Esercizio - Collegamento BPSK su cavo con codifica di canale (simulazione d'esame 2013)

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Testo (simulazione d'esame 2013, esercizio 2). Un terminale invia continuamente richieste a un server attraverso un cavo di attenuazione specifica $\tilde a=0{,}4$ dB/m, con potenza $0{,}05$ mW e modulazione BPSK, cioè con forme d'onda $s_{1,2}(t)=\pm h(t)\cos(2\pi f_0t)$. La massima probabilità d'errore sul bit ammessa è $P_{bit}=3\cdot10^{-5}$. Ogni richiesta è inviata come pacchetto di $240$ bit, di cui i primi $6$ sono sempre $101001$ (sincronizzazione). I restanti $234$ bit sono il risultato di una codifica di canale in cui $204$ bit di informazione sono completati da altri $30$ bit di ridondanza per la correzione d'errore. La trasmissione avviene su una portante $f_0=2{,}3$ GHz con banda $B=40$ kHz, che è la minima, cioè $B=2B_h$, con $B_h$ la banda di $h(t)$.

1. Trovare la massima lunghezza del cavo per garantire $P_{bit}$, sapendo che la cifra di rumore del ricevitore è $10$ dB.
2. Se si volesse usare una 16-QAM, di quanto deve aumentare la potenza trasmessa (assumendo che la banda e la PSD del rumore $N_0$ non cambino) per ottenere la stessa $P_{bit}$?
3. Se i bit di informazione del pacchetto sono equiprobabili, quanto vale l'entropia per simbolo $H_s(X)$ di un intero pacchetto?
4. Quanto tempo serve per trasmettere un pacchetto? E, assumendo errori equiprobabili, qual è la probabilità che il pacchetto contenga errori?

Teoria usata: Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →, Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSKLe modulazioni pratiche usano un solo impulso base $h(t)$ (energia $E_h$) e coefficienti scelti in un insieme regolare. PAM: $s_n=\alpha_nh(t)$, $\alpha_n\in{-M+1,\dots,M-1}$, punti su una retta, $d_{min}=2\sqrt{E_h}$, $E_s=\frac{M^2-1}3E_h$, $P[E]=2\left(1-\frac1M\right)Q\left(\sqrt{\frac{6E_s}{(M^2-1)N_0}}\right)$. QAM: coefficienti complessi su due portanti in quadratura, base di dimensione 2, per $M=L^2$ $E_s=\frac{M-1}3E_h$ e $P[E]\approx4\left(1-\frac1{\sqrt M}\right)Q\left(\sqrt{\frac{3E_s}{(M-1)N_0}}\right)$. PSK: ampiezza costante, fasi $\theta_n=\frac{(2n-1)\pi}M$, punti su una circonferenza, $E_s=\frac{E_h}2$, $P[E]\approx2Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\sin\frac\pi M\right)$. FSK: due sinusoidi a frequenze diverse, $\rho\approx\operatorname{sinc}(4f_dT)$. Con la codifica di Gray $P_{bit}\approx\frac{P[E]}{\log_2M}$.Modulazioni PAM, PSK, QAM e FSK →, Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →, Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →, Informazione, entropia e informazione mutuaL'informazione di un evento di probabilità $P$ è $i=\log_2\frac1P$ bit; l'entropia $H(x)=\sum p\log_2\frac1p$ è l'informazione media e misura l'incertezza: $0\le H\le\log_2M$, massimo se i simboli sono equiprobabili. Per due variabili: $\max{H(x),H(y)}\le H(x,y)\le H(x)+H(y)$, $H(x|y)=H(x,y)-H(y)$ e l'informazione mutua $I(x;y)=H(x)-H(x|y)=H(x)+H(y)-H(x,y)\ge0$ (zero se e solo se indipendenti). Per una sorgente di $F_s$ simboli/s: rate di informazione $F_sH_s$, rate nominale $F_s\log_2M$, efficienza $\eta=\frac{H_s}{\log_2M}$.Informazione, entropia e informazione mutua →, Codici a blocco - distanza minima, rivelazione e correzioneLa codifica di canale aggiunge ridondanza in modo mirato: $k$ bit di informazione diventano una parola di codice di $n>k$ bit scelta tra $2^k$ parole ammesse. Se la parola ricevuta non è una parola di codice l'errore è rivelato (e si può chiedere la ritrasmissione, ARQ) oppure corretto (FEC). La qualità dipende dalla distanza minima di Hamming $d_{min}$: si rivelano fino a $d_{min}-1$ errori e se ne correggono $t<d_{min}/2$, ma non contemporaneamente. Per un BSC con $P_{bit}<1/2$ la decisione ottima ML coincide con quella a distanza minima. Limite di Hamming: $k/n\le1-\frac1n\log_2\sum_{r=0}^t\binom nr$.Codici a blocco - distanza minima, rivelazione e correzione →.

Impostazione

Con $B=2B_h$ la banda è quella minima: l'impulso in banda base ha banda $B_h=B/2=20$ kHz, e la banda minima di un impulso senza ISI ha $B_h=\frac1{2T}$ (criterio di Nyquist). Quindi il tempo di simbolo è $T=\frac1{2B_h}=\frac1B=25\ \mu$s (il simbolo BPSK porta $1$ bit: $T_b=T=25\ \mu$s, bit rate $40$ kbit/s). L'energia per simbolo è $E_s=P_{rc}T$ (potenza ricevuta per tempo di simbolo; $E_s=E_b$ in BPSK) e $\dfrac{E_s}{N_0}=\dfrac{P_{rc}T}{N_0}=\dfrac{P_{rc}}{N_0B}=\mathrm{SNR}$ perché $BT=1$.

1. Lunghezza massima del cavo

Per la BPSK, $P_{bit}=Q\Big(\sqrt{\dfrac{2E_s}{N_0}}\Big)$. Si vuole $P_{bit}=3\cdot10^{-5}$: $$Q(x)=3\cdot10^{-5}\ \Rightarrow\ x=Q^{-1}(3\cdot10^{-5})=4{,}0128\ \Rightarrow\ \frac{E_s}{N_0}=\frac{x^2}2=8{,}05\ (9{,}06\ \text{dB}).$$ (La codifica di canale non cambia questa richiesta: $P_{bit}$ è la probabilità d'errore del canale, per i bit trasmessi.) Poiché $E_s/N_0=\mathrm{SNR}=\dfrac{P_{tx}}{a_{ch}\,kT_0F\,B}$: $$a_{ch}\le\frac{P_{tx}}{kT_0F\,B\cdot(\mathrm{SNR})_{min}}.$$ Numeri: $P_{tx}=0{,}05$ mW $=5\cdot10^{-5}$ W; $F=10$ dB $=10$; $kT_0F=1{,}381\cdot10^{-23}\cdot290\cdot10=4{,}0\cdot10^{-20}$ W/Hz; $B=4\cdot10^4$ Hz. Allora $$a_{ch,max}=\frac{5\cdot10^{-5}}{4{,}0\cdot10^{-20}\cdot4\cdot10^4\cdot8{,}05}=3{,}88\cdot10^9\ \Rightarrow\ 95{,}9\ \text{dB}.$$ Lunghezza: $d_{max}=\dfrac{a_{ch,max,dB}}{\tilde a}=\dfrac{95{,}9\ \text{dB}}{0{,}4\ \text{dB/m}}=239{,}7\ \text{m}\simeq240$ m (nei cavi l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza, Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radioUn mezzo trasmissivo è noto quando si conosce la risposta in frequenza $g_{ch}(f)$ (o il guadagno di potenza $g_{ch}(f)$, cioè l'attenuazione $a_{ch}=\frac1{g_{ch}}$). Nei cavi $g_{ch}=e^{-2\alpha(f)d}$: l'attenuazione in dB è proporzionale alla distanza ($a_{ch}=\tilde a_{ch},d$, in dB/km) e a $\sqrt f$. Nelle fibre ottiche l'attenuazione è bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e la dispersione $\sigma_F$ (risposta gaussiana) limita la banda. Nei collegamenti radio in spazio libero vale la formula di Friis $a_{ch}=\frac{(4\pi d/\lambda)^2}{g_{tx}g_{rc}}$, cioè $a_{ch,dB}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-g_{tx}-g_{rc}$; fuori dallo spazio libero $a_{ch}\propto d^\beta$ con $\beta\ge2$.Mezzi trasmissivi - cavi, fibre e radio →).

2. 16-QAM con la stessa $P_{bit}$

Per la $16$-QAM (due $4$-PAM in quadratura) con codifica di Gray: $P(E)\simeq4\Big(1-\frac1{\sqrt M}\Big)Q\Big(\sqrt{\dfrac{3E_s}{(M-1)N_0}}\Big)=3\,Q\Big(\sqrt{\dfrac{E_s}{5N_0}}\Big)$ e $P_{bit}\simeq\dfrac{P(E)}{\log_2M}=\dfrac{P(E)}4=0{,}75\,Q\Big(\sqrt{\dfrac{E_s}{5N_0}}\Big)$. Si impone $P_{bit}=3\cdot10^{-5}$: $$Q(y)=4\cdot10^{-5}\ \Rightarrow\ y=3{,}9444\ \Rightarrow\ \frac{E_s}{N_0}=5y^2=77{,}8\ (18{,}9\ \text{dB}).$$ Banda e $N_0$ invariati significa stessa $T$: $E_s=P_{rc}T$. Rispetto alla BPSK ($E_s/N_0=8{,}05$) il rapporto richiesto è $$\frac{77{,}8}{8{,}05}=9{,}66\ \Rightarrow\ 9{,}85\ \text{dB}.$$ La potenza trasmessa deve aumentare di un fattore $\simeq9{,}7$ ($\simeq9{,}9$ dB), per portare $4$ bit per simbolo invece di $1$ (velocità $4$ volte maggiore nella stessa banda): è il compromesso tra efficienza spettrale e potenza (Efficienza spettrale e banda delle modulazioniLa forma $h_{Tx}(t)$ dell'impulso decide la banda e l'ISI: il rettangolo non ha ISI ma una banda enorme (lobi del sinc), il sinc ha banda minima $\frac1{2T}$ ma non è realizzabile e richiede sincronizzazione perfetta, e il coseno rialzato con roll-off $\beta$ ha banda $(1+\beta)\frac1{2T}$ ed è ISI-free ai campionamenti. L'efficienza spettrale è $\nu=\frac{R_b}{B}$ [bit/s/Hz], con massimo $\nu_{max}=\frac{R_b}{B_{min}}$ e $B_{min}=\frac1{2T}$ (banda base), $\frac1T$ (QAM, PSK passabanda), $\frac M{2T}$ (ortogonale), $\frac M{4T}$ (biortogonale). L'SNR di riferimento $\Gamma=\frac{E_s}{TN_0B_{min}}=\frac{P_{tx}}{kT_{eff,rc}B_{min}a_{ch}}\ge\Lambda$ permette di confrontare le modulazioni a $P_{bit}$ fissata; il limite di Shannon è $\nu\le\log_2(1+\Gamma)$.Efficienza spettrale e banda delle modulazioni →).

3. Entropia per simbolo del pacchetto

Il pacchetto ha $240$ simboli binari ma solo $204$ bit di informazione sono casuali: i $6$ bit di sincronizzazione sono fissi (entropia $0$) e i $30$ bit di ridondanza sono funzione deterministica degli altri $204$ (nessuna informazione in più). Con i bit di informazione equiprobabili, l'entropia dell'intero pacchetto è $204$ bit, e per simbolo: $$H_s(X)=\frac{204}{240}=0{,}85\ \text{bit/simbolo}.$$ (Il tasso del codice è $\frac{204}{234}=0{,}872$; includendo i bit di sincronizzazione nel conto scende a $0{,}85$.)

4. Tempo di pacchetto e probabilità di errore

Ogni bit è un simbolo BPSK di durata $T=25\ \mu$s: il pacchetto da $240$ bit dura $$T_{pkt}=240\cdot25\ \mu\text{s}=6\ \text{ms}.$$ Con errori sui bit equiprobabili e indipendenti ($P_{bit}=3\cdot10^{-5}$ per ciascun bit) la probabilità che il pacchetto contenga almeno un errore (prima della correzione) è $$p=1-(1-P_{bit})^{240}=1-(1-3\cdot10^{-5})^{240}=7{,}17\cdot10^{-3}\ (0{,}72\,\%)$$ (approssimazione $240\cdot P_{bit}=7{,}2\cdot10^{-3}$). Il codice di canale ridurrà ancora la probabilità di errore residua sull'informazione.