d},\qquad\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{E_s}\simeq\frac{\sin(4\pi f_dT)}{4\pi f_dT}=\boxed{\operatorname{sinc}(4f_dT)}$$ (con $\operatorname{sinc}x=\frac{\sin\pi x}{\pi x}$). La distanza e la probabilità d'errore seguono dalla formula binaria (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →): $$d=\sqrt{2E_s(1-\rho)}=A\sqrt{T\left[1-\operatorname{sinc}(4f_dT)\right]},\qquad P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{A^2T\left[1-\operatorname{sinc}(4f_dT)\right]}{4\sigma_I^2}}\right).$$

Le due sinusoidi sono ortogonali ($\rho=0$) se $4f_dT=k$ intero: la minima separazione tra le due frequenze è $2f_d=\frac1{2T}$ (e per $M$ frequenze la banda cresce come $\frac M{2T}$: la M-FSK è una modulazione ortogonale, Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →), con $P_{bit}=Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$ come l'ortogonale. Se $f_d$ è tale che $\operatorname{sinc}$ è negativo si ha meglio dell'ortogonale: il minimo $\rho_{min}=-0{,}217$ (per $4f_dT=1{,}43$) dà $(1-\rho)=1{,}217$, cioè $0{,}85$ dB di guadagno su $\frac{E_s}{N_0}$ rispetto all'ortogonale, ma resta lontano dai $3$ dB dell'antipodale; in compenso la banda cresce.

6. Schema riassuntivo

I conti sulla banda e sull'efficienza spettrale delle singole modulazioni (e sul loro confronto a SNR fissato) sono in Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →; esempi di progetto di un collegamento in Esercizio - trasmettitore con BPSK, 16-QAM o 64-QAM e distanze raggiungibili e Esercizio - da 2-PAM a 8-PAM con codifica di Gray.

Errori comuni

• Usare $\alpha_n=n$ invece di $2n-M-1$: i punti devono essere simmetrici rispetto allo zero.
• Dimenticare il fattore $2\left(1-\frac1M\right)$ (PAM) o $4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)$ (QAM): $Q$ da sola vale solo per $M=2$; in $E_h$ e in $E_s$ si confondono facilmente ($E_s=\frac{M^2-1}3E_h$).
• Usare come coordinata QAM $\alpha_n\sqrt{E_h}$ invece di $\alpha_n\sqrt{E_h/2}$ (la base ha il fattore $\sqrt{\frac2{E_h}}$).
• Applicare la formula della QAM a $M$ non quadrato ($8$, $32$): non vale.
• Usare $\sin\frac{2\pi}M$ invece di $\sin\frac\pi M$ nella PSK; usare la formula generale per $M=2$ (è la BPSK, $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$).
• Dimenticare che nella PSK tutte le energie sono uguali ($E_s=\frac{E_h}2$), mentre in PAM e QAM no.
• Dire che la PSK è meglio della QAM perché ha ampiezza costante: a pari $M$ la QAM richiede meno $\frac{E_s}{N_0}$; la PSK serve solo dove l'ampiezza costante è un requisito.