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Note per Studenti Esercizio 17 · linea con attenuazione che cresce con la radice della frequenza

Esercizio 17linea con attenuazione che cresce con la radice della frequenza

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Testo. Una linea di trasmissione lunga 2020 km ha impedenza caratteristica Z0=377 ΩZ_0=377\ \Omega a tutte le frequenze di interesse e attenuazione specifica di 11 dB/km alla frequenza f0=10f_0=10 MHz. Ipotizzando condizioni di adattamento in trasmissione e ricezione determinare:

a) Il modulo della risposta in frequenza della linea (NB. ∣G(f)∣\lvert G(f)\rvert è una funzione della frequenza). b) La potenza statistica del segnale di tensione ricevuto, sapendo che il segnale trasmesso ha potenza elettrica Ps=1P_s=1 mW uniformemente distribuita sulla banda [−f1,f1][-f_1,f_1] con f1=40f_1=40 MHz. c) Il rapporto segnale/rumore in ricezione, calcolato sulla banda del segnale, sapendo che la linea si trova alla temperatura T0=290T_0=290 K e che il ricevitore ha cifra di rumore F=10F=10 dB.

Teoria usata: Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radioIl mezzo di trasmissione fissa l'attenuazione $a_{ch}$ nel link budget. Nei cavi $H_{ch}=e^{-\gamma d}$ e l'attenuazione in dB cresce con la distanza ($a=\tilde a,d$, dB/km) e con $\sqrt f$. Le fibre ottiche hanno banda larghissima (10¹⁴-10¹⁵ Hz), attenuazione bassa in tre finestre di lunghezza d'onda e limitazione dalla dispersione. Nei collegamenti radio vale la formula di Friis, $g_{ch}=g_{tx}g_{rx}\left(\frac\lambda{4\pi d}\right)^2$, cioè $a_{ch}=32{,}4+20\log_{10}d_{km}+20\log_{10}f_{MHz}-G_{tx}-G_{rx}$ dB.Mezzi di trasmissione - cavi, fibre e collegamenti radio →, Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →, Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenzaUn generatore con impedenza $Z_S$ che alimenta un carico $Z_L$ trasferisce la massima potenza se $Z_L=Z_S^$ (adattamento): la densità di potenza elettrica è $p_L(f)=\mathcal P_{v}(f)\frac{R_L}{\lvert Z_L+Z_S\rvert^2}$ e vale $\frac{\mathcal P_v}{4R_S}$ nel caso adattato. Il rumore termico di una resistenza ha $\mathcal P_w(f)=2kTR_S$ e, adattato, trasferisce $\frac12kT$ W/Hz. Un doppio bipolo (quadripolo) è adattato se $Z_1=Z_S^$ e $Z_L=Z_2^*$; il guadagno in potenza $g=\frac{P_{out}}{P_{in}}$ coincide con $\lvert G_{ch}\rvert^2$ e in dB è il doppio del guadagno in ampiezza.Bipoli, doppi bipoli e adattamento di impedenza →.

a) Risposta in frequenza

L'attenuazione specifica cresce con la radice della frequenza, a~(f)=a~(f0)∣f∣f0=1 dB/km⋅∣f∣10 MHz\tilde a(f)=\tilde a(f_0)\sqrt{\frac{\lvert f\rvert}{f_0}}=1\ \text{dB/km}\cdot\sqrt{\frac{\lvert f\rvert}{10\ \text{MHz}}}, quindi su L=20L=20 km l'attenuazione totale è a(f)=a~(f) L=20∣f∣f0 dB.a(f)=\tilde a(f)\,L=20\sqrt{\frac{\lvert f\rvert}{f_0}}\ \text{dB}. Il guadagno in potenza è gch(f)=∣G(f)∣2=10−a(f)/10g_{ch}(f)=\lvert G(f)\rvert^2=10^{-a(f)/10}, e il guadagno in ampiezza ∣G(f)∣=10−a(f)/20=10−∣f∣/f0.\lvert G(f)\rvert=10^{-a(f)/20}=10^{-\sqrt{\lvert f\rvert/f_0}}. Valori: a f0=10f_0=10 MHz ∣G∣=0,1\lvert G\rvert=0{,}1 (−20-20 dB); a f=40f=40 MHz ∣G∣=10−2\lvert G\rvert=10^{-2} (−40-40 dB, gch=10−4g_{ch}=10^{-4}). L'attenuazione cresce da 00 a 4040 dB lungo la banda: il segnale arriva con lo spettro "inclinato".

Grafico interattivo: Attenuazione totale a(f) = 20·√(f/f₀) dB della linea di 20 km in funzione di f (MHz): 20 dB a f₀ = 10 MHz e 40 dB a 40 MHz, quindi la banda del segnale è attenuata in modo molto diverso (da 0 a 40 dB) e non si può usare un unico valore

b) Potenza ricevuta

La densità di potenza elettrica trasmessa è uniforme su [−f1,f1][-f_1,f_1]: pin(f)=Ps2f1rect⁡(f2f1)=10−38⋅107=1,25⋅10−11 W/Hz.p_{in}(f)=\frac{P_s}{2f_1}\operatorname{rect}\left(\frac f{2f_1}\right)=\frac{10^{-3}}{8\cdot10^7}=1{,}25\cdot10^{-11}\ \text{W/Hz}. In ricezione pout(f)=pin(f) gch(f)p_{out}(f)=p_{in}(f)\,g_{ch}(f), con gch(f)=10−2∣f∣/f0=e−k∣f∣g_{ch}(f)=10^{-2\sqrt{\lvert f\rvert/f_0}}=e^{-k\sqrt{\lvert f\rvert}} e k=2ln⁡10f0=1,456⋅10−3 Hz−1/2k=\frac{2\ln10}{\sqrt{f_0}}=1{,}456\cdot10^{-3}\ \text{Hz}^{-1/2}. Integrando (funzione pari): Pout=2∫0f1pin e−kf df.P_{out}=2\int_0^{f_1}p_{in}\,e^{-k\sqrt f}\,df. Con la sostituzione u=kfu=k\sqrt f (f=u2k2f=\frac{u^2}{k^2}, df=2uk2dudf=\frac{2u}{k^2}du) l'integrale diventa ∫u e−udu=1−(1+u)e−u\int u\,e^{-u}du=1-(1+u)e^{-u} e Pout=4pink2[1−(1+u1)e−u1],u1=kf1=9,21.P_{out}=\frac{4p_{in}}{k^2}\left[1-(1+u_1)e^{-u_1}\right],\qquad u_1=k\sqrt{f_1}=9{,}21. Numericamente 4⋅1,25⋅10−11(1,456⋅10−3)2=2,358⋅10−5\frac{4\cdot1{,}25\cdot10^{-11}}{(1{,}456\cdot10^{-3})^2}=2{,}358\cdot10^{-5} W e [1−10,21 e−9,21]=0,999\left[1-10{,}21\,e^{-9{,}21}\right]=0{,}999: Pout=2,355⋅10−5 W=0,0236 mW (−16,3 dBm),P_{out}=2{,}355\cdot10^{-5}\ \text{W}=0{,}0236\ \text{mW}\ (-16{,}3\ \text{dBm}), cioè −16,3-16{,}3 dBm contro 00 dBm trasmessi: 16,316{,}3 dB di attenuazione media (dominata dalle basse frequenze, che attenuano poco). La potenza statistica della tensione ricevuta è, con linea adattata (R=Z0=377 ΩR=Z_0=377\ \Omega): Ms=Pout⋅Z0=2,355⋅10−5⋅377=8,88⋅10−3 V2.M_s=P_{out}\cdot Z_0=2{,}355\cdot10^{-5}\cdot377=8{,}88\cdot10^{-3}\ \text{V}^2.

c) SNR in ricezione

La temperatura efficace è Teff=TS+T0(F−1)=T0F=290⋅10=2900T_{eff}=T_S+T_0(F-1)=T_0F=290\cdot10=2900 K (la linea è a T0T_0 e il ricevitore ha F=10F=10 dB). Il rumore sulla banda del segnale [−f1,f1][-f_1,f_1] (densità bilatera 12kTeff\frac12kT_{eff} su una larghezza 2f12f_1): Pw=12kTeff⋅2f1=kTefff1=1,38⋅10−23⋅2900⋅4⋅107=1,60⋅10−12 W.P_w=\tfrac12kT_{eff}\cdot2f_1=kT_{eff}f_1=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot2900\cdot4\cdot10^7=1{,}60\cdot10^{-12}\ \text{W}. L'SNR è Λ=PoutPw=2,355⋅10−51,601⋅10−12=1,47⋅107 ⟹ 71,7 dB.\Lambda=\frac{P_{out}}{P_w}=\frac{2{,}355\cdot10^{-5}}{1{,}601\cdot10^{-12}}=1{,}47\cdot10^7\ \Longrightarrow\ 71{,}7\ \text{dB}.

Nota. La soluzione pubblicata con il foglio dà 8,90⋅10−58{,}90\cdot10^{-5} W e 83,583{,}5 dB: ha un'attenuazione specifica dimezzata nell'esponenziale (usa a~(f)=1 dB/kmf/f0\tilde a(f)=1\ \text{dB/km}\sqrt{f/f_0} come se la linea fosse lunga 1010 km) e un rumore di 4⋅10−134\cdot10^{-13} W invece di 1,6⋅10−121{,}6\cdot10^{-12} W (kTefff1kT_{eff}f_1 con f1=40f_1=40 MHz). Qui i valori sono ricalcolati e verificati numericamente (integrazione di pingchp_{in}g_{ch} con scipy e forma chiusa: 2,3552⋅10−52{,}3552\cdot10^{-5} W; Pw=1,6008⋅10−12P_w=1{,}6008\cdot10^{-12} W; SNR 71,6871{,}68 dB).

Errori comuni

  • Dimenticare di moltiplicare l'attenuazione specifica per la lunghezza (2020 km) prima di passare ai dB di potenza.
  • Usare l'attenuazione a f0f_0 (una sola frequenza) per tutta la banda: con f\sqrt f varia da 00 a 4040 dB.
  • Calcolare il rumore su f1f_1 invece che su 2f12f_1 (o dimenticare il 12\frac12 della densità bilatera): Pw=kTefff1P_w=kT_{eff}f_1.
  • Passare dalla potenza elettrica (P=1P=1 mW) alla statistica senza moltiplicare per Z0=377 ΩZ_0=377\ \Omega.

Versione ripasso

Testo. Linea 2020 km, Z0=377 ΩZ_0=377\ \Omega, 11 dB/km a f0=10f_0=10 MHz (∝f\propto\sqrt f); segnale 11 mW uniforme su [−f1,f1][-f_1,f_1], f1=40f_1=40 MHz; T0=290T_0=290 K, F=10F=10 dB: ∣G(f)∣\lvert G(f)\rvert, potenza statistica ricevuta, SNR.

  • a) a(f)=20∣f∣/f0a(f)=20\sqrt{\lvert f\rvert/f_0} dB; ∣G∣=10−∣f∣/f0\lvert G\rvert=10^{-\sqrt{\lvert f\rvert/f_0}} (0,10{,}1 a 1010 MHz, 0,010{,}01 a 4040 MHz).
  • b) pin=Ps2f1=1,25⋅10−11p_{in}=\frac{P_s}{2f_1}=1{,}25\cdot10^{-11}; Pout=2∫0f1pine−kfdf=4pink2[1−(1+u1)e−u1]P_{out}=2\int_0^{f_1}p_{in}e^{-k\sqrt f}df=\frac{4p_{in}}{k^2}\left[1-(1+u_1)e^{-u_1}\right], k=2ln⁡10f0k=\frac{2\ln10}{\sqrt{f_0}}, u1=kf1=9,21u_1=k\sqrt{f_1}=9{,}21: 2,355⋅10−52{,}355\cdot10^{-5} W; Ms=PoutZ0=8,88⋅10−3M_s=P_{out}Z_0=8{,}88\cdot10^{-3} V².
  • c) Teff=T0F=2900T_{eff}=T_0F=2900 K; Pw=kTefff1=1,6⋅10−12P_w=kT_{eff}f_1=1{,}6\cdot10^{-12} W; Λ=1,47⋅107=71,7\Lambda=1{,}47\cdot10^7=71{,}7 dB (la soluzione del foglio, 83,583{,}5 dB, ha due errori).
  • Errori: attenuazione specifica senza ⋅L\cdot L; una sola frequenza per tutta la banda; rumore su f1f_1; potenza elettrica ≠\ne statistica.

Teoria collegata