Esercizio 1.10 - serie di due resistori e partitore di tensione

Testo (Eserciziario, es. 1.10). Rete in regime stazionario: un bipolo adinamico $b_1$ alimenta due resistori ideali in serie, con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $V_s = 100\ \mathrm V$. Calcolare:

1. la resistenza $R_s$ del resistore equivalente alla serie di $R_1$ e $R_2$;
2. le tensioni $V_1$ e $V_2$.

Figura (descritta). $b_1$ a sinistra; dal suo morsetto superiore esce $I_s$, che percorre $R_1$ e poi $R_2$ (disegnati in orizzontale in alto) e torna al morsetto inferiore di $b_1$ con un filo. $V_s$ è la tensione ai morsetti di $b_1$ con il $+$ in alto; $V_1$ e $V_2$ hanno il $+$ a sinistra di ciascun resistore, cioè dalla parte da cui entra $I_s$.

Risultati: $R_s = 50\ \Omega$, $V_1 = 20\ \mathrm V$, $V_2 = 80\ \mathrm V$.

Teoria: Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →, Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →.

1. Resistenza equivalente

$R_1$ e $R_2$ sono in serie: il nodo tra i due non ha altri collegamenti, quindi la corrente è la stessaLKC al nodo intermedio: la corrente che esce da R1 può entrare solo in R2.. Si sommano le resistenze:

$$R_s = R_1 + R_2 = 10 + 40 = 50\ \Omega$$

2. Le tensioni con il partitore

Perché si può usare il partitore. La tensione ai capi della serie è $V_s$: il morsetto superiore di $b_1$ è collegato all'inizio di $R_1$ e quello inferiore alla fine di $R_2$. I riferimenti di $V_1$ e $V_2$ sono concordi con $V_s$ (percorrendo la serie dal $+$ di $V_s$ si incontrano prima i $+$ di $V_1$ e $V_2$), quindi la formula si applica senza cambi di segnoIl partitore dà la tensione sul resistore con il + dalla parte del + della tensione totale; se il riferimento chiesto fosse opposto servirebbe un segno meno.:

$$V_1 = \frac{R_1}{R_s}\, V_s = \frac{10}{50} \cdot 100 = 20\ \mathrm V, \qquad V_2 = \frac{R_2}{R_s}\, V_s = \frac{40}{50} \cdot 100 = 80\ \mathrm V$$

Controllo con la LKT: $V_1 + V_2 = 100\ \mathrm V = V_s$ ✓.

Per chi preferisce passare dalla corrente. $I_s = V_s / R_s = 100/50 = 2\ \mathrm A$, poi $V_1 = R_1 I_s = 20\ \mathrm V$ e $V_2 = R_2 I_s = 80\ \mathrm V$. È esattamente il ragionamento con cui si ricava il partitore.

Nota: non serve sapere che cosa sia $b_1$. Il testo dà la sua tensione, e per la serie conta solo quella.