Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio 16 · quadripoli in cascata, figura di rumore e ordine degli amplificatori

Esercizio 16quadripoli in cascata, figura di rumore e ordine degli amplificatori

In questa pagina 4

Testo. Una sonda spaziale si trova alla temperatura di 100100 K. Il mezzo trasmissivo visto dall'antenna di ricezione può essere modellato come un'impedenza di 377 Ω377\ \Omega e l'antenna ha guadagno gant=20g_{ant}=20 dB. Al ricevitore si possono utilizzare due amplificatori, A1A_1 e A2A_2, con guadagni e cifre di rumore rispettivamente g1=5g_1=5 dB, F1=5F_1=5 dB e g2=8g_2=8 dB, F2=7F_2=7 dB. In termini di SNR di riferimento all'ingresso (sulla banda del segnale), è più conveniente collegare all'antenna l'amplificatore A1A_1 seguito da A2A_2 o viceversa?

Teoria usata: Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoliUn quadripolo reale amplifica il segnale con guadagno $g$ ma aggiunge rumore: lo si descrive con la temperatura di rumore $T_A$ (rumore riferito all'ingresso) oppure con la figura di rumore $F=1+\frac{T_A}{T_0}$, con $T_0=290$ K, cioè $T_A=T_0(F-1)$. La temperatura efficace all'ingresso è $T_{eff}=T_S+T_A$. In cascata i guadagni si moltiplicano e $F_{eq}=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}+\frac{F_3-1}{g_1g_2}+\dots$: conta l'ordine, il primo stadio deve avere basso rumore e alto guadagno. Un quadripolo passivo a $T_0$ ha $F=a$ (attenuazione).Guadagno, temperatura e figura di rumore - cascata di quadripoli →, Decibel, dBW e dBmIl decibel misura un rapporto tra due potenze su scala logaritmica: $[x]{dB}=10\log{10}x$ (per le ampiezze $20\log_{10}$). Prodotti diventano somme e rapporti differenze, quindi guadagni e attenuazioni in cascata si sommano. Per una potenza assoluta si usa un riferimento: $P_{dBW}=10\log_{10}P_W$, $P_{dBm}=10\log_{10}P_{mW}=P_{dBW}+30$. Valori da ricordare: $3\ \text{dB}\approx\times2$, $10\ \text{dB}=\times10$, $20\ \text{dB}=\times100$.Decibel, dBW e dBm →, Modello AWGN, SNR e link budget a banda strettaIl sistema di trasmissione si modella con un canale che filtra il segnale ($h_{ch}$), un rumore additivo bianco gaussiano $w_{rc}$ (AWGN) di densità bilatera $\frac{N_0}2$ e un filtro di ricezione. L'SNR è il rapporto tra potenza del segnale e del rumore. Con canale a banda stretta ($H_{ch}$ costante nella banda) il link budget dà $\Lambda=\frac{P_{tx}}{kT_{eff}B,a_{ch}}$, in dB $\Lambda_{dB}=P_{tx,dBm}-a_{ch,dB}+114-F_{dB}-10\log_{10}B_{MHz}$ (con sorgente a $T_0$).Modello AWGN, SNR e link budget a banda stretta →.

Impostazione

Si convertono i dati in lineare: g1=5 dB=3,16g_1=5\ \text{dB}=3{,}16, F1=5 dB=3,16F_1=5\ \text{dB}=3{,}16, g2=8 dB=6,31g_2=8\ \text{dB}=6{,}31, F2=7 dB=5,01F_2=7\ \text{dB}=5{,}01. L'SNR è Λ=PsPw\Lambda=\frac{P_s}{P_w}: la potenza del segnale in uscita è Ps,out=gtot Ps,inP_{s,out}=g_{tot}\,P_{s,in}, e gtot=g1g2g_{tot}=g_1g_2 non dipende dall'ordine (il prodotto è commutativo), quindi il numeratore è lo stesso nei due casi. Cambia invece la potenza di rumore: Pw=k Teff B,Teff=TS+TA=TS+T0 (Ftot−1),P_w=k\,T_{eff}\,B,\qquad T_{eff}=T_S+T_A=T_S+T_0\,(F_{tot}-1), con kk e BB costanti e TS=100T_S=100 K della sonda. TeffT_{eff} è crescente con la figura di rumore totale FtotF_{tot} della cascata: l'SNR migliore è quello con FtotF_{tot} minore. (Il guadagno dell'antenna e l'impedenza di 377 Ω377\ \Omega moltiplicano segnale e rumore allo stesso modo e non influenzano il confronto.)

Figura di rumore delle due cascate

Con Feq=Fprima+Fseconda−1gprimaF_{eq}=F_{prima}+\frac{F_{seconda}-1}{g_{prima}}:

  • A1→A2A_1\to A_2: F=F1+F2−1g1=3,16+5,01−13,16=3,16+1,27=4,43F=F_1+\frac{F_2-1}{g_1}=3{,}16+\frac{5{,}01-1}{3{,}16}=3{,}16+1{,}27=4{,}43 (6,466{,}46 dB);
  • A2→A1A_2\to A_1: F=F2+F1−1g2=5,01+3,16−16,31=5,01+0,34=5,35F=F_2+\frac{F_1-1}{g_2}=5{,}01+\frac{3{,}16-1}{6{,}31}=5{,}01+0{,}34=5{,}35 (7,297{,}29 dB).

Le temperature efficaci (T0=290T_0=290 K):

Ordine FtotF_{tot} TA=T0(Ftot−1)T_A=T_0(F_{tot}-1) Teff=100+TAT_{eff}=100+T_A
A1→A2A_1\to A_2 4,434{,}43 995995 K 10951095 K
A2→A1A_2\to A_1 5,355{,}35 12631263 K 13631363 K

Risposta

Conviene A1A_1 per primo, seguito da A2A_2: ha la figura di rumore totale minore (4,43<5,354{,}43<5{,}35) e quindi TeffT_{eff} minore. Il rapporto delle potenze di rumore è 13631095=1,24\frac{1363}{1095}=1{,}24, cioè l'SNR di riferimento è migliore di 10log⁡101,24=0,9510\log_{10}1{,}24=0{,}95 dB. Qui A1A_1 ha la cifra di rumore minore (55 dB contro 77 dB) ma anche il guadagno minore (55 dB contro 88 dB): in generale non basta guardare l'una o l'altro, conta la combinazione Fprima+Fseconda−1gprimaF_{prima}+\frac{F_{seconda}-1}{g_{prima}}. Nell'ordine scelto si paga F1=3,16F_1=3{,}16 più un termine di rumore dell'altro stadio ridotto a 1,271{,}27; nell'ordine inverso F2=5,01F_2=5{,}01 più 0,340{,}34: il primo stadio pesa per intero, e quello di A1A_1 costa meno.

Controllo con un caso estremo. Se A2A_2 avesse un guadagno molto alto (per esempio g2=30g_2=30 dB) e F2=7F_2=7 dB: A2→A1A_2\to A_1 darebbe F=5,01+2,161000=5,01F=5{,}01+\frac{2{,}16}{1000}=5{,}01 (7,07{,}0 dB) contro A1→A2A_1\to A_2 con 4,434{,}43: A1A_1 per primo resta meglio, perché il termine dominante è la figura del primo stadio.

(Verificato: FA1→A2=4,431F_{A_1\to A_2}=4{,}431 (6,4656{,}465 dB), FA2→A1=5,355F_{A_2\to A_1}=5{,}355 (7,2877{,}287 dB); Teff=1095T_{eff}=1095 K e 13631363 K.)

Errori comuni

  • Sommare le figure di rumore in dB (5+7=125+7=12 dB): si usa la formula lineare con il −1-1 e la divisione per il guadagno.
  • Pensare che il guadagno cambi con l'ordine: il guadagno totale è lo stesso, cambia solo il rumore.
  • Mettere per primo "quello con più guadagno" senza guardare la figura di rumore: conta la combinazione.
  • Dimenticare la temperatura di sorgente TS=100T_S=100 K in TeffT_{eff} (non cambia l'ordine, ma cambia il rapporto di SNR: 0,950{,}95 dB e non 0,820{,}82 dB).

Versione ripasso

Testo. Sonda a 100100 K, antenna 2020 dB; A1A_1 (g1=5g_1=5, F1=5F_1=5 dB), A2A_2 (g2=8g_2=8, F2=7F_2=7 dB): quale ordine dà il miglior SNR di riferimento?

Teoria collegata