Doppi bipoli e loro rappresentazioni

Dispensa, capitolo 11 (paragrafi 11.1–11.5). Si estende il concetto di bipolo, visto in Bipoli, n-poli e porte elettricheUn n-polo ha n terminali: le sue correnti uscenti sommano a zero e le sue tensioni sono differenze di potenziale, quindi bastano n−1 correnti e n−1 tensioni per descriverlo. Una porta è una coppia di morsetti in cui la corrente che entra da uno esce dall'altro; un m-bipolo ha m porte e ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipolo.Bipoli, n-poli e porte elettriche →, a un componente con due porte. Servono per descrivere amplificatori, trasformatori, linee, filtri e, soprattutto, i generatori pilotatiUn generatore pilotato impone una tensione o una corrente (lato 2) proporzionale a una tensione o corrente di un altro lato della rete (lato 1, che è un circuito aperto se pilota una tensione, un cortocircuito se pilota una corrente). Quattro tipi: GTPT (v2 = α v1), GTPC (v2 = r i1), GCPT (i2 = g v1), GCPC (i2 = β i1). Il trasformatore ideale ha v1 = n v2 e i1 = -i2/n: assorbe potenza nulla, può amplificare tensioni o correnti e vista dalla porta 1 trasforma una resistenza R2 in n² R2.Generatori pilotati e trasformatore ideale →.

Le quattro grandezze e le due equazioni

Un doppio bipolo è un componente (o un pezzo di rete) accessibile da due porte: la porta 1 (morsetti 1–1') e la porta 2 (morsetti 2–2'). Ogni porta ha la sua coppia tensione–corrente, quindi in tutto ci sono quattro grandezze: $v_1, i_1, v_2, i_2$.

Salvo avviso contrario si usa la convenzione dell'utilizzatore a entrambe le porte: la corrente $i_k$ entra nel morsetto dove c'è il $+$ di $v_k$. Così $v_1 i_1 + v_2 i_2$ è la potenza totale entrante.

Un bipolo è descritto da una equazione tra due grandezze ($v$ e $i$). Un doppio bipolo è descritto da due equazioni tra quattro grandezze:

$$\begin{cases} f_1(v_1, i_1, v_2, i_2) = 0 \\ f_2(v_1, i_1, v_2, i_2) = 0 \end{cases}$$

Due vincoli su quattro incognite lasciano due gradi di libertà: si possono scegliere liberamente due grandezze (le indipendenti), e le altre due (le dipendenti) si ricavano dalle equazioni. È come per un bipolo, dove si fissa la corrente e la caratteristica dà la tensione (o viceversa).

Un doppio bipolo è adinamico se le equazioni legano solo i valori nello stesso istante (niente derivate, niente memoria: resistori e generatori pilotati sì, condensatori e induttori no).

Doppi bipoli ideali inerti

Un doppio bipolo adinamico si dice ideale inerte (o lineare tempo-invariante) se entrambe le equazioni sono lineari, omogenee e a coefficienti costanti. "Omogenee" vuol dire senza termine noto: se tutte le grandezze di una porta e dell'altra sono nulle, le equazioni sono soddisfatte. In pratica: dentro non ci sono generatori indipendenti (che darebbero un termine noto), ma solo resistori e generatori pilotati.

D'ora in poi si parla solo di doppi bipoli ideali inerti.

Le sei rappresentazioni

Le coppie di grandezze che si possono scegliere come indipendenti sono $\binom{4}{2} = 6$. Ognuna dà una rappresentazione:

In forma matriciale, per esempio: $\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = [R] \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \end{bmatrix}$ e $\begin{bmatrix} v_1 \\ i_1 \end{bmatrix} = [T] \begin{bmatrix} v_2 \\ -i_2 \end{bmatrix}$.

Perché $-i_2$ nelle matrici di trasmissione. Le matrici di trasmissione servono a descrivere un doppio bipolo che "trasmette" segnale o potenza dalla porta 1 alla porta 2, dove c'è un carico. Lì è naturale usare la convenzione del generatore alla porta 2, cioè la corrente che esce dal $+$ verso il carico: è proprio $-i_2$. Con questa scelta, come si vedrà, la matrice della cascata è il semplice prodotto delle matrici.

Non tutte esistono sempre. Un doppio bipolo può non ammettere una certa rappresentazione, perché non sempre si possono scegliere ad arbitrio le due grandezze indipendenti. Esempio: in un resistore collegato "a ponte" tra i due morsetti superiori (Esercizio 2.3 - matrici G e T di un resistore in serie) $i_1 = -i_2$ sempre, quindi non si possono fissare $i_1$ e $i_2$ indipendentemente e la matrice $[R]$ non esiste.

Legami tra le rappresentazioni. Quando le matrici sono invertibili:

$$[G] = [R]^{-1}, \qquad [g] = [h]^{-1}, \qquad [T'] = [T]^{-1}$$

Hanno senso: $[R]$ dà le tensioni dalle correnti, $[G]$ fa il contrario, quindi una è l'inversa dell'altra.

Dimensioni dei parametri

• $[R]$: tutti in ohm. $[G]$: tutti in siemens.
• $[h]$: $h_{11}$ in ohm, $h_{22}$ in siemens, $h_{12}$ e $h_{21}$ adimensionali.
• $[g]$: $g_{11}$ in siemens, $g_{22}$ in ohm, $g_{12}$ e $g_{21}$ adimensionali.
• $[T]$: $A$ e $D$ adimensionali, $B$ in ohm, $C$ in siemens (stesso per $[T']$).

Controllare le dimensioni è un modo rapido per scoprire errori: per esempio $v_1 = h_{11} i_1 + \dots$ obbliga $h_{11}$ a essere una tensione diviso una corrente.

Come si calcolano i parametri: porte a vuoto e in cortocircuito

Ogni parametro è il rapporto tra una grandezza dipendente e una indipendente quando l'altra grandezza indipendente è nulla. Annullare una corrente vuol dire lasciare la porta a vuoto (aperta); annullare una tensione vuol dire metterla in cortocircuito.

Matrice $[R]$ (si annullano le correnti, cioè porte a vuoto):

$$R_{11} = \left.\frac{v_1}{i_1}\right|_{i_2 = 0}, \quad R_{21} = \left.\frac{v_2}{i_1}\right|_{i_2 = 0}, \quad R_{12} = \left.\frac{v_1}{i_2}\right|_{i_1 = 0}, \quad R_{22} = \left.\frac{v_2}{i_2}\right|_{i_1 = 0}$$

Il perché: con $i_2 = 0$ la prima equazione diventa $v_1 = R_{11} i_1$, quindi $R_{11} = v_1/i_1$; la seconda diventa $v_2 = R_{21} i_1$, quindi $R_{21} = v_2 / i_1$. Si alimenta la porta 1 con una corrente qualsiasi, si lascia aperta la porta 2 e si leggono le due tensioni.

Matrice $[G]$ (si annullano le tensioni, cioè porte in cortocircuito):

$$G_{11} = \left.\frac{i_1}{v_1}\right|_{v_2 = 0}, \quad G_{21} = \left.\frac{i_2}{v_1}\right|_{v_2 = 0}, \quad G_{12} = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{v_1 = 0}, \quad G_{22} = \left.\frac{i_2}{v_2}\right|_{v_1 = 0}$$

Matrice $[T]$ (si agisce sempre sulla porta 2, una volta a vuoto e una volta in cortocircuito):

$$A = \left.\frac{v_1}{v_2}\right|_{i_2 = 0}, \quad C = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{i_2 = 0}, \quad B = \left.\frac{v_1}{-i_2}\right|_{v_2 = 0}, \quad D = \left.\frac{i_1}{-i_2}\right|_{v_2 = 0}$$

Matrici ibride, per analogia: $h_{11} = v_1/i_1$ e $h_{21} = i_2/i_1$ con $v_2 = 0$ (porta 2 in cortocircuito); $h_{12} = v_1/v_2$ e $h_{22} = i_2/v_2$ con $i_1 = 0$ (porta 1 a vuoto). Per $[g]$ si scambiano i ruoli.

Attenzione: $R_{11}$ non è l'inverso di $G_{11}$. $R_{11}$ è la resistenza vista dalla porta 1 con la porta 2 aperta; $1/G_{11}$ è quella vista con la porta 2 in cortocircuito. Sono due situazioni diverse.

Esempio: rete a L con $R_a = 20\ \Omega$, $R_c = 10\ \Omega$

$R_a$ in serie sul filo superiore tra 1 e 2, $R_c$ in parallelo alla porta 2 (tra 2 e 2'). È la rete dell'Esercizio 2.1 - matrici R e G di una rete a L e dell'Esercizio 2.4 - matrice T di una rete a L.

• Porta 2 aperta ($i_2 = 0$): $i_1$ attraversa $R_a$ e $R_c$ in serie, quindi $v_1 = (R_a + R_c) i_1$ e $v_2 = R_c i_1$. Da qui $R_{11} = 30\ \Omega$, $R_{21} = 10\ \Omega$, e anche $A = v_1/v_2 = 3$, $C = i_1 / v_2 = 0{,}1\ \mathrm S$.
• Porta 1 aperta ($i_1 = 0$): in $R_a$ non passa corrente, quindi $v_1 = v_2 = R_c i_2$: $R_{12} = R_{22} = 10\ \Omega$.
• Porta 2 in cortocircuito ($v_2 = 0$): $R_c$ è cortocircuitato, $v_1 = R_a i_1$ e $i_1 = -i_2$: $G_{11} = 1/20\ \mathrm S$, $G_{21} = -1/20\ \mathrm S$, $B = 20\ \Omega$, $D = 1$.

$$[R] = \begin{bmatrix} 30 & 10 \\ 10 & 10 \end{bmatrix} \Omega, \qquad [G] = [R]^{-1} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{20} & -\tfrac{1}{20} \\ -\tfrac{1}{20} & \tfrac{3}{20} \end{bmatrix} \mathrm S, \qquad [T] = \begin{bmatrix} 3 & 20\ \Omega \\ 0{,}1\ \mathrm S & 1 \end{bmatrix}$$

Proprietà: reciprocità, simmetria, passività

Reciprocità

Un doppio bipolo è reciproco se

$$R_{12} = R_{21}$$

Significato: la tensione che compare a vuoto alla porta 2 iniettando una corrente nella porta 1 è uguale alla tensione che compare a vuoto alla porta 1 iniettando la stessa corrente nella porta 2. L'effetto non dipende da quale porta si usa come ingresso. Ogni rete di soli resistori è reciproca; i generatori pilotati, in genere, rompono la reciprocità.

La stessa condizione nelle altre rappresentazioni:

Per $[T]$ la reciprocità è "determinante uguale a 1". Nell'esempio: $AD - BC = 3 \cdot 1 - 20 \cdot 0{,}1 = 1$ ✓ (è una rete di resistori).

Simmetria

Un doppio bipolo è simmetrico se si possono scambiare le due porte senza che nulla cambi. Con $[R]$: $R_{11} = R_{22}$ e $R_{12} = R_{21}$. Un doppio bipolo simmetrico è quindi anche reciproco; non vale il contrario (la rete a L è reciproca ma non simmetrica: $R_{11} = 30 \ne R_{22} = 10$).

Passività

Il doppio bipolo è passivo se la potenza totale entrante non è mai negativa:

$$p = v_1 i_1 + v_2 i_2 \ge 0 \quad \text{per ogni } i_1, i_2$$

Sostituendo $v_1$ e $v_2$ dalla rappresentazione $[R]$:

$$p = R_{11} i_1^2 + (R_{12} + R_{21})\, i_1 i_2 + R_{22} i_2^2$$

è una forma quadratica in $i_1, i_2$. Deve essere $\ge 0$ per ogni coppia: si dice semidefinita positiva. Per una forma in due variabili questo succede se e solo se

$$R_{11} \ge 0, \qquad R_{22} \ge 0, \qquad R_{11} R_{22} \ge \left( \frac{R_{12} + R_{21}}{2} \right)^2$$

Il perché delle tre condizioni: con $i_2 = 0$ resta $R_{11} i_1^2$, che deve essere $\ge 0$; con $i_1 = 0$ resta $R_{22} i_2^2$; la terza è la condizione "discriminante $\le 0$" che impedisce alla forma di cambiare segno quando entrambe le correnti sono diverse da zero.

Attenzione: la condizione è sulla potenza totale. A una delle due porte la potenza entrante può essere negativa (il doppio bipolo restituisce potenza da quella porta), purché dall'altra ne entri di più.

Condizioni identiche nella forma valgono per $[G]$, $[h]$, $[g]$ (per esempio $G_{11} \ge 0$, $G_{22} \ge 0$, $G_{11} G_{22} \ge \left(\frac{G_{12} + G_{21}}{2}\right)^2$).

Collegamenti tra doppi bipoli

Serie. Le porte 1 dei due doppi bipoli sono in serie (stessa corrente), e così le porte 2. Allora $\mathbf v = \mathbf v_A + \mathbf v_B = [R_A]\mathbf i + [R_B]\mathbf i$: le tensioni si sommano a parità di corrente, come per due resistori in serie.

Parallelo. Duale: stesse tensioni, le correnti si sommano, quindi si sommano le matrici di conduttanza.

Cascata. La porta 2 di A alimenta la porta 1 di B: $v_{A2} = v_{B1}$ e la corrente che esce da A ($-i_{A2}$) è quella che entra in B ($i_{B1}$). Quindi il vettore $(v_{A2}, -i_{A2})$ di A coincide con il vettore $(v_{B1}, i_{B1})$ di B, e

$$\begin{bmatrix} v_{A1} \\ i_{A1} \end{bmatrix} = [T_A] \begin{bmatrix} v_{A2} \\ -i_{A2} \end{bmatrix} = [T_A] \begin{bmatrix} v_{B1} \\ i_{B1} \end{bmatrix} = [T_A][T_B] \begin{bmatrix} v_{B2} \\ -i_{B2} \end{bmatrix}$$

Ecco perché si usa $-i_2$: con questa scelta la cascata è un prodotto di matrici. L'ordine conta (il prodotto di matrici non è commutativo): prima la matrice del doppio bipolo a monte.

Esempio. La rete a L è la cascata di un resistore in serie $R_a$ ($[T_a] = \begin{bmatrix} 1 & R_a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$) e di un resistore in parallelo $R_c$ ($[T_c] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/R_c & 1 \end{bmatrix}$):

$$[T_a][T_c] = \begin{bmatrix} 1 & 20 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0{,}1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 + 20 \cdot 0{,}1 & 20 \\ 0{,}1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 20 \\ 0{,}1 & 1 \end{bmatrix}$$

uguale a quella trovata prima.

Doppio bipolo resistivo e sintesi

Un doppio bipolo è resistivo se si può realizzare con soli resistori passivi. Allora è:

• passivo (condizioni sopra);
• reciproco: $R_{12} = R_{21}$;
• non amplificante: $R_{11} \ge |R_{21}|$ e $R_{22} \ge |R_{12}|$ (la tensione a vuoto che compare all'uscita non supera quella all'ingresso).

Restano tre parametri indipendenti ($R_{11}$, $R_{22}$, $R_{12} = R_{21}$), quindi servono almeno tre resistori. La sintesi è il problema inverso: data la matrice, trovare una rete che la realizza.

Sintesi a stella (a T)

Tre resistori: $R_a$ sul ramo della porta 1, $R_b$ sul ramo della porta 2, $R_c$ sul ramo comune verso i morsetti 1' e 2'. In $R_c$ passa $i_1 + i_2$, quindi

$$v_1 = (R_a + R_c)\, i_1 + R_c\, i_2, \qquad v_2 = R_c\, i_1 + (R_b + R_c)\, i_2$$

Confrontando con $[R]$:

$$\boxed{R_a = R_{11} - R_{12}, \qquad R_b = R_{22} - R_{21}, \qquad R_c = R_{12} = R_{21}}$$

Se $R_{12} < 0$ il resistore $R_c$ verrebbe negativo: si rimedia invertendo i riferimenti alla porta 2 (cioè scambiando 2 e 2'), il che cambia segno a $R_{12}$, e si ottiene $R_a = R_{11} + R_{12}$, $R_b = R_{22} + R_{21}$, $R_c = -R_{12}$. Esempio: Esercizio 2.16 - sintesi a stella e Thévenin di un doppio bipolo.

Sintesi a triangolo (a Π)

Tre conduttanze: $G_a$ in parallelo alla porta 1, $G_b$ in parallelo alla porta 2, $G_c$ tra i due morsetti superiori. Con $v_c = v_1 - v_2$:

$$i_1 = (G_a + G_c)\, v_1 - G_c\, v_2, \qquad i_2 = -G_c\, v_1 + (G_b + G_c)\, v_2$$

$$\boxed{G_a = G_{11} + G_{12}, \qquad G_b = G_{22} + G_{21}, \qquad G_c = -G_{12} = -G_{21}}$$

Se $G_{12} > 0$ si invertono i riferimenti alla porta 2: $G_a = G_{11} - G_{12}$, $G_b = G_{22} - G_{21}$, $G_c = G_{12}$. Lo stesso risultato si ottiene dalla stella con la trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.

Errori comuni

• Confondere $R_{11}$ con $1/G_{11}$: porta 2 aperta nel primo caso, cortocircuitata nel secondo.
• Dimenticare il segno meno di $-i_2$ nei parametri $B$ e $D$: $B = v_1/(-i_2)$, non $v_1 / i_2$.
• Invertire l'ordine nel prodotto della cascata.
• Pensare che una matrice esista sempre: se nel calcolo si trova che una grandezza "indipendente" è in realtà vincolata (per esempio $i_1 = -i_2$ sempre), quella rappresentazione non esiste.

Esercizi: Esercizio 2.1 - matrici R e G di una rete a L, Esercizio 2.2 - matrici R e T di un resistore in parallelo, Esercizio 2.3 - matrici G e T di un resistore in serie, Esercizio 2.4 - matrice T di una rete a L, Esercizio 2.16 - sintesi a stella e Thévenin di un doppio bipolo.