Esercizio 3.2 - dai fasori alle sinusoidi

Testo (Eserciziario, es. 3.2). Ricavare le sinusoidi (in coseno) corrispondenti ai fasori (modulo uguale al valore efficace):

$\bar E_1 = 10(\sqrt3 + j)$, $\ \bar E_2 = 40 - j40$, $\ \bar E_3 = j\frac{100}{\sqrt2}$, $\ \bar E_4 = \frac{100}{\sqrt2}(1 + j)$, $\ \bar E_5 = 10$, $\ \bar E_6 = \frac{40}{\sqrt2}(-1 + j)$.

Risultati: $e_1 = 20\sqrt2\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$, $e_2 = 80\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right)$, $e_3 = 100\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$, $e_4 = 100\sqrt2\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$, $e_5 = 10\sqrt2\cos(\omega t)$, $e_6 = 40\sqrt2\cos\left(\omega t + \frac34\pi\right)$.

Teoria: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →.

Il metodo

Dal fasore $\bar E = x + jy$ si calcolano modulo $E = \sqrt{x^2 + y^2}$ (valore efficace) e argomento $\varphi$ (fase, attenzione al quadrante); poi $e(t) = \sqrt2\, E\cos(\omega t + \varphi)$. La pulsazione $\omega$ non è contenuta nel fasore e resta indicata in simboli.

Svolgimento

1. $\bar E_1 = 10\sqrt3 + j10$: $\ E_1 = 10\sqrt{3 + 1} = 20$, $\ \varphi = \arctan\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\pi}{6}$ (primo quadrante). $\ e_1(t) = 20\sqrt2\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$.

2. $\bar E_2 = 40 - j40$: $\ E_2 = 40\sqrt2$, $\ \varphi = -\frac{\pi}{4}$ (quarto quadrante). Ampiezza $\sqrt2 \cdot 40\sqrt2 = 80$: $\ e_2(t) = 80\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right)$.

3. $\bar E_3$ è immaginario puro positivo: $\ E_3 = \frac{100}{\sqrt2}$, $\ \varphi = \frac{\pi}{2}$. Ampiezza $100$: $\ e_3(t) = 100\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ (cioè $-100\sin\omega t$).

4. $\bar E_4 = \frac{100}{\sqrt2}(1 + j)$: $|1 + j| = \sqrt2$, quindi $E_4 = 100$, $\ \varphi = \frac{\pi}{4}$. $\ e_4(t) = 100\sqrt2\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.

5. $\bar E_5 = 10$ reale positivo: $\ e_5(t) = 10\sqrt2\cos(\omega t)$.

6. $\bar E_6 = \frac{40}{\sqrt2}(-1 + j)$: modulo $\frac{40}{\sqrt2}\cdot\sqrt2 = 40$. Il punto $(-1, 1)$ sta nel secondo quadrante: $\arctan\frac{1}{-1} = -\frac{\pi}{4}$ sarebbe sbagliato, bisogna aggiungere $\pi$: $\varphi = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac34\pi$. $\ e_6(t) = 40\sqrt2\cos\left(\omega t + \frac34\pi\right)$.

L'errore tipico è proprio quello del punto 6: la calcolatrice restituisce $\arctan(y/x)$ tra $-\pi/2$ e $\pi/2$ e non distingue $(-1, 1)$ da $(1, -1)$.