Esercizio 2.13 - resistenza interna con un GCPC

Testo (Eserciziario, es. 2.13). Rete in regime stazionario con $R_1 = 8\ \Omega$, $R_2 = 10\ \Omega$, un GIT $E = 12\ \mathrm V$ e un GCPC con $\beta = 4$. Determinare la resistenza interna alla porta AB.

Figura (descritta). Filo in basso = B; sul filo in basso, tra la parte sinistra e la parte destra, scorre la corrente di controllo $I_x$, con verso da destra a sinistra. Nodi in alto: P (a sinistra) e A (a destra).

Risultato: $R_i = 8\ \Omega$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

1. Dove si misura $I_x$

Il filo in basso è un unico nodo B, ma $I_x$ è la corrente nel tratto di filo tra il gruppo di sinistra (GCPC e $R_1$) e il gruppo di destra ($R_2$ e il morsetto B). È la corrente di controllo di un GCPC: la sua "porta 1" è un cortocircuito inserito in quel tratto di filo, come un amperometro.

2. Generatore di prova

$E$ spento: cortocircuito, quindi P coincide con A. GIT di prova $V^*$ su AB. Ora a sinistra il GCPC e $R_1$ sono tra A e B, a destra c'è $R_2$ tra A e B.

LKC sul gruppo di sinistra (parte bassa). Nel tratto in basso a sinistra arrivano dall'alto la corrente di $R_1$, $V^*/R_1$, e quella del GCPC, $\beta I_x$ (entrambe scendono). Tutto ciò deve proseguire nel filo verso destra, che porta $-I_x$ (perché $I_x$ è orientata verso sinistra):

$$\frac{V^*}{R_1} + \beta I_x = -I_x \quad\Longrightarrow\quad I_x = -\frac{V^*}{(1 + \beta) R_1}$$

LKC nel morsetto B. La corrente di prova $I^*$ entra in A ed esce da B. In B arrivano quella di $R_2$ e quella del filo da sinistra ($-I_x$):

$$I^* = \frac{V^*}{R_2} - I_x = \frac{V^*}{R_2} + \frac{V^*}{(1+\beta) R_1} = V^* \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{40} \right) = \frac{V^*}{8}$$

$$\boxed{R_i = 8\ \Omega}$$

3. Interpretazione

Il gruppo di sinistra si comporta come un resistore da $(1 + \beta) R_1 = 5 \cdot 8 = 40\ \Omega$. Il motivo: la corrente che "esce" dal gruppo nel filo è $-I_x$, ma il GCPC ne fa circolare altre $\beta$ volte tanto in verso opposto, così solo una frazione $\frac{1}{1+\beta}$ della corrente di $R_1$ arriva alla porta. Visto da fuori, $R_1$ sembra 5 volte più grande. Poi $40 \parallel 10 = 8\ \Omega$.

È lo stesso meccanismo per cui, nei transistor, una resistenza sull'emettitore "vista dalla base" appare moltiplicata per il guadagno di corrente.