Rumore termico, temperatura e cifra di rumore

Finora si è considerato un segnale utile $v(t)$ che passa indisturbato da un generatore a un carico (Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →, Doppi bipoli, guadagno e attenuazioneTra generatore e carico c'è in generale un doppio bipolo (due porte): il canale, un amplificatore, un cavo. Con impedenze $Z_1$ in ingresso e $Z_2$ in uscita il segnale passa in cascata attraverso tre partitori, $g_1=\frac{Z_1}{Z_S+Z_1}$, $g_2=\frac{V_2}{V_1}$ e $g_L=\frac{Z_L}{Z_2+Z_L}$; il canale è $g_{ch}=g_2g_L$. Il guadagno di potenza è $g(f)=\frac{p_{out}(f)}{p_{in}(f)}$ e l'attenuazione $a(f)=\frac1{g(f)}$. Con la linea adattata ($Z_S=Z_1^$, $Z_1=Z_2=Z_L$ resistive) tutti i fattori d'impedenza si semplificano e $g(f)=\lvert g_{ch}(f)\rvert^2$; in dB $g_{dB}=20\log_{10}\lvert g_{ch}\rvert$. In cascata i guadagni si moltiplicano (si sommano in dB).Doppi bipoli, guadagno e attenuazione →). In pratica sul carico si osserva anche un piccolo segnale indesiderato: il rumore. Questa nota spiega da dove viene, come si quantifica e come si accumula in una catena di dispositivi. Versione per Ing. Elettronica: Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →; la teoria dei processi aleatori usata è in Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenzaUn processo aleatorio è un segnale i cui valori a ogni istante sono variabili aleatorie. Se è stazionario in senso lato (WSS) la media è costante e l'autocorrelazione $r_x(\tau)$ dipende solo dalla differenza dei tempi; la sua trasformata è la densità spettrale di potenza $\mathcal P_x(f)$, il cui integrale è la potenza statistica $r_x(0)$. Un filtro LTI dà $m_y=m_xH(0)$ e $\mathcal P_y=\mathcal P_x\lvert H\rvert^2$; se l'ingresso è gaussiano anche l'uscita lo è. Il rumore bianco ha $\mathcal P(f)=\frac{N_0}2$.Processi aleatori stazionari e densità spettrale di potenza →.

1. Che cos'è il rumore

Anche senza un segnale utile ($v_i=0$) ai capi del carico si misura una tensione piccola, $w_L(t)$. La si interpreta come causata da un segnale $w_i(t)$ entrato nel sistema "senza che ce ne accorgessimo", e la causa generale è la non idealità dei dispositivi (impedenze rumorose, carichi rumorosi). Il rumore è additivo: in presenza del segnale utile sul carico si osserva $v_L(t)+w_L(t)$.

Utile e rumore hanno media nulla e sono incorrelati: la potenza statistica della somma è la somma delle potenze, perché il doppio prodotto sparisce, $$E\left[(v+w)^2\right]=E[v^2]+E[w^2]+2\underbrace{E[v]E[w]}_{=0}=M_v+M_w .$$ Come quantificare "quanto disturba"? Si confrontano le potenze con il rapporto segnale-rumore (signal-to-noise ratio, SNR) $$\text{SNR}=\frac{P_v}{P_w}=\frac{M_v}{M_w}$$ (spesso in dB), e un sistema funziona se $\text{SNR}\ge$ soglia: per esempio una modulazione digitale richiede una $P_{bit}$ massima, e questa corrisponde a un SNR minimo (Probabilità d'errore e funzione QPer due segnali di energie $E_1,E_2$ con coefficiente di correlazione $\rho=\frac{\langle s_1,s_2\rangle}{\sqrt{E_1E_2}}$ la distanza è $d_{12}=\sqrt{E_1+E_2-2\rho\sqrt{E_1E_2}}$ e, con rumore AWGN, simboli equiprobabili e criterio MD, $P[E]=Q\left(\frac{d_{12}}{2\sigma_I}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{E_s(1-\rho)}{N_0}}\right)$ con $\sigma_I^2=\frac{N_0}2$ e $Q$ la coda della gaussiana. Il caso antipodale ($\rho=-1$) dà $Q\left(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}}\right)$, l'ortogonale ($\rho=0$) $Q\left(\sqrt{\frac{E_s}{N_0}}\right)$: 3 dB peggio. Con $M>2$ segnali si usano limiti: $\frac{N^*}M Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)\le P[E]\le(M-1)Q\left(\frac{d_{min}}{2\sigma_I}\right)$ (union bound); la probabilità dipende solo da $\frac{E_s}{N_0}$, cioè dall'SNR.Probabilità d'errore e funzione Q →).

2. Il rumore termico

La causa principale è il rumore termico o effetto Johnson-Nyquist: gli elettroni in un conduttore non sono fermi ma subiscono un'agitazione termica disordinata (un moto browniano, con urti casuali contro gli atomi). Ognuno produce un breve impulso di corrente; la corrente media è nulla, ma la somma di moltissimi impulsi dà una componente alternata misurabile, anche con $v(t)=0$. Più alta è la temperatura più il moto è disordinato, da cui il nome "termico".

Per una resistenza $R(f)$ alla temperatura assoluta $T$ (in kelvin) il rumore di tensione a vuoto $w_i(t)$ è un processo gaussiano a media nulla con densità spettrale di potenza $$\boxed{\mathcal P_w(f)=2kT\,R(f)\,\gamma(f)},\qquad\gamma(f)=\frac{hf}{kT}\left(e^{hf/kT}-1\right)^{-1},$$ con $k=1{,}3805\cdot10^{-23}$ J/K la costante di Boltzmann e $h=6{,}6262\cdot10^{-34}$ J$\cdot$s la costante di Planck. Per un'impedenza $Z=R+jX$ conta solo la parte resistiva $R$ (la reattanza non dissipa). Un'impedenza ideale è come se fosse a 0 K: nessun rumore.

Il termine correttivo $\gamma(f)$. Dalla regola $\frac{x}{e^x-1}\to1$ per $x\to0$ e $\to0$ per $x\to\infty$, si ha $\gamma(f)\approx1$ finché $hf\ll kT$, cioè $f\ll\frac{kT}{h}$, e $\gamma(f)\to0$ per $f\to\infty$.

A $T=T_0=290$ K (la temperatura ambiente convenzionale) si ha $\frac{kT}{h}=\frac{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot290}{6{,}63\cdot10^{-34}}\approx6\cdot10^{12}$ Hz: anche a $60$ GHz (una frequenza altissima per i sistemi reali) $\frac{hf}{kT}=0{,}0099$ e $\gamma=0{,}995$. Praticamente sempre $\gamma(f)\approx1$ e $$\mathcal P_w(f)=2kTR(f)\qquad\text{per }f\ll\frac{kT}h .$$ Il modello del circuito equivalente è un resistore ideale senza rumore in serie a un generatore di tensione $w_i(t)$ con questa PSD.

Quanta potenza arriva a un carico adattato? Si collega la resistenza rumorosa $R_S$ (alla temperatura $T$) a un carico adattato $Z_L=Z_S^*$, a sua volta a $0$ K. La formula della densità di potenza elettrica sul carico (Potenza elettrica, impedenza e adattamento di caricoIn un sistema di telecomunicazione si usano due "potenze" diverse: la potenza statistica $M_v=E[v^2]$ (in V$^2$) e la potenza elettrica $P=\int p(f),df$ (in W), con densità $p(f)=\mathcal P_v(f)\frac{R(f)}{\lvert Z(f)\rvert^2}$; con una resistenza pura $P=M_v/R$. Un generatore $v_i$ con impedenza $Z_S$ trasferisce al carico $Z_L$ la massima potenza quando $Z_L=Z_S^*$ (adattamento di carico); con impedenze resistive si trasferisce al più il 25% della potenza del generatore, e per questo la potenza trasmessa è definita come $P_{tx}=P_i/4$. Un collegamento senza distorsione (condizioni di Heaviside) ha $v_L(t)=A_0v_i(t-t_0)$.Potenza elettrica, impedenza e adattamento di carico →) con $\mathcal P_{w_i}=2kTR_S$ dà $$p_{w_L}(f)=\mathcal P_{w_i}\frac{R_L}{|Z_S+Z_L|^2}=2kTR_S\frac{R_S}{(2R_S)^2}=\boxed{\tfrac12\,kT}\quad[\text{W/Hz}] .$$ Due osservazioni importanti:

• non dipende da $f$ (è bianca) e non dipende da $R$: il rumore trasferito dipende solo dalla temperatura. È per questo che i radiotelescopi, che cercano segnali debolissimi dallo spazio, usano circuiti raffreddati con azoto liquido (altrimenti il rumore termico coprirebbe il segnale);
• la densità $\frac12kT$ è bilatera (definita su $f\in(-\infty,+\infty)$): per una banda $B$ (da $-B$ a $B$, larga $2B$) la potenza elettrica è $$P_{w_L}=2\int_0^B\tfrac12kT\,df=\boxed{kTB}\quad[\text{W}] ,$$ cioè la potenza di rumore disponibile. Sul resistore stesso (prima del partitore) la potenza in banda sarebbe quattro volte più grande, $4kTRB$ (in V$^2$): al carico va solo il $25\%$, per il fattore $\frac14$ visto nell'adattamento.

Bianco. Una PSD costante vuol dire che l'autocorrelazione è un impulso, $r_w(\tau)=\frac{kT}2\delta(\tau)$: il rumore è incorrelato con ogni sua copia ritardata. È il rumore bianco (per analogia con la luce bianca, che ha la stessa potenza a tutte le frequenze). È un modello matematico, non esatto a ogni frequenza: se $\mathcal P_w$ fosse costante su tutto l'asse la potenza totale $\int\mathcal P_w\,df$ sarebbe infinita; per questo $\gamma(f)\to0$. In pratica ci si limita alla banda del segnale (che è comunque limitata), e lì si usa $\frac12kT$.

Altri tipi di rumore. Oltre al termine termico esistono il rumore granulare o shot noise (dovuto alla natura discreta della carica, anch'esso bianco), il flicker noise (PSD $\propto\frac1f$, a bassa frequenza, detto "rosa", intermedio tra il bianco e il "rosso" con PSD $\propto\frac1{f^2}$) e molti altri. Quelli con PSD non costante sono detti rumori colorati.

3. La temperatura di rumore di una sorgente

Il rumore termico dipende solo da $T$, quindi conviene esprimere qualunque rumore di una sorgente con una temperatura. Se il rumore in banda stretta ai capi del carico adattato ha densità $p_{w_L}(f)$, si definisce la temperatura di rumore (noise temperature) $$\boxed{T_s(f)=\frac{p_{w_L}(f)}{\frac12k}}\quad[\text{K}].$$ È una temperatura fittizia: modella gli effetti di rumore come se fossero tutti dovuti all'agitazione termica. Se l'unico rumore è quello termico (sempre presente) allora $T_s=T$, la temperatura fisica; con altri contributi $T_s(f)\ge T$. In generale dipende da $f$ (per questo non è una temperatura fisica vera, che è un numero e non una funzione di $f$), ma la dipendenza si ignora in banda stretta.

A temperatura ambiente $T_0=290$ K si ha $$kT_0=4{,}0\cdot10^{-21}\ \text{W/Hz}=4\cdot10^{-18}\ \text{mW/Hz}=-174\ \text{dBm/Hz},$$ il noise floor (soglia di rumore), cioè $10^{-17,4}$ mW/Hz: la potenza di rumore in banda $B$ è almeno $kT_0B$. Su una banda di $1$ MHz ($+60$ dB) è $-174+60=-114$ dBm: è il numero $114$ che comparirà nel link budget (Link budgetIl sistema di trasmissione si modella con un canale che attenua ($a_{ch}$) e filtra il segnale, un rumore additivo bianco gaussiano (AWGN) che si somma dopo il canale, e un ricevitore con cifra di rumore $F_{rc}$. Il link budget è il bilancio che dà l'SNR in ricezione, $\text{SNR}=\frac{P_{tx}}{a_{ch},kT_0F_{rc},B}=\frac{M_{tx}}{a_{ch}N_0B}$, che deve superare una soglia; in dB (banda stretta) $\text{SNR}{dB}=(P{tx}){dBm}+114-(a{ch}){dB}-(F{rc}){dB}-10\log{10}B_{MHz}$. Lo si usa per ricavare la potenza minima, la banda massima o la distanza massima di un collegamento.Link budget →). Con $T_s=T_0$ e solo rumore termico, $p_{w_L}=\frac12kT_0$.

4. Doppi bipoli rumorosi

Se tra la sorgente e il carico c'è un doppio bipolo, ci si aspetta più rumore oltre a quello "dovuto alla sorgente". Si indicano con $g_A(f)$ il guadagno del doppio bipolo e con $T_s$ la temperatura della sorgente.

• Il rumore della sorgente, in ingresso, ha densità $p^{(S)}_{w_{in}}=\frac12kT_s$ e in uscita, amplificato, $p^{(S)}_{w_{out}}=\frac12kT_sg_A$.
• Il doppio bipolo aggiunge un rumore proprio $p^{(A)}_{w_{out}}$. Poiché sorgente e doppio bipolo sono incorrelati, si sommano le densità (le potenze): $$p^{(tot)}_{w_{out}}=p^{(S)}_{w_{out}}+p^{(A)}_{w_{out}}=\tfrac12kT_s\,g_A+p^{(A)}_{w_{out}} .$$ Si vuole una descrizione del secondo termine simile a quella del primo: si finge di avere un doppio bipolo ideale (senza rumore) e di spiegare il rumore aggiunto con una temperatura in più, $T_A$, riferita all'ingresso: $$\boxed{T_A(f)=\frac{p^{(A)}_{w_{out}}(f)}{\frac12k\,g_A(f)}}=\frac{p^{(A)}_{w_{in}}(f)}{\frac12k}\qquad[\text{K}],$$ dove $p^{(A)}_{w_{in}}=\frac{p^{(A)}_{w_{out}}}{g_A}$ è il rumore aggiunto riportato all'ingresso. Anche $T_A$ è fittizia, in kelvin, e $T_A\ge0$. Si ottiene $$p^{(tot)}_{w_{out}}=\tfrac12k\left(T_s+T_A\right)g_A,\qquad\boxed{T_{eff}=T_s+T_A}\quad(\text{temperatura efficace}),$$ perché all'ingresso la densità totale di rumore equivalente è $\frac12k(T_s+T_A)$.

5. La cifra di rumore

Un altro modo di dare la stessa informazione, usatissimo nei fogli dati, è la cifra di rumore (noise figure) $F$. Prima una osservazione preliminare: in condizioni di adattamento e di banda stretta, un doppio bipolo senza rumore amplifica allo stesso modo segnale e rumore, quindi $$\text{SNR}_{in}=\frac{p_{v_{in}}}{p^{(S)}_{w_{in}}}=\frac{p_{v_{in}}g_A}{p^{(S)}_{w_{in}}g_A}=\text{SNR}_{out}$$ (se l'SNR è un rapporto di potenze, il guadagno $g_A$ si semplifica; per segnali larghi servirebbe integrare $2\int_{\mathcal B}p\,g_A\,df$, ma nel corso si resta in banda stretta, e si può calcolare l'SNR indifferentemente con potenze statistiche o elettriche e in ingresso o in uscita). Un doppio bipolo rumoroso aggiunge rumore, quindi $\text{SNR}_{out}<\text{SNR}_{in}$. Per misurare di quanto serve un riferimento: si prende una sorgente a temperatura $T_0=290$ K con solo rumore termico, $p^{(S)}_{w_{in}}=\frac12kT_0$. Allora $$\text{SNR}_{out}=\frac{p_{v_{in}}g_A}{p^{(S)}_{w_{in}}g_A\left(1+\dfrac{p^{(A)}_{w_{in}}}{p^{(S)}_{w_{in}}}\right)}=\frac{\text{SNR}_{in}}{F}.$$ Il termine $>1$ che compare al denominatore è proprio la cifra di rumore: $$\boxed{F(f)=1+\frac{p^{(A)}_{w_{in}}(f)}{\frac12kT_0}=\frac{p^{(tot)}_{w_{out}}(f)}{p^{(S,rif)}_{w_{out}}(f)}=1+\frac{T_A(f)}{T_0}},\qquad F_{dB}=10\log_{10}F .$$ (La cifra di rumore va usata solo se la temperatura fisica è vicina a $T_0$: per questo la sorgente di riferimento è a $T_0$.) Poiché $T_A\ge0$ si ha $F\ge1$, cioè $F_{dB}\ge0$ dB, con $F=1$ per un doppio bipolo ideale. In dB l'SNR scende semplicemente di $F_{dB}$: $$\text{SNR}_{out,dB}=\text{SNR}_{in,dB}-F_{dB}.$$

Legame $F\leftrightarrow T_A$: $$F=1+\frac{T_A}{T_0}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{T_A=T_0\,(F-1)},\qquad T_{eff}=T_s+T_0(F-1)=T_0F\ \text{ se }T_s=T_0 .$$ Attenzione: $T_A=T_0(F-1)$, non $T_0F$ (quella è $T_{eff}$ con sorgente a $T_0$).

Caso particolare: doppio bipolo passivo a temperatura $T_0$. Un doppio bipolo passivo (senza generatori né transistor: un cavo, un attenuatore) a $T_0$ ha attenuazione $a=\frac1{g_A}>1$. Non vuol dire che non aggiunga rumore! Si ragiona sulle densità in uscita:

• il rumore della sorgente (a $T_0$) attenuato: $p^{(S)}_{w_{out}}=\frac12kT_0\,\frac1a<\frac12kT_0$;
• ma il sistema passivo a $T_0$, collegato a una sorgente a $T_0$, è in equilibrio termico e dà in uscita la stessa densità che avrebbe un resistore a $T_0$: $p^{(tot)}_{w_{out}}=\frac12kT_0$;
• dunque il rumore aggiunto vale $p^{(A)}_{w_{out}}=\frac12kT_0\left(1-\frac1a\right)$.

Sostituendo nella definizione di $F$: $$F=1+\frac{p^{(A)}_{w_{out}}\,a}{\frac12kT_0}=1+\left(1-\frac1a\right)a=1+a-1=\boxed{a}\qquad(F=a,\ F_{dB}=a_{dB}).$$ La cifra di rumore di un doppio bipolo passivo a $T_0$ è uguale alla sua attenuazione. Un cavo che attenua di $3$ dB ha $F=3$ dB, $T_A=T_0(a-1)=290$ K. Se il doppio bipolo è a una temperatura fisica diversa, $T_1\neq T_0$: $F=1+\frac{T_1}{T_0}(a-1)$ (per esempio $a=3$ dB, $T_1=330$ K: $F=1+\frac{330}{290}\cdot0{,}995=2{,}13$).

6. Cascata di doppi bipoli rumorosi

Due doppi bipoli in cascata (con le impedenze adattate), caratterizzati da $(g_1,T_1,F_1)$ e $(g_2,T_2,F_2)$, si vogliono vedere come un unico doppio bipolo equivalente $(g_c,T_c,F_c)$. I guadagni si moltiplicano: $g_c=g_1g_2$. Per il rumore, la densità di potenza in ingresso è $\frac12kT_s$ (sorgente) e:

• all'uscita del primo doppio bipolo: $\frac12kT_sg_1+\frac12kT_1g_1$;
• il secondo ne amplifica per $g_2$ il segnale che gli arriva, e aggiunge il suo rumore proprio (che non è amplificato da $g_1$): $\frac12k(T_s+T_1)g_1g_2+\frac12kT_2g_2$.

Si raccoglie $g_1g_2$ e si confronta con la definizione $\frac12k(T_s+T_c)g_c$: $$p_{w_{out}}=\tfrac12k\left(T_s+T_1+\frac{T_2}{g_1}\right)g_1g_2\quad\Longrightarrow\quad T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1} .$$ Il rumore del secondo stadio, riferito all'ingresso, pesa $\frac1{g_1}$: il guadagno del primo lo "nasconde". Generalizzando e passando alla cifra di rumore con $T=T_0(F-1)$ (si divide per $T_0$ e si aggiunge $1$) si ottiene la formula di Friis per la cascata:

Formula (Friis). $$T_c=T_1+\frac{T_2}{g_1}+\frac{T_3}{g_1g_2}+\cdots,\qquad F_c=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\cdots,\qquad g_c=g_1g_2g_3\cdots$$ (tutte le grandezze in lineare).

Conseguenza pratica. L'ordine conta (solo i guadagni sono commutativi): il rumore del primo stadio entra per intero, quello dei successivi è diviso per il guadagno di tutto ciò che li precede. Quindi il primo stadio della catena è critico e deve avere basso rumore ($T_1,F_1$ piccoli) e alto guadagno ($g_1$ grande). In pratica si mette subito dopo la sorgente un blocco con alto guadagno e basso rumore (un amplificatore a basso rumore, LNA), e dopo di lui filtro, oscillatore, decodificatore, ricevitore: tutti meno importanti. Nella televisione di casa, l'antenna sul tetto agisce da sorgente e il suo LNA sta a ridosso dell'antenna, prima del lungo cavo.

7. Esempi numerici

Esempio 1 (catena di ricezione). Un'antenna con $T_s=100$ K alimenta, nell'ordine, un LNA ($g_1=25$ dB $=316$, $F_1=1{,}5$ dB $=1{,}41$), un cavo passivo a $T_0$ ($a=6$ dB, quindi $g_2=0{,}251$ e $F_2=a=3{,}98$) e un ricevitore ($F_3=10$ dB). Formula di Friis: $$F_c=1{,}41+\frac{3{,}98-1}{316}+\frac{10-1}{316\cdot0{,}251}=1{,}41+0{,}0094+0{,}113=1{,}535\ (1{,}86\ \text{dB}).$$ Temperatura equivalente: $T_A=290\cdot0{,}535=155$ K, $T_{eff}=100+155=255$ K. Se invece il cavo fosse messo prima dell'LNA (ordine cavo, LNA, ricevitore): $F_c=3{,}98+\frac{1{,}41-1}{0{,}251}+\frac{10-1}{0{,}251\cdot316}=3{,}98+1{,}63+0{,}113=5{,}74$ ($7{,}59$ dB), $T_{eff}=100+1374=1474$ K: il rumore equivalente sarebbe $5{,}8$ volte maggiore, cioè $7{,}6$ dB di SNR in meno. Per questo l'LNA va montato a ridosso dell'antenna.

Esempio 2 (confronto di due amplificatori, esercizio di foglio). Due amplificatori $A_1$ ($g=5$ dB, $F=5$ dB) e $A_2$ ($g=8$ dB, $F=7$ dB) si dispongono in cascata dopo una sorgente a $100$ K. Il guadagno totale è lo stesso nei due ordini, quindi anche il segnale in uscita: conta solo il rumore, cioè $T_{eff}=T_s+T_0(F_c-1)$. Con $F_{A_1}=3{,}16$, $F_{A_2}=5{,}01$, $g_{A_1}=3{,}16$, $g_{A_2}=6{,}31$:

• $A_1\to A_2$: $F_c=3{,}16+\frac{5{,}01-1}{3{,}16}=4{,}43$ ($6{,}46$ dB), $T_{eff}=100+290\cdot3{,}43=1095$ K;
• $A_2\to A_1$: $F_c=5{,}01+\frac{3{,}16-1}{6{,}31}=5{,}35$ ($7{,}29$ dB), $T_{eff}=1363$ K.

Conviene $A_1\to A_2$: il primo dispositivo ha più basso rumore, anche se guadagna meno. La differenza di $T_{eff}$ è un SNR migliore di $10\log_{10}\frac{1363}{1095}=0{,}95$ dB.

Esempio 3 (SNR in uscita). Un segnale ha $\text{SNR}_{in}=40$ dB all'ingresso di un doppio bipolo con $F=7$ dB: $\text{SNR}_{out}=40-7=33$ dB.

Errori comuni

• Sommare le cifre di rumore in dB: in cascata si sommano le cifre lineari pesate come da formula di Friis.
• Dimenticare il $-1$ ($F_2-1$, $F_3-1$) nella formula di Friis per la cascata.
• Usare $T_A=T_0F$ invece di $T_A=T_0(F-1)$.
• Mettere in prima posizione lo stadio più "bello" per guadagno ma rumoroso: conta il rumore del primo, non solo il guadagno complessivo.
• Dire che la potenza di rumore dipende dalla resistenza $R$: su un carico adattato è $kTB$, indipendente da $R$.
• Confondere la densità bilatera $\frac12kT$ (su $(-\infty,+\infty)$) con quella unilatera $kT$: la potenza su banda $B$ è comunque $kTB$.